Курсовая работа (т): Решение задач с использованием системы MathCAD и Scilab

Наиболее точный метод решения - метод Рунге-Кутта 4 порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений.

Его особенности:

а)      этот метод является одноступенчатым и одношаговым;

б)      требует информацию только об одной точке;

в)      имеет небольшую погрешность;

г)       значение функции рассчитывается при каждом шаге;

Формулы, описывающие классический метод Рунге-Кутта четвертого порядка, состоят из следующих пяти соотношений:

R₄=f(x_m+h/2,y_m+hR₃/2)

Ошибка ограничения для этого метода равна:

e_t=kh

[6]

.3 Использование численных методов в системе MathCAD

Рассмотрим один из самых распространенных численных методов в СКМMathCAD

Для решения дифференциальных уравнений и систем уравнений из-за его высокой точности часто применяется метод Рунге-Кутта. Отличительная особенность метода - уточнение наклона интегральной кривой за счет вычисления производной не только в начале текущего отрезка интегрирования, но и, например, в середине отрезка (для двучленных схем Рунге-Кутта) или четырехкратное вычисление производных в методе четвертого порядка.

Рассмотрим задачу Коши <https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8>:

Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле 1.3:

Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:

где h - величина шага сетки по x.

Метод Рунге-Кутта легко переносится и на случай системы дифференциальных уравнений.

В Mathcad включена функция rkfixed, реализующая метод Рунге-Кутта четвертого порядка с постоянным шага интегрирования. Обращение к этой функции:

)

где у - вектор начальных условий размерности n. Здесь n - порядок дифференциального уравнения или число уравнений в системе (если решается система дифференциальных уравнений); x₁ и x₂ - начало и конец интервала интегрирования, на котором ищется решение дифференциального уравнения.

Начальные условия, заданные в векторе у, - это значения решения в точке х₁; m - число точек, в которых ищется приближенное решение. При помощи этого аргумента определяется число строк (1+m) в матрице, возвращаемой указанной функцией.[2]

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Полная постановка задачи

С использованием системы MathCAD

.1 Рассчитать значения функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи без учета гармонического воздействия U(t). Построить графики этих функций.

.2 Рассчитать значения функций напряжения на конденсаторе и тока в цепи с учетом гармонического воздействия U(t). Построить графики этих функций.

.3 Для функции напряжения, полученной в п.1.1, исследовать влияние индуктивности L1 на минимальное значение напряжения на конденсаторе, проведя 6-8 опытов. Полученные результаты записать в файлы данных.

С использованием системы Scilab

1.4 Считать файлы данных, полученные в п.1.3. Построить сводный график функций напряжения. Построить график зависимости минимумов напряжений от индуктивности.

.5 Выполнить аппроксимацию полученной зависимости, построить график исходной и аппроксимирующей функций.