Материал: ОрещенкоНиколай8391

МИНОБРНАУКИ РФ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Факультет компьютерных технологий и информатики

Кафедра автоматики и процессов управления

Синтез систем автоматического управления

перевернутым маятником на каретке

Пояснительная записка к курсовому проектированию

по дисциплине «Теория автоматического управления»

Санкт-Петербург

2021

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие

1. ПЕРЕВЕРНУТЫЙ МАЯТНИК НА КАРЕТКЕ КАК ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ

   1. Перевернутый маятник на каретке

   2. Математическая модель объекта управления

   3. Дифференциальные уравнения в форме Коши

2. АНАЛИЗ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

   1. Компьютерное моделирование

   2. Линеаризация дифференциальных уравнений

   3. Передаточная функция объекта

   4. Анализ устойчивости положения равновесия

   5. Линеаризация модели и анализ в среде MATLAB/Simulink

3. СИНТЕЗ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ МЕТОДОМ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ

   1. Синтез регулятора состояния

   2. Синтез наблюдателя состояний

   3. Динамический регулятор

   4. Оценка области притяжения положения равновесия

Предисловие

Динамические модели перевернутых маятников различной конфигурации используются в научных публикациях для сравнения методов синтеза алгоритмов автоматической стабилизации, а также в учебном процессе технических университетов в качестве наглядных примеров неустойчивых объектов.

Отмечается, что многозвенные перевернутые маятники служат примерами шагающих роботов, ракет на старте, нескольких барж, которых толкает буксир и т. д. и т. п.

Целью курсового проектирования является освоение методов моделирования, анализа и синтеза систем автоматического управления с помощью современных инструментальных средств.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

- построить нелинейную математическую модель объекта управления;

- провести анализ объекта методом компьютерной имитации;

- провести анализ устойчивости, управляемости и наблюдаемости объекта по линеаризованной модели;

- синтезировать регуляторы методом пространства состояний;

- синтезировать регуляторы частотным методом;

- провести анализ нелинейных систем управления;

- выбрать алгоритмы цифрового управления непрерывным объектом.

1. Перевернутый маятник на каретке как объект управления

1.1. Перевернутый маятник на каретке

Принципиальная схема механического объекта — перевернутого маятника на каретке — изображена на рис. 1.1, где приняты следующие обозначения параметров:

• m – масса маятника, кг;

• M – масса каретки, кг;

• l – длина маятника, м,

а также переменных:

• (t) – угол отклонения маятника, рад;

• x(t) – положение каретки, м;

• f(t) – сила, действующая на каретку, Н (кг*м/сек²).

Целью управления является стабилизация верхнего положения равновесия маятника.

Рис. 1.1. Принципиальная схема перевернутого маятника на каретке

Рассматриваемый объект имеет две степени свободы – вращательное движение маятника и поступательное движение каретки. Управление таким объектом осложняется тем обстоятельством, что имеется только одно управляющее воздействие – сила f(t), приложенная к каретке.

1.2. Математическая модель объекта управления

Методы синтеза систем автоматического управления непрерывными объектами основаны на математических моделях в виде дифференциальных уравнений.

Рис. 1.1 можно интерпретировать как символьную модель, представленную на языке механики. Для перевода знаний с языка механики (рис. 1.1) на язык математических моделей используют законы классической механики. Такой способ построения математических моделей называют аналитическим — он возможен для объектов хорошо изученной природы.

Примем следующие допущения:

• массы маятника и каретки сосредоточены;

• отсутствует сопротивление среды;

• отсутствует трение.

В качестве обобщенных координат для рассматриваемой системы с двумя степенями свободы выберем (t) — угол отклонения маятника и x(t) — положение каретки.

Математическая модель рассматриваемого объекта в виде системы двух дифференциальных уравнений второго порядка имеет вид:

(1.1)

(1.2)

Уравнение (1.1) представляет собой выражение баланса моментов, действующих на маятник, а уравнение (1.2) — баланса сил, действующих на каретку.

1.3. Дифференциальные уравнения в форме Коши

Анализ объекта и его компьютерное моделирование упрощаются, если дифференциальные уравнения разрешены относительно старших производных.

Заметим, что вторые производные в уравнения (1.1), (1.2) входят линейно. С учетом этого, приведем систему уравнений к матричной форме:

.

Прежде всего, проверим существование и единственность решения — вычислим определитель матрицы:

и убедимся в том, что он не равен нулю.

Для решения системы уравнений воспользуемся правилом Крамера

Теперь легко записать уравнения объекта в форме Коши:

;

(1.3)

;

Заметим, что правые части уравнений не содержат переменных , т. е. положение и скорость каретки не влияют на ускорения маятника и каретки. Объект может занимать любое положение или совершать равномерное поступательное движение.