На основе известного материала [3,6] оценим возможность обеспечения живучести произвольной сети связи, имеющей nузлов связи, когда функция надёжности представляет собой вероятность h(q) связности графаG(V,E), если каждое ребро (ЛС) теряется с вероятностью q=1-р. Функция h(q)может быть записана в следующем виде:
(3)
или , (4)
где m - число рёбер (ЛС); n- число вершин (УС) графа G; - число связных подграфов графа G(V,E), имеющих kрёбер и nвершин; -число несвязных подграфов графа G(V,E)с m-iрёбрами и nвершинами; l- минимальное число рёбер, необходимое для того, чтобы построить связный граф с nвершинами; щ - минимальное число рёбер, которое надо удалить, чтобы граф G(V,E)стал несвязным.
Числа lи щ определяют длину и ширину искомого графана плоскости. Очевидно,l=n-1.Пусть граф GA получается удалением вершины, а степени kсо всеми инцидентными ей рёбрами. Тогда функция h(q) будет удовлетворять неравенству
(5)
гдеRp(Gа) - функция надёжности подграфа Ga.
Для последовательности подграфовGaфункция Rp(Gа) будет абсолютно ненадёжной, еслидля . ФункцияRp(Gn) должна удовлетворять неравенству [6]
(6)
На рисунке 4 приведён график зависимости связности в сети, состоящей из nУС с поражением ЛСс вероятностью q. Для обеспечения заданной связности между абонентом и источником необходимо иметь не менее n узлов связи.Из рисунка 4 следует, что для обеспечения связности с вероятностью 0,9, необходимо иметь два узла для вероятности потерь ЛС 0,1, для вероятности потерь ЛС 0,3 - 6 УС, для вероятности потерь ЛС 0,5 12 УС, для вероятности потерь ЛС 0,7 25 УС.
Из рисунка 4 также следует, что при малом n происходит даже некоторое падение вероятности связности в сети при увеличении числа УС.
Следовательно, для обеспечения достаточной живучести сети связи при наличии потерь УС и ЛС необходимо иметь достаточное количество УС и оптимальную топологию размещения УС на местности.
Рис. 4. Обобщённая оценка живучести сети связи от количества узлов связи n и вероятности потерь ЛС (q): 1) при вероятности потерь 0,1 (сплошная линия); 2) при вероятности потерь 0,3 (пунктирная линия); 3) при вероятности потерь 0,5 (штриховая линия); 4) при вероятности потерь 0,7 (штрихпунктирная линия).
Согласно утверждению Эйлера [4], сумма степеней вершин графа G равна удвоенному числу его рёбер, т.е.,
, (7)
где - степень -ой вершины графа.
Отсюда средняя степень вершин графа будет
? (8)
Выборочная дисперсия случайной величины будет определяться по формуле [6]
, (9)
Воспользовавшись неравенством Крамера-Рао[7], получим верхнюю границу связности графа
,(10)
Отсюда получим среднююстепень вершин графа
, (11)
На рисунке 5 приведена зависимость средней степени вершин графа от количества УС (n).Сравнение влияния на связность сети связи потерь УС и ЛС показывает, что потери УС в большей степени характеризуют живучесть сетей связи.
Поэтому для обеспечения необходимой живучести сетей связи, указанной в ГОСТ Р 53111-2008 [2], необходимо иметь в первую очередь достаточный резерв УС. Этого можно достичь, если использовать УС других сетей связи, находящихся поблизости. Расчёт связности сети связи в большинстве случаев удобно осуществлять на основе имитационной топологической модели [5], для построения которой используют метод статистического моделирования Монте-Карло [5].
Под статистическим моделированием будем понимать воспроизведение ситуаций в сети связис помощью ЭВМ на основе случайного выбора некоторых чисел.В ЭВМ имеется генератор случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке [0, 1]. В случае выпадения случайного числа, менее заданного значения потерь, будем считать линию связи или узел реально существующим. В противоположном исходе будем считать линию связи или узел потерянным. В случае потери узла автоматически исключаются все линии связи, исходящие из данного узла. В предложенной модели можно для каждой линии связи и каждого узла задавать свое значение, отличное от значений, присвоенных другим узлам или линиям связи.
Рис. 5. Зависимость средней степени вершин графаот числа УС (n):
1) при вероятности потерь q = 0,5(сплошная линия),2) при вероятности потерь q = 0,3 (пунктирная линия).
После определения наличия (или отсутствия) узлов или линий связи, определяют связность выбранных узлов (вершин графа) с помощьюметода расчётной оценки связности, описанному ранее. Если путь между выбранными узлами оказывается отсутствующим, то в стек записывается ноль. В противоположном исходе записывается единица. При каждом испытании содержание счетчика, который обнуляется в начале испытаний, увеличивается на единицу. Количество испытаний обычно задается. После окончания последнего испытания определяется вероятность связности делением содержания стека на число, записанное в счетчике.
Метод имитационного моделирования дает меньшую точность расчетов, чем аналитический, но относительно легко позволяет варьировать ситуации и параметры рассчитываемой сети и не обладает ограничениями относительно размеров и сложности построения и динамики моделируемых процессов. Объем вычислений и размер выделяемой памяти для хранения результатов расчетов в аналитическом методе возрастает по степенному закону с увеличением количества линий связи, а метод имитационного моделирования позволяет заранее выделить необходимый объем памяти для хранения промежуточных результатов, который практически не зависит от размера графа сети.
