Контрольная работа: Основы математического анализа

Основы математического анализа

1. Найдите пределы, не пользуясь правилом Лопиталя

Решение

;

=;

;

=

2. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте её график

                         y=

Решение

Область определения данной функции D(y)= (−∞; +∞). В точках x=1 и x=2 функция меняет свой способ задания. В этих точках возможен разрыв.

Исследуем на непрерывность функцию  в точке x=1;

=1

;

.

Так как =1, заключаем что непрерывна в точке x=1.

Исследуем на непрерывность функцию  в точке x=2;

;

=-2.

Так как , но оба предела конечны, заключаем что  в точке x=2 терпит разрыв 1 рода.

y =;

Данная функция определена для всех значений x, для которых ≠ 0, т.е. x≠±1/2.

Во всех точках своей области определения функция непрерывна. Точки x=1/2 и x=-1/2 являются точками разрыва, так как в этих точках функция не определена.

Определим тип точки разрыва x=-1/2. Для этого находим односторонние пределы:

Односторонние пределы равны бесконечности, следовательно, в точке x=-1/2 разрыв 2-го рода.

Определим тип точки разрыва x=1/2. Для этого находим односторонние пределы;

Односторонние пределы равны бесконечности, следовательно, в точке x=1/2 разрыв 2-го рода.

Исследуем поведение функции на бесконечности

Вычислим значения функции в некоторых точках:

3. Найдите производную функции

;         ;

;         ; ;

Решение

=

=;

;

;

;

;

=;

;

y'=

=

==

=;

4. Найдите пределы, пользуясь правилом Лопиталя

Решение

. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке

, [-3; 0];                  , [2; 8].

Решение

, [-3; 0];

Найдем производную данной функции

Решим уравнение

x=0∈[-3; 0]=конец отрезка;   x=-1∈[-3; 0],        x=1[-3; 0]

Вычислим значение функции в точке x=-1 и на конца отрезка. т.е. при x=-3, и x=0

,

Следовательно,..

, [2; 8].

Найдем производную данной функции

Решим уравнение

D=b^2-4ac=

⇒5,    ;

Вычислим значение функции в точке x=5 и на концах отрезка, т.е. при x=2, и x=8,

Следовательно, .

Список литературы

предел лопиталь функция производная

1.      Самочернова Л.И. Высшая математика. Часть 2: учебное пособие / Л.И. Самочернова; Томский политехнический университет. - изд., испр. - Томск: Издательство Томского политехнического университета, 2005. - 164 с.

.        Алгебра и начала анализа. 9 и 11 выпускные классы / Е.В. Якушева, А.В. Попов, О.Ю. Черкасов, - 416 с. - (Экзаменационные вопросы и ответы. Экзамен на 5).

.        3000 конкурсных задач по математике. 2-е изд., испр. и доп. - М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998. - 624 с.