Материал: Практическая работа 2. Показатели надежности объекта Цель приобретение навыков расчета показателей надежности невосстанавливаемого объекта

Практическая работа №2.
Показатели надежности объекта

Цель: приобретение навыков расчета показателей надежности невосстанавливаемого объекта.

Задачи:

• 
  повторить основные теоретические сведения;
  
• 
  ознакомиться с примерами решения задач, решить задачи.
  

Основные теоретические сведения

Рассмотрим временной интервал работы t [0…τ]:

• 
  при t=0 элемент начинает работать;
  
• 
  при t=τ происходит его отказ.
  

Время τ имеет случайный характер, поэтому в качестве основных функций, определяющих надежность элемента можно принять:

• 
  функцию распределения отказа
  

(1)

• 
  функцию надежности
  

(2)

Вероятность отказа

Вероятность отказа – это вероятность того, что в пределах заданной наработки или заданном интервале времени произойдет отказ объекта:

• 
  вероятностное определение (1):
  

(3)

• 
  статистическое определение:
  

. (4)

где n(t) – число отказавших к моменту времени t изделий;

N₀ – число изделий, поставленных на испытания.

Вероятность безотказной работы

Вероятность безотказной работы – это вероятность того, что в пределах заданной наработки или заданном интервале времени отказ объекта не возникает:

• 
  вероятностное определение (2):
  

(5)

• 
  статистическое определение:
  

(6)

где N_р –число работоспособных к моменту времени t изделий;

N₀ – число изделий, поставленных на испытания.

Частота отказов (плотность распределения отказов)

• 
  вероятностное определение:
  

(7)

• 
  статистическое определение:
  

(8)

где n(Δt) – число отказавших объектов в интервале Δt.

Интенсивность отказов

Интенсивность отказов – это условная плотность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не наступил:

• 
  вероятностное определение:
  

(9)

• 
  статистическое определение:
  

. (10)

гдеn(Δt) – число отказов однотипных объектов на интервале Δt, для которого определяется интенсивность отказов;

N_ср – среднее число исправно работающих объектов в интервале Δt

(11)

N_i, N_i+1 –число исправно работающих объектов в начале и конце интервала Δt.

Общее выражение для вероятности безотказной работы

(12)

Пояснение. Прологарифмируем формулу (10):

.

Величина постоянной С определяется из условия, что t=0:

P(0)=1 и ln1=0; ; ; С=0.

Средняя наработка до отказа

Средняя наработка до отказа – математическое ожидание наработки объекта до первого отказа.

Вероятностное определение:



Статистическое определение

(13)

где N₀ – число работоспособных однотипных невосстанавливаемых объектов при t = 0 (в начале испытания);

t_i – наработка до отказа i-го объекта.

Средняя наработка на отказ

(14)

где t_i – наработка между i-1 и i-м отказами, ч;

n(t) – суммарное число отказов за время t.

Среднее время восстановления

(15)

m– число отказов последствия которых устранены;

t_вi

– время восстановления работоспособного состояния после i-го отказа.
Коэффициент готовности

Вероятность того, что изделие будет работоспособно в произвольный момент времени, кроме периодов, когда применение изделия по назначению исключено

(16)

где T_о− средняя наработка на отказ;

T_в− среднее время восстановления.

Коэффициент технического использования

Характеризует долю времени нахождения элемента в работоспособном состоянии относительно рассматриваемой продолжительности эксплуатации

(17)

где t_н− суммарная наработка изделия в рассматриваемый промежуток времени;

t_в, t_pи t_о− суммарное время, затраченное на восстановление, ремонт и ТО изделия за тот же период.

Примеры решения задач

Пример 1. На испытание поставлено N₀=1000 однотипных электронных ламп. За 3000 ч отказало n(t)=80 ламп. Требуется определитьза период 3000 ч вероятность отказаQ(t) и вероятность безотказной работы P(t).

