Курсовая работа (т): Передаточные функции четырехполюсника

Передаточные функции четырехполюсника

Передаточные функции четырехполюсника

1. Основы теории четырехполюсника

Определение четырехполюсника

Для передачи информации с помощью электромагнитной энергии (волн, сигналов в электрических схемах) применяются различные устройства, имеющие два входных (первичных) зажима и два выходных (вто-ричных). К входным зажимам подключается источник электрической энергии, к выходным присоединяется нагрузка. Такие устройства называются четырехполюсниками. Четырехполюсниками являются фильтры, трансформаторы, усилители, каскады радиопередатчиков и радиоприемников, линии связи и так далее.

Классификация четырехполюсников

) Четырехполюсники бывают активные и пассивные. В активном четырехполюснике есть источники энергии, в пассивном − источников энергии нет. Примерами активных четырехполюсников являются усилители, каскады радиопередатчиков и радиоприемников и др. Примером пассивного четырехполюсника может служить кабельная или воздушная линия связи, электрический фильтр и др.

) Четырехполюсники делятся на линейные и нелинейные. Четырехполюсник является линейным, если напряжение и ток на его выходных зажимах линейно зависят от напряжения и тока на входных зажимах. Примерами линейных четырехполюсников являются линии связи, фильтры, примерами нелинейного - выпрямитель, детектор, преобразователь частоты в радиоприемнике.

) Четырехполюсники могут быть симметричными и несимметричными. Четырехполюсник симметричен, если перемена местами входных и выходных зажимов не изменяет токов и напряжений в цепи, с которой четырехполюсник соединен. В противном случае четырехполюсник несимметричен.

) Четырехполюсники бывают автономными и неавтономными. На зажимах автономного четырехполюсника остается напряжение, обусловленное наличием внутренних источников, т.е. такой четырехполюсник обязательно является активным. В противном случае четырехполюсник пассивен.

) Различают также обратимые и необратимые четырехполюсники. В обратимых четырехполюсниках отношение напряжения на входе к току на выходе (передаточное сопротивление) не зависит от того, какая пара зажимов является входной, а какая выходной. В противном случае четырехполюсник необратим.

Система уравнений четырехполюсника

Основной задачей теории четырехполюсников является установление соотношений между напряжениями на входе и выходе и токами, протекающими через входные и выходные зажимы.

Вариант с токами I₁ I₂ называют прямой передачей, а I′₁, I′₂ - обратной. Очевидно, что I₁= - I′₁, а I₂= - I′₂.

Две из четырех величин, определяющих режим четырехполюсника, можно рассматривать как заданные воздействия, две оставшиеся - как отклики на эти воздействия. Таким образом, соотношения между токами и напряжениями на входе и выходе четырехполюсника могут быть записаны в виде шести систем уравнений.

.        Токи на входе и выходе выражаются в зависимости от напряжений на входных и выходных зажимах:

Коэффициенты Y₁₁, Y₁₂, Y₂₁, Y₂₂ называются Y-параметрами и являются комплексными проводимостями.

Действительно,

 - комплексная входная проводимость при коротком замыкании выходных зажимов.

 - комплексная входная проводимость со стороны зажимов (2-2) при коротком замыкании входных зажимов.

 - комплексная передаточная (взаимная) проводимость при коротком замыкании входных зажимов.

 - комплексная передаточная (взаимная) проводимость при коротком замыкании выходных зажимов.

В случае обратимого четырехполюсника Y₁₂ = Y₂₁. Если четырехполюсник симметричен, то Y₁₁= Y₂₂ и его свойства определяются только двумя параметрами (например, Y₁₁, Y₁₂).

.        Напряжения на входе и выходе выражаются в зависимости от токов, протекающих через входные и выходные зажимы:

Действительно,

 - входное сопротивление со стороны зажимов (1-1) при разомкнутых выходных зажимах.

 - передаточное (взаимное) сопротивление при разомкнутых зажимах (1-1).

 - передаточное (взаимное) сопротивление при разомкнутых зажимах (2-2).

 - входное сопротивление со стороны зажимов (2-2) при разомкнутых зажимах (1-1).

В случае обратимого четырехполюсника Z₁₂ = Z₂₁. Если четырехполюсник симметричен, то Z₂₂ = Z₁₁ и его свойства определяются только двумя параметрами (например, Z₁₁, Z₁₂).

.        В случае, когда четырехполюсник выполняет роль промежуточного звена между источником сигнала и сопротивлением нагрузки, заданными являются напряжение и ток на выходе (U₂, I₂), а искомыми величины, характеризующие режим на входе четырехполюсника (U₁, I₁). Связь между входными и выходными напряжениями и токами устанавливает система параметров прямой передачи:

Действительно,

 - отношение напряжений в режиме холостого хода на выходе.

 - величина, обратная передаточному сопротивлению в режиме холостого хода на выходе.

 - величина, обратная передаточной проводимости в режиме короткого замыкания на выходе.

 - отношение токов в режиме короткого замыкания на выходе.

Найдем связь между A - и Y - параметрами. Из второго уравнения системы Y - параметров следует:

Подставив последнее выражение в первое уравнение системы Y - параметров, получим:

И окончательно,

Следовательно,

Где Y = Y₁₁ Y₂₂ − Y₁₂ Y₂₁ - определитель, составленный из Y - параметров.

