Материал: Расчет информационных параметров канала связи. методические указания к выполнению курсового проекта по дисциплине Теория информации и кодирования. Поздышева О.В

уравнения дают возможность вычислить все предельные вероятности.

Общее правило составления уравнений Колмогорова для предельных вероятностей pi(t) можно сформулировать следующим образом:

•в левой части уравнения стоит сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в i- ое состояние, на интенсивности соответствующих потоков минус сумма интенсивностей всех потоков, выводящих систему из данного (j-го) состояния, умноженная на вероятность данного (j-го) состояния;

•в правой части уравнения стоит 0.

Пример 1. Прогноз погоды.

Пусть а обозначает хорошую погоду, b – дождь, с – снег. Если сегодня хорошая погода, то завтра с равными вероятностями (согласно матрице переходных вероятностей) с равными вероятностями может быть хорошая погода, снег или дождь. Если, сегодня идет снег или дождь, то в половине случаев завтрашняя погода будет совпадать с сегодняшней, и на каждый из оставшихся прогнозов приходится лишь по одному шансу из четырех.

Матрицу переходных вероятностей можно изобразить в следующем виде:

Причем текущее состояние обозначается буквой слева от матрицы, а следующее состояние – буквой над матрицей. Сумма всех элементов любой строки матрицы

11

переходных вероятностей должна равняться 1, поскольку текущее состояние должно обязательно перейти в какое-то состояние.

Удобно для наглядности процесса данную матрицу переходных вероятностей изобразить в виде графа переходов, представленных на рис. 3.

Рис. 3. Граф переходов

Предположим, что в качестве текущего (начального) состояния имеется вектор состояний (ра , рb , рс), где ра + рb

+ рс = 1.

Если известно, что сегодня хорошая погода (состояние а), т.е. ра = 1, тогда остальные возможные состояния будут иметь значения рb = рс = 0. Это означает, что текущее состояние точно определено.

В случае, если вектор начальных состояний нам не известен, то соответственно ра = рb = рс = 1/3.

Также, в общем случае, вектор начальных состояний может быть задан произвольным вектором значений.

Чтобы получить распределение вероятностей завтрашней погоды (в соответствии с уравнением Колмогорова-Чепмена) нужно умножить вектор-строку начальных состояний на матрицу переходных вероятностей:

12

Для нахождения вероятностей на 2 дня вперед нужно еще раз умножить этот вектор на матрицу переходных вероятностей. Поскольку умножение матриц (и векторов) ассоциативно, вместо этого можно сначала умножить матрицу переходных вероятностей на саму себя, получив квадрат матрицы, а затем умножить вектор начальных распределений на этот квадрат.

Квадрат матрицы переходных вероятностей равен:

Записывая матрицу в виде

Видим, что элементы квадрата матрицы переходных вероятностей меняются не сильно, как элементы первоначальной матрицы. Если возвести в квадрат эту матрицу, получим матрицу для предсказания погоды на 4 дня вперед. В частном случае несложно доказать, что последовательные степени матрицы переходных вероятностей сходятся к некоторой предельной матрице.

13

Рассчитаем распределение вероятностей состояний a, b, c для предельной матрицы (предельного состояния исследуемой системы). Для этого должно выполняться следующее равенство:

1⁄3 ( ) 1⁄4 1⁄2 1⁄4 = ( ).

(1⁄4 1⁄4 1⁄2)

Это эквивалентно системе из трех уравнений:

Для решения данной системы уравнений необходимо отбросить одно из уравнений и дополнить систему дополнительным условием

+ + = 1.

14

Решая полученную систему уравнений получаем следующее стационарное распределение

= 3⁄11 ; = 4⁄11 ; = 4⁄11.

Таким образом, независимо от первоначального распределения вероятностей для матрицы переходных вероятностей получаем предельное распределение вероятностей (3/11, 4/11, 4/11).

15