В рассмотренных классах систем эконометрических уравнений структура матрицы коэффициентов при зависимых переменных различна.
Представим систему эконометрических уравнений в матричном виде:
BY + ГX = E, (1.8)
где В - матрица коэффициентов при зависимых переменных;
Y - вектор зависимых переменных;
Г - матрица параметров при объясняющих переменных;
Х - вектор объясняющих переменных;
Е - вектор ошибок.
Если матрица В диагональная, то рассматриваемая модель является системой независимых уравнений. Так, при трех зависимых и трех объясняющих переменных модель имеет вид:
(1.9)
Если матрица В треугольная (или может быть приведена к такому виду), то модель представляет собой систему рекурсивных уравнений. Так, если модель имеет вид:
(1.10)
Т.е. зависимая переменная первого уравнения участвует как объясняющая переменная во втором уравнении системы, а зависимая переменная второго уравнения рассматривается как объясняющая переменная в третьем уравнении.
Если матрица В не является ни диагональной, ни треугольной, то модель представляет собой систему одновременных уравнений.
1.3 Проблема идентификации
При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация -- это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели. [4, c. 255].
С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида: а) идентифицируемые, б) неидентифицируемые, в) сверхидентифицируемые.
Модель идентифицируема, если все ее структурные коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели.
Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.
Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы. [4, c. 257].
Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых необходимо проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение. [4, c. 258].
Необходимое условие идентификации - выполнение счетного правила:
D + 1 = H - уравнение идентифицируемо;
D + 1 < H - уравнение неидентифицируемо;
D + 1 > H - уравнение сверхидентифицируемо,
где H - число эндогенных (зависимых) переменных в уравнении,
D - число предопределенных (независимых) переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.
Достаточное условие идентификации - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.
Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных - двухшаговый МНК. [5, c. 107].
Для оценки параметров структурной модели система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема. [4, c. 260].
1.4 Структурная и приведенная формы модели
Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных выбирать такие переменные, которые обладают свойством управления. Меняя из и управляя ими, можно получать целевые значения эндогенных переменных.
Структурная форма модели (1.7) в правой части содержит при эндогенных переменных коэффициенты и при экзогенных - коэффициенты (), которые называются структурными коэффициентами модели. Если в уравнениях модели переменные выражены в отклонениях от среднего уровня, то есть под х подразумевается , а под у соответственно , то в этих уравнениях отсутствует свободный член, то есть , , … Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели даёт, как правило, смещенные и несостоятельные оценки в силу отмеченного свойства коррелированности случайных остатков с переменными. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.
Приведенная форма модели представляет собой систему, выражающую зависимость эндогенных переменных от экзогенных,
|
(1.11) |
где - коэффициенты приведенной формы (приведенные коэффициенты) модели; - случайные остатки для приведенной формы.
По своему виду приведенная форма модели имеет вид системы независимых уравнений. Её параметры оцениваются традиционным МНК, можно оценить , а затем - значения эндогенных переменных через экзогенные.
Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой, как правило, нелинейные функции коэффициентов структурной модели, выразив коэффициенты приведенной формы модели через коэффициенты структурной модели.
Для структурной модели вида
(1.12)
приведенная форма модели имеет вид
(1.13)
Из первого уравнения (1.12) можно выразить следующим образом (ради упрощения опускаем случайные остатки):
(1.14)
Подставляя во второе уравнение (1.12), имеем
(1.15)
откуда
(1.16)
Поступая аналогично со вторым уравнением системы (1.12), получим
(1.17)
то есть система (1.12) принимает вид
(1.18)
Таким образом, коэффициенты приведенной формы модели будут выражаться через коэффициенты структурной формы следующим образом:
(1.19)
Следует заметить, что приведенная форма модели хотя и позволяет получить значения эндогенной переменной через значения экзогенных переменных, но уступает структурной форме модели, так как, с одной стороны, в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными, а с другой - экономический смысл коэффициентов трудно поддаётся интерпретации.
1.4 Применение систем эконометрических уравнений
Применение систем эконометрических уравнений представляет собой непростую задачу. Проблемы здесь происходят из-за ошибок спецификации. Основной областью применения эконометрических моделей является построение макроэкономических моделей экономики целой страны. Это, главным образом, мультипликаторные модели кейнсианского типа. Более совершенными по сравнению со статическими моделями являются динамические модели экономики, которые содержат в правой части лаговые переменные и учитывают тенденцию развития (фактор времени). Значительные трудности создает невыполнение условия независимости факторов, которое в корне нарушается в системах одновременных (взаимозависимых) уравнений.