Определитель, составленный из A - параметров, равен:

Для обратимого четырехполюсника:

Для анализа передачи сигнала от зажимов (2-2) к зажимам (1-1) используется система уравнений обратной передачи:

Значения B - параметров определяются также из опытов холостого хода входной цепи (I′₁ = 0) и короткого замыкания (U₁= 0).

.        Когда заданными являются комплексные амплитуды тока на входе I₁ и напряжения на выходе U₂, искомые величины U₁ и I′₂ могут быть найдены из системы уравнений в H - параметрах:

Значения каждого из H - параметров определяются из опытов короткого замыкания на выходе (U₂ = 0) и холостого хода первичной цепи (I₁= 0).

.        В том случае, когда задаются величины U₁ и I₂, ток на входе I₁ и напряжение на выходе U₂ определяются из уравнений в G - параметрах:

Входящие в эту систему уравнений G - параметры могут быть найдены из опытов холостого хода выходной цепи (I′₂ = 0) и короткого замыкания на входе (U₁= 0).

Поскольку все шесть систем параметров описывают один четырехполюсник, то они связаны между собой формулами пересчета, приведенными в справочных таблицах.

Входное сопротивление четырехполюсника

Влияние четырехполюсника на режим цепи, с которой он соединен, оценивается входными сопротивлениями:

На эти входные сопротивления оказывается нагруженным источник при передачи сигнала слева направо (рис. а) и справа налево (рис. б).

Входные сопротивления могут быть выражены через любую систему параметров четырехполюсника. Удобнее всего это сделать, воспользовавшись системой A - параметров.

В этом случае:

Так как

Выражения для входных сопротивлений могут быть представлены и в иной форме. Действительно,

Здесь:

 - входные сопротивления в режиме холостого хода и короткого замыкания на выходе.

 - входные сопротивления в режиме холостого хода и короткого замыкания на входе.

Таким образом, четырехполюсник трансформирует сопротивление нагрузки в новое сопротивление, зависящее как от величины нагрузки, так и от параметров четырехполюсника.

2. Характеристические параметры четырехполюсник

Наряду с рассмотренными выше первичными параметрами (коэффициентами в системах уравнений) четырехполюсника, при решении многих задач пользуются характеристическими (вторичными) параметрами четырехполюсника. К ним относятся: характеристические сопротивления, постоянная передачи (мера передачи) и коэффициент трансформации.

Известно, что генератор с внутренним сопротивлением Z_i отдает максимальную мощность в нагрузку Z_H при условии Z_i = Z_H. Если между генератором и нагрузкой находится четырехполюсник, то для передачи максимальной мощности от генератора к четырехполюснику необходимо согласовать входное сопротивление четырехполюсника Z_BX1 с внутренним сопротивлением генератора то есть выполнить условие Z_i = Z_BX1, а для передачи максимальной мощности от четырехполюсника в нагрузку − согласовать выходное сопротивление четырехполюсника с сопротивлением нагрузки, т.е. выполнить условие Z_BX2 H = Z. Режим работы четырехполюсника, когда Z_i = Z_BX1 и Z_BX2 H = Z, называется режимом согласованного включения.

Оказывается, для любого четырехполюсника существует такая пара сопротивлений, для которой выполняется условие

Эти сопротивления называются характеристическими сопротивлениями четырехполюсника и обозначаются Z1C и Z2C.

Учитывая, что Z_BX1= Z_i =Z_1C и Z_BX2 = Z_H = Z_2C, получим

Решив совместно эти уравнения, найдем:

Поскольку  то характеристические сопротивления можно выразить через параметры холостого хода и короткого замыкания:

Если четырехполюсник согласован с нагрузкой, т.е.

то уравнения в системе A - параметров принимают следующий вид:

Из последней системы уравнений можно получить

Величина  - называется коэффициентом трансформации четырехполюсника.

Входное сопротивление согласованного четырехполюсника:

Z_ВХ1=Z_1C=(n_T)²Z_2C=(n_T)²ZH

т.е. согласованный четырехполюсник трансформирует сопротивление нагрузки в (n_T)² раз.

Таким образом,

где g - характеристическая постоянная передачи (мера передачи) четырехполюсника.

Если четырехполюсник симметричен, A₁₁=A₂₂, Z_C1=Z_C2, n_T=1, то

то есть постоянная передачи определяется только первичными параметрами четырехполюсника.

Выразим первичные A - параметры через характеристические параметры

Z_1C, Z_2C, g.

Согласно полученному выше:

Умножив числитель и знаменатель последнего выражения на , и учитывая, что , получим:

Таким образом:

где ch g - гиперболический косинус, sh g - гиперболический синус.

Далее находим:

В итоге получаем систему уравнений, связывающих первичные параметры со вторичными,

Подставляя найденные коэффициенты в систему уравнений для A - параметров, получим систему уравнений четырехполюсника в гиперболических функциях:

Если четырехполюсник симметричен Z_1C = Z_2C, то

При согласованной нагрузке Z_H=Z_2C, Z_2CI₂=U₂, ch g + sh g = e^g система уравнений принимает вид:

Постоянная передачи в общем случае величина комплексная g = a + jb.

Характеристические сопротивления также величины комплексные