Необходимое количество УС можно обеспечить либо добавлением в исходную сеть дополнительных УС, либо использовать УС из других сетей связи. Предполагается использование УС как в «горячем», так и в «холодном» резерве.Оценку связности сети связи удобно производить в следующем порядке:
1) определяют двухполюсную связность между «истоком» и «стоком» при использовании резервированных УС;
2) определяют, какое количество ЛС следует добавить в граф сети, чтобы получить заданную двухполюсную связность между «истоком» и «стоком».
Расчёт числа дополнительных ЛС осуществляют, исходя из п. 1). Для этого в формулу (2) подставляют , где k- 1 - число резервированных ЛС и вычисляют вероятность связности двухполюсной сети. Если k возрастает, то увеличивается значение вероятности связности двухполюсной сети. Рассмотрим возможности использования дополнительных УС (и ЛС) для повышения живучести конкретной сети связи. Для этого к схеме (рисунок 1) добавим три дополнительных узла: 5, 7 и 8. В результате получится сеть, представленная на рисунке 6, а оценки вероятности доведения информации при разных моделях резервирования приведены на рисунках 7…12.
Рис. 6. Топология сети связи №3.
Рис. 7. Вероятность доведения информации по линии связи 1 (источник) -4 (абонент) при потерях ЛС (q) при разном резервировании ЛС: 1) без резерва (сплошная линия),2) трёхкратный резерв (пунктирная линия), 3) восьмикратный резерв (штриховая линия), 4) четырнадцатикратный резерв (штрихпунктирная линия).Узлы связи не поражаются.
Рис. 8. Вероятность доведения информации по линии связи 1 (источник) -6 (абонент) при потерях ЛС (q) при разном резервировании ЛС: 1) без резерва (сплошная линия), 2) трёхкратный резерв (пунктирная линия), 3) восьмикратный резерв (штриховая линия), 4) четырнадцатикратный резерв (штрихпунктирная линия).Узлы связи не поражаются.
Рис. 9. Вероятность доведения информации по линии связи 1 (источник) -4 (абонент) при потерях УС (q) при разном резервировании УС: 1) без резерва (сплошная линия), 2) трёхкратный резерв (пунктирная линия), 3) четырёхкратный резерв (штриховая линия).
Линии связи не поражаются.
Рис. 10. Вероятность доведения информации по линии связи 1 (источник) -6 (абонент) при потерях УС (q) и ЛС (q) при разном резервировании УС: 1) без резерва (сплошная линия), 2) четырёхкратный резерв УС и четырнадцатикратный резерв ЛС(пунктирная линия).
Рис. 11. Вероятность доведения информации по линии связи 1 (источник) -4 (абонент) при потерях УС (q)и ЛС (q) при разном резервировании УС: 1) без резерва (сплошная линия), 2) четырёхкратный резерв УС и четырнадцатикратный резерв ЛС(пунктирная линия).
Рис. 12. Вероятность доведения информации по линии связи 1 (источник) -6 (абонент) при потерях УС (q)и ЛС (q) при разном резервировании УС: 1) без резерва (сплошная линия), 2) четырёхкратный резерв УС и четырнадцатикратный резерв ЛС(пунктирная линия).
Полученные кривые(рисунки 7…12) показывают, что достижение высокой вероятности доведения информации требует использования значительного резерва как по узлам связи, так и по линиям связи. Другой путь достижения достаточной связности (более 0,85) основывается на построении сети связи, составленной из полных графов [4]. Для этого к схеме (рисунок 6) добавляется один УС, но число ЛС увеличивается, а полученный граф сети связи приближается к полному. В результате получаем сеть связи№4, приведённую на рисунке 13.
Рис. 13. Топология размещения узлов связи №4.
Длятопологии размещения узлов связи, показанной на рисунке 13, уже без резервирования ЛС достигается вероятность связности между узлами 1 и 6 не менее 0,85 при потерях УС не менее 50% УС. Вероятностьсвязности между источником и абонентом при четырёхкратном резервировании УС приведена на рисунке 14.
Рис. 14. Вероятность связности между узлами связи 1 (источник) и 6 (абонент) при потерях УС (q)при четырёхкратном резервировании УС.
Заключение
Полученные результаты показывают, что обеспечение надёжной связи в ЧС требует как использование схемы построения сети с использованием достаточного числа УС, так и размещения УС и ЛС по оптимальной топологии. Наиболее реальным в этом направлении является использование УС и ЛС, принадлежащим разным сетям связи, но работающим на одинаковыхрадиоданных.
Результаты работы могут быть применены при поиске путей повышения вероятности доведения информация до абонента всистемах связи специального назначения.
Литература
1. Макаренко С. И. Описательная модель сети связи специального назначения // Системы управления, связи и безопасности. 2017. № 2. С. 113-164.
2. ГОСТ Р 53111-2008 «Устойчивость функционирования сети связи общего пользования». М.: Стандартинформ, 2009.
3. Федеральный закон Российской Федерации «О связи» № 126-Ф3 от 07.07.2003.
4. Татт У. Теория графов. М.: Мир, 1988. 454 с.
5. Маркин В.Г., Провоторов Г.Ф., Щеголеватых А.С. Развитие топологических структур живучих сетей/ Теория и техника радиосвязи, 2011, №1, С. 10-18.
6. Зайцев М.А., КельмансА.К.О деревьях со случайно выпадающими вершинами/ Алгоритмические исследования в комбинаторике. М.: Наука, 1978, С. 107-118.
7. Статистические методы в экспериметальной физике. М.: Атомиздат, 1976, 335 с.