Курсовая работа: Построение модели спроса и предложения на основе системы одновременных уравнений

Дальнейшим развитием ДМНК является трёхшаговый МНК, предложенный в 1962г. А. Зельнером и Г. Тейлом. Этот метод оценивания пригоден для всех видов уравнений структурной модели, однако при некоторых ограничениях параметров более эффективным оказывается ДМНК.

Метод инструментальных переменных применяется для точно идентифицируемых систем одновременных уравнений. Предопределенные переменные структурных уравнений коррелируют со случайными остатками, поэтому классические МНК-оценки параметров не обладают нужными свойствами, например, не являются состоятельными. Для получения улучшенных оценок вводятся новые переменные. Для j-го структурного уравнения рассматриваются вектор наблюдений j-ой эндогенной переменной и вектор значений соответствующей компоненты случайных остатков. По причине нарушения некоррелированности регрессоров и случайных остатков в этом уравнении классическая МНК-оценка параметров является несостоятельной. Вектор инструментальных переменных представляет собой случайный вектор с невырожденной ковариационной матрицей, который не коррелирован с вектором случайных остатков и имеет невырожденную ковариационную матрицу с эндогенными и предопределенными переменными, входящими в j-е структурное уравнение. На основе такого вектора посредством метода инструментальных переменных строится состоятельная оценка вектора параметров j-ого структурного уравнения. Точность такой оценки тем выше, чем сильнее вектор инструментальных переменных коррелирует с эндогенными и предопределенными переменными, входящими в j-е структурное уравнение.

2.1 Применение двухшагового метода наименьших квадратов для построения модели спроса и предложения

Рассмотриv простейшую макроэкономическую кейнсианскую модель потребления вида:

(2.1)

где y - валовой национальный доход;

y_-1 - валовой национальный доход предшествующего года;

C - личное потребление;

D - конечный спрос (помимо личного потребления);

и - случайные составляющие;

- неучтенный доход;

- автономное потребление;

- склонность к потребления текущего и предшествующего периода.

Информация за девять лет о приростах всех показателей дана в таблице (2.1).

Таблица 2.1. Данные о личном потреблении и конечном спросе

Примечание - Собственная разработка

Для начала стоит трансформировать систему к приведенному виду. Затем последует проведение индентификации модели и расчёт параметров уравнений структурной модели.

Приведенная форма модели будет иметь вид:

(2.2)

где и - случайные ошибки приведенной формы модели.

Для каждого уравнения приведенной формы модели применим МНК и определим д-коэффициенты. Эти уравнения выступают в роли сглаживающих функций для экспериментальных данных. Для определения коэффициентов строится функционал вида

(2.3)

Необходимым условием минимума функции многих переменных является равенство нулю ее частных производных первого порядка по независимым переменным.

Для того чтобы найти набор коэффициентов , которые доставляют минимум функции S, определяемой формулой (2.3), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных. В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов :

(2.4)

Для определения минимума данного функционала можно использовать только необходимое условие минимума, так как существует всего лишь одна точка, в которой все частные производные равны нулю. Также нетрудно проверить, что данный функционал удовлетворяет достаточному условию минимума.

Система (2.4) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений порядка m+1 относительно неизвестных . Она называется системой нормальных уравнений. Решения доставляют минимум функционалу (2.3). [11, c. 75].

Для I уравнения приведенной формы система нормальных уравнений составит:

(2.5)

Применительно к рассматриваемому примеру, имеем:

(2.6)

Решив данную систему, получим следующее I уравнение приведенной формы модели:

(2.7)

Аналогично применяем МНК для второго уравнения приведенной формы модели. Система нормальных уравнений составит:

(2.8)

В соответствии с нашим примером имеем:

(2.9)

Откуда второе приведенное уравнение составит:

(2.7)

Таким образом, приведенная форма модели имеет вид:

(2.8)

В данной модели две эндогенные переменные (y и C) и две экзогенные переменные (D и ). Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные и не содержит одну экзогенную переменную из системы. Иными словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2 = 1 + 1.

Первое уравнение сверхидентифицировано. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная у. Переменная С в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной D. В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1 + 1 = 2: D + 1> H. Это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, следовательно, система сверхидентифицирована.

Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется ДМНК.

На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному II уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной С. В приведенное уравнение

(2.10)

подставим значения D и , имеющиеся в условии задачи. Получим:

(2.11)

По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения С на теоретические и рассчитываем новую переменную в таблицу (2.2).

Таблица 2.2. Расчетные данные для второго шага ДМНК

Примечание - Собственная разработка

Далее к сверхидентифицированному уравнению применяется метод наименьших квадратов. Обозначим новую переменную через Z. Решаем уравнение

(2.12)

Система нормальных уравнений составит:

(2.13)

Итак, первое уравнение структурной модели будет таким:

(2.14)

Так как второе уравнение точно идентифицировано, то его коэффициенты определяются по приведенной форме. В связи с этим рассматриваемая система примет вид:

(2.14)

С помощью Двухшагового МНК была построена модель спроса и предложения, на основе наблюдений за промежуток в девять лет за такими показателями как:

y - валовой национальный доход;

y_-1 - валовой национальный доход предшествующего года;

C - личное потребление;

D - конечный спрос (помимо личного потребления);

и - случайные составляющие;

- неучтенный доход;

- автономное потребление;

- склонность к потребления текущего и предшествующего периода.

