Материал: Понятие о численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений

.

Эти уравнения и представляют собой систему ОДУ в канонической форме.

Последнее замечание. При решении задач в рамках настоящего пособия мы будем использовать математический пакет Maple, который предоставляет достаточно широкие возможности для численного решения ОДУ (можно использовать разные численные методы) и построения графиков их решений. Таким образом, при решении предлагаемых в пособии задач студентам не придётся сами программировать метод Рунге-Кутты или какие-либо другие методы численного решения дифференциальных уравнений.

Численное (а по возможности, и аналитическое) решение ОДУ на языке Maple осуществляется с помощью оператора dsolve, с разными спецификациями, которые, в частности, позволяют выбрать необходимый метод численного интегрирования. По умолчанию используется некоторая модификация чеитырёхточечного метода Рунге-Кутты, которая получила название метода Рунге-Кутты-Фельдберга. Она осуществляет решение ОДУ с переменным шагом, величина которого подбирается в зависимости от скорости изменения искомого решения (то есть от крутизны соответствующей интегральной кривой).

5. Вычислительный эксперимент

В предыдущих разделах рассматривались понятия математической модели и дифференциальных уравнений, которые составляют неотъемлемую часть большинства таких моделей, по крайней мере тех, которые мы обсуждаем в настоящем пособии. Мы обсудили также простейшие численные методы решения дифференциальных уравнений. Таким образом, у нас есть средства для численного исследования разнообразных математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями. Теперь настаёт черёд постановки соответствующих вычислительных (компьютерных) экспериментов, с помощью которых и проводится исследование рассматриваемых математических моделей, описывающих изучаемые физические явления.

Суть вычислительного эксперимента заключается в том, что с помощью некоторой компьютерной программы мы проводим численное исследование рассматриваемой нами математической модели, варьируя различные входящие в модель параметры.

Чаще всего результатом вычислительного эксперимента является некоторая числовая информация, выдаваемая компьютером в виде таблиц и (или) графиков. Например, мы проводим расчеты возможных траекторий полёта космического аппарата с учётом различных факторов, влияющих на этот полёт, пытаясь найти в том или ином смысле оптимальный вариант.

По-видимому, наиболее интересными являются те задачи, решение которых заключается в анализе качественно различных режимов поведения системы в зависимости от задаваемого набора свободных параметров математической модели. Такая постановка задачи является очень типичной при исследовании проблем нелинейной физики. При этом роль вычислительного эксперимента вполне аналогична роли натурного физического эксперимента. Заметив некоторый особый режим поведения рассматриваемой нами модели, мы в дальнейшем пытаемся выяснить физическую природу данного физического явления.

Может быть, для этого придётся построить некоторую приближённую аналитическую теорию, поставить ряд реальных физических экспериментов, подтверждающих или, наоборот опровергающих результаты численного эксперимента (что вполне возможно в случае ошибочности построения математической модели или неучёта в ней каких-либо существенных факторов). Таким образом, вычислительный эксперимент может сыграть существенную эвристическую роль, натолкнув исследователя на некоторые новые физические идеи. Приведённая в начале настоящего пособия краткая история зарождения солитонной физики была нацелена как раз на то, чтобы оттенить именно эту идею.

Подведём итоги. Суть вычислительной физики заключается в построении математических моделей, адекватных изучаемым физическим явлениям, в разработке соответствующих приближённых аналитических и численных методов и в исследовании этих моделей с помощью проведения соответствующих вычислительных (компьютерных) экспериментов. Особенно эффективны методы вычислительной физики при рассмотрении соответствующих задач нелинейной физики, где очень редко удаётся получить какие-либо точные аналитические результаты.

Все описанные в настоящем разделе идеи будут подробно рассмотрены нами на примерах исследования ряда проблем классической механики, вполне доступных для понимания студентов младших курсов. Рассмотрение же математических моделей из других областей физики может потребовать привлечения знаний квантовой механики, электродинамики, физики твёрдого тела, теории квантовых полей и т.д., знание которых на втором курсе физического факультета ещё не предполагается.

Литература

1. Касьянов В.И.: Руководство к решению задач по высшей математике. - М.: Юрайт, 2011

. НИУ БелГУ ; гл. ред. Л.Я. Дятченко: Научные ведомости Белгородского государственного университета. - Белгород: ИПК НИУ "БелГУ", 2011

. Чеканов Н.А.: Применение дифференциальных уравнений в курсе общей физики. - Белгород: НИУ БелГУ, 2011

. Алексеев Г.В.: Оптимизация в стационарных задачах тепломассопереноса и магнитной гидродинамики. - М.: Научный мир, 2010

. Бирман М.Ш.: Избранные труды. - Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2010

. Козлов В.В.: Избранные работы по математике, механике и математической физике. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика" ; , 2010

. Лакс П.Д.: Гиперболические дифференциальные уравнения в частых производных. - Ижевск: Ижевский ин-т компьютерных исследований, 2010

. Николаевский В.Н.: Собрание трудов. Геомеханика. - Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2010

. НИУ БелГУ ; гл. ред. Л.Я. Дятченко: Научные ведомости Белгородского государственного университета. - Белгород: БелГУ, 2010

. Новосадов Б.К.: Методы математической физики молекулярных систем. - М.: ЛИБРОКОМ, 2010