Самарский государственный технический университет
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ НАГРЕВА ЖИДКОГО МЕТАЛЛА В ГАЗОВОЙ ОТРАЖАТЕЛЬНОЙ ПЕЧИ ДЛЯ ПЛАВЛЕНИЯ АЛЮМИНИЕВЫХ СПЛАВОВ
Э.Я. Рапопорт
А.А. Узенгер
В технологии процессов плавления алюминиевых сплавов большое практическое значение имеет задача достижения требуемого конечного температурного распределения жидкометаллической ванны за минимально возможное время. Для решения этой задачи могут быть использованы методы теории оптимального управления с распределенными параметрами.
Математическая модель объекта управления, в качестве которой рассматриваются температурные режимы жидкого расплава в ванне газовой отражательной печи, разработана в [1] на основе взаимосвязанных уравнений внешнего и внутреннего теплообмена в рабочем пространстве и в ванне печи. В общем виде передаточная функция для температурного поля алюминиевого расплава относительно управляющего воздействия по расходу газового топлива представляет собой сложную трансцендентную функцию комплексной переменной «p» [1], дальнейшее использование которой в целях синтеза алгоритмов оптимального управления оказывается затруднительным. В работе [2] получены удовлетворительные по точности дробно-рациональные чебышевские приближения этой передаточной функции в следующем виде:
со следующими расчетными значениями параметров, найденными применительно к характеристикам реальной плавильной печи: , , , , , где x - пространственная координата по глубине ванны.
Для распределённого объекта, описываемого аппроксимирующей передаточной функцией (1), ищется такое управляющее воздействие , стесненное ограничениями , , с заданными предельными величинами , , которое за минимально возможное время обеспечивает заданную абсолютную точность приближения результирующего температурного состояния жидкометаллической ванны к требуемому распределению температур на отрезке : нагрев алюминиевый сплав температура
где R - глубина ванны.
Для отыскания алгоритмов оптимального управления используется альтернансный метод [3] решения краевых задач оптимизации систем с распределёнными параметрами в условиях заданной точности равномерного приближения конечного состояния объекта к требуемому.
В классе определяемых известными условиями оптимальности релейных управляющих воздействий , альтернансный метод определяет двухинтервальный алгоритм оптимального управления (рис.1):
для диктуемых типичными технологическими требованиями значений : в (2). Здесь , - минимально достижимые значения при релейных управлениях с одним и двумя интервалами постоянства соответственно.
Рис. 1. - Двухинтервальное управление
Согласно альтернансным свойствам , выполняются при управлении (3) равенства
для результирующих температур и соответственно на дне и на поверхности ванны, которые можно рассматривать как систему уравнений для отыскания параметров и алгоритма (3).
Температурное поле ванны в конце процесса управления находится в форме явной зависимости от параметров и оптимального алгоритма (3) в любой точке определяется здесь сверткой импульсной переходной функцией объекта (1) и управляющего воздействия (3), представляемой после выполнения операций интегрирования в следующем виде:
Здесь , , , , ,
и предполагается, что .
В результате численного решения системы уравнений (4), (5) выполненного в среде MathCad, получены следующие результаты: , .
Результирующее распределение температуры по глубине ванны в конце оптимального управления представлено на рис. 2. Характер температурного поля в оптимальном процессе иллюстрируется рис. 3.а.
Рис. 2. Конфигурация результирующего температурного поля оптимального процесса
Как видно из рис. 3, температура поверхности ванны в оптимальном процессе с управлением (3) превышает допустимый предел , что приводит к необходимости решения задачи быстродействия с учетом соответствующего фазового ограничения.
В условиях фазового ограничения на максимальную температуру:
алгоритм оптимального управления найдется в виде (рис. 4):
где - управление на участке движения по ограничению (6), вычисляемое вместе с первым моментом достижения равенства (6) из условия своего определения.
Рис. 3. Оптимальный по быстродействию процесс разогрева жидкометаллической ванны
1 - ; 2 - ; 3 ; 4 - .
Рис. 4. Оптимальное управление с учетом ограничения на допустимую температуру
Рис. 5. Оптимальный по быстродействию процесс разогрева жидкометаллической ванны с ограничением на допустимую температуру).
1 - ; 2 - ; 3 - ; 4 - .
Решение задачи оптимального по быстродействию управления с фазовым ограничением на максимальную температуру выполняется также альтернансным методом и сводится к решению подобной (4) системы уравнений, относительно неизвестных , :
где параметрическое представление результирующего температурного поля описывается аналогичной (5) свёрткой более сложного вида:
Здесь , , , и также предполагается, что .
В результате численного решения задачи в среде MatCad получены следующие результаты:, , .
Характер температурного поля в оптимальном процессе с учётом ограничения на максимальную температуру иллюстрируется рис. 5.
На основе полученных результатов может быть выполнен синтез замкнутой системы оптимального управления в виде релейной системы автоматического регулирования в двух различных точках по глубине ванны [3].
Библиографический список
1. Узенгер А.А. Динамические свойства газовой отражательной печи для алюминиевых сплавов // Вестник СамГТУ, серия “Технические науки”, №1(19) - 2007, с.170-174. ISSN 1991-8542
2. Рапопорт Э.Я., Узенгер А.А. Чебышевская аппроксимация частотных характеристик газовой отражательной печи для алюминиевых сплавов // Вестник СамГТУ, серия “Технические науки”, №2(20) - 2007, с.168-174. ISSN 1991-8542.
3. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. - М.: Наука. 2000 - 336с.