Решение

Вероятность отказа (4):



Вероятность безотказной работы (6)



либо



Пример 2. На испытание поставлено N₀=1000 однотипных электронных ламп. За первые Δt₁=3000 ч отказало 80 ламп, а за интервал времени Δt₂=3000…4000 чотказало еще Δt₂=50 ламп. Требуется определить частотуf(Δt₂) и интенсивностьλ(Δt₂) отказов электронных ламп в промежутке времени ∆t = 3000–4000 ч.

Решение

Частота отказов (7)



Интенсивность отказов (10)

.

Среднее число исправно работающих объектов в интервале (11)





Пример 3. Три однотипных объекта поставлены на испытания. За период наблюдения было зафиксировано по первому объекту 6 отказов, по второму – 11, третьему – 8. Наработка первого объекта составила

t₁=181 ч, второго t₂=329 ч, третьего t₃=245 ч. Определить наработку объектов на отказ.

Решение

, ,



Пример 4. Пусть время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону λ=2,5·10^–5 ч^–1 (λ=const). Требуется определить вероятность безотказной работы P(t), частоту отказов f(t) и среднюю наработку до отказа T при t=500, 1000, 2000 ч.

Решение

Выражение (12) при λ=cоnst примет вид

.

Тогда:



Частота отказов (7):



Тогда:





Т.к. средняя наработка на отказ – это математическое ожидание случайной наработки объекта до первого отказа, а математическое ожидание при экспоненциальном законе распределения

,

то



Пример 5. В течение некоторого периода времени производилось наблюдение за работой одного объекта. За весь период зарегистрированоn(t)=15 отказов. До начала наблюдений объект проработал 258 ч, к концу наблюдения наработка составила 1233 ч. Определить среднюю наработку на отказ T_o.

Решение

Наработка за указанный период составила

∆t=t₁–t₂=1233–258=975 ч.

Приняв = 975 ч, определим среднюю наработку на отказ по статистическим данным (14)



Пример 6. В аппаратуре было зафиксировано 8 отказов. Время восстановления составило: t₁ = 12 мин, t₂ = 23 мин, t₃ = 15 мин, t₄= 9 мин, t₅= 17 мин, t₆ = 28 мин, t₇ = 25 мин,

t₈ = 31 мин.

Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры t_в.

Решение

Среднее время восстановления аппаратуры (2.14)



Пример 7. Аппаратура имела среднюю наработку на отказ Т_о=65 ч и среднее время восстановления Т_в=1,25 ч. Требуется определить коэффициент готовности К_г.

Решение

Коэффициент готовности (16)



Пример 8. Известно, что интенсивность отказов λ= 0,02 ч^–1, а среднее время восстановления t_в=10 ч. Требуется вычислить коэффициент готовности и функцию готовности изделия. Закон распределения экспоненциальный.

Решение

Коэффициент готовности (16)



Пример 9. Определить коэффициент технического использования машины, если известно, что машину эксплуатируют в течение года Т_э=8760 ч. За этот период эксплуатации машины суммарное время восстановления отказов составило t_в=40 ч. Время проведения регламента составляет t_о=20 ч. Суммарное время, затраченное на ремонтные работы за период эксплуатации составляет 15 суток (t_р =15·24=360 ч).

Решение

Определим суммарное время наработки машины:

t_н=Т_э – (t_в+t_р+t_о)=8760 – (40+360+20)=8340.

Определим коэффициент технического использования (17)



Пример 10. На испытание поставлено N₀=400 изделий. За время t=3000 ч отказало n(3000)=200 изделий, за последующий интервал ∆t=100 ч отказало n(∆t)=100 изделий. Требуется определить вероятность безотказной работы P(t), частоту отказовf(t) и интенсивность отказовλ(t) за 3000, 3100, 3050 часов, частоту интенсивность λ(t) отказов в интервале 3000…3100 часов.

Решение

Вероятность безотказной работы (6):

;



Среднее время исправно работающих изделий в интервале ∆t=100 ч:



Число изделий, отказавших за время