Так как было подтверждено, что система сверхидентифицируема, то КМНК не был использован, ибо он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут применяться разные методы оценивания, но Двухшаговый МНК является одним из наиболее «популярных» методов оценки параметров моделей структурной формы. Причем обычно он используется в случае изолированного рассмотрения каждой из моделей системы.

Заключение

В результате проведенной работы были углублены знания в области эконометрики и численных методов, изучены модификации метода наименьших квадратов, в частности, косвенный, двухшаговый и трехшаговый методы наименьших квадратов. Подробно рассмотрен двухшаговый метод наименьших квадратов и приведен пример для этого метода.

Под системой эконометрических уравнений обычно понимается система одновременных, совместных уравнений. Ее применение имеет ряд сложностей, которые связаны с ошибками спецификации модели. В виду большого числа факторов, влияющих на экономические переменные, исследователь, как правило, не уверен в точности предполагаемой модели для описания экономических процессов.

В зависимости от характера ограничений и статистической структуры переменных эконометрические модели классифицируются на линейные модели с одной, двумя и большим числом переменных.

Применение систем эконометрических уравнений представляет собой непростую задачу. Основной областью применения эконометрических моделей является построение макроэкономических моделей экономики целой страны. Это, главным образом, мультипликаторные модели кейнсианского типа.

По типу построения системы эконометрических уравнений могут быть трех видов: системы независимых уравнений, системы рекурсивных уравнений и системы взаимозависимых уравнений. Последние наиболее часто встречаются на практике, и их решению была посвящена данная работа.

В ходе работы рассмотрены основные проблемы в решении систем эконометрических уравнений, такие как проблема идентификации и проблема перехода от структурной формы модели к приведенной форме. Установлено, что системы одновременных уравнений могут быть точно идентифицируемыми, для которых коэффициенты приведенной формы модели могут быть определены однозначно, сверхидентифицируемыми и неидентифицируемыми, коэффициенты структурной модели которых нельзя однозначно оценить.

Для оценки коэффициентов структурной модели точно идентифицируемой системы одновременных уравнений применяется косвенный метод наименьших квадратов, для сверхидентифицируемой - двухшаговый МНК, трехшаговый и другие.

Список использованных источников

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.

2. Доугерти К. Введение в эконометрику / Пер. с англ. - М.: Инфра М, 1997. - 402 с.

3. Комаров Д.М., Орлов А.И. Роль методологических исследований в разработке методоориентированных экспертных систем (на примере оптимизационных и статистических методов). - В сб.: Вопросы применения экспертных систем. - Минск: Центросистем, 1988. С.151-160.

4. Орлов А.И. О современных проблемах внедрения прикладной статистики и других статистических методов. //Заводская лаборатория. 1992. Т.58. №1. с.67-74.

5. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордиенко и др. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 192 с.

6. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. - М.: Мир, 1980. - 456 с.

7. Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика. - М.: Экзамен, 2003.

8. Эконометрика./Под ред. И.И. Елисеевой, - М.: Финансы и статистика, 2002.

9. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 344 с.

10. Эконометрика под ред. И.И. Елисеевой М.: изд-во «Финансы и кредит», 2002.

11. Эконометрика под ред. И.И. Елисеевой М.: изд-во «Финансы и кредит», 2002.

12. Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, А.А. Пересецкий. «Эконометрика начальный курс» М.: изд-во «Дело» 2000.

13. Леонтьев, В.В. Межотраслевая экономика: Пер. с англ. /В.В. Леонтьев.- М.: Экономика, 1997. - 479 с.

14. Баранов, А.О. Построение и использование региональных и межотраслевых моделей для анализа и прогнозирования развития экономики регионов: статья / А.О. Баранов, З.Б. Дондоков, Ю.А. Слепенкова

15. Читая, Г.О. Экономико-математические методы и модели: Учебно-методическое пособие с решениями примеров и задач. - Волгоград. гос. техн. ун-т. - Волгоград, 2003. - 60 с.

16. Доможиров, Д.А. Интеграция подхода «затарыт-выпуск» в анент-ориентированное моделирование: статья / Д.А. Доможиров, Н.М. Ибрагимов, Н.В. Мельникова

17. Моделирование организационного управления в многоуровневых структурах / В.Г. Кучмиев, А.И. Лысенко, В.М. Момот, И.В. Чумаченко. - Х: ХАИ, 2004. - 231с.

18. Юдин, А.Д. Экстремальные модели в экономике. М.: Экономика, 1979. - 288с.

19. Введение в линейное программирование: учеб. пособие для студентов физ.-мат. и эконом. фак-тов / Г.И. Горемыкина, М.А. Ляшко. -- Балашов: Николаев, 2011. -- 132 с.

20. Чернышев, Л.А. Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие / Л.А. Чернышев. - Екатеринбург, 2013. - 206 с.

21. Власов, М.П. Моделирование экономических процессов / М.П. Власов, П.Д. Шимко. -- Ростов н/Д: Феникс, 2005. -- 409 с

22. Замятина, О.М. Моделирование систем: Учебное пособие. - Томск: Изд-во ТПУ, 2009. - 204 с.

23. Колемаев, В.А. Математическая экономика: учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. - 399 с.

24. [Электронный ресурс] - Режим доступа: https://economics.studio/ekonometrika/protsess-belogo-shuma.html(дата обращения: 12.05.2021).