Использование корреляционно-регрессионного анализа в контексте структурного моделирования -- это попытка подойти к выделению и измерению причинных связей переменных. Для этого следует сформулировать гипотезы о структуре влияний и корреляции. Такая система причинных гипотез и соответствующих взаимосвязей изображается графом, вершины которого -- это переменные (причины или следствия), а дуги -- причинные отношения. Верификация гипотез требует установления соответствия между графом и системой уравнений, описывающей этот граф.
Структурные модели эконометрики представляются системой линейных по отношению к наблюдаемым переменным уравнений. Если алгебраическая система соответствует графу без контуров (петель), то она является рекурсивной системой. Такая система позволяет рекуррентно определять значения входящих в нее переменных. В ней в уравнения для признака включаются все переменные, кроме тех, которые расположены выше него по графу. Соответственно формулировка гипотез в структуре рекуррентной модели довольно проста, при условии использования данных динамики. Рекурсивная система уравнений позволяет определить полные и частные коэффициенты влияния факторов. Коэффициенты полного влияния измеряют значение каждой переменной в структуре. Структурные модели позволяют оценить полное и непосредственное влияние переменных, прогнозировать поведение системы, рассчитывать значения эндогенных переменных.
Если нужно всего лишь уточнить характер связей переменных, то используют метод путевого анализа (путевых коэффициентов). В основе его лежит гипотеза об аддитивном характере (аддитивность и линейность) связей между переменными. К сожалению, применение путевого анализа в социально-экономических исследованиях затруднено тем, что не всегда линейная зависимость удовлетворительно выражает все разнообразие причинно-следственных связей в реальных системах. Значимость результатов анализа определяется правильностью построения максимально связного графа и, соответственно, изоморфной математической модели в виде системы уравнений. В то же время важным достоинством путевого анализа является возможность производить декомпозицию корреляций.
В данной главе мы рассмотрели сущность систем эконометрических уравнений, их применение. Таким образом, понятие одновременных эконометрических уравнений и методы их решения были впервые предложены норвежским экономистом Т. Хавельмо, лауреатом Нобелевской премии по экономике.
В зависимости от характера ограничений и статистической структуры переменных эконометрические модели классифицируются на линейные модели с одной, двумя и большим числом переменных.
Применение систем эконометрических уравнений представляет собой непростую задачу. Основной областью применения эконометрических моделей является построение макроэкономических моделей экономики целой страны. Это, главным образом, мультипликаторные модели кейнсианского типа.
2. Методы оценивания параметров системы одновременных уравнений
Структурные коэффициенты модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений и вида связей между её переменными. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:
• косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);
• метод максимального правдоподобия с полной информацией;
• метод максимального правдоподобия при ограниченной информации;
• метод инструментальных переменных
• двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК);
• трёхшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК). [3, c. 204].
Косвенный и двухшаговый МНК подробно описаны в литературе и рассматриваются как традиционные методы оценки коэффициентов структурной модели. [4, c. 264].
Косвенный МНК предназначен для оценивания структурных параметров отдельного уравнения системы и может дать результат только в применении к точно идентифицируемому уравнению. [6, c. 353].
Применение косвенного МНК включает в себя следующие этапы:
• преобразование структурной модели в приведенную форму модели;
• оценивание коэффициентов приведенной формы при помощи обычного МНК;
• трансформация коэффициентов в параметры структурной модели.
Если система сверхидентифицируема, то КМНК не используется, ибо он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут применяться разные методы оценивания, среди которых двухшаговый метод наименьших квадратов.
Двухшаговый МНК является одним из наиболее «популярных» методов оценки параметров моделей структурной формы. Причем обычно он используется в случае изолированного рассмотрения каждой из моделей системы. [7, c. 330].
Основная идея ДМНК - на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Метод получил название «двухшаговый МНК», ибо МНК используется дважды: на I шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной и на II шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных.
Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.
Метод максимального правдоподобия с полной информацией рассматривается как наиболее общий метод оценивания, результаты которого при нормальном распределении признаков совпадают с МНК. Вместе с тем при большем числе уравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительным процедурам, поэтому в качестве модификации используется метод максимального правдоподобия при ограниченной информации, разработанный в 1949 г. Т. Андерсоном и Н. Рубиным. [3, c.207].
В отличии от метода максимального правдоподобия в данном методе сняты ограничения на параметры, связанные с функционированием системы в целом. Это делает решение более простым, но трудоёмкость вычислений остаётся достаточно высокой. Несмотря на его значительную популярность, к середине 60-х гг. он был практически вытеснен ДМНК в связи с гораздо большей простотой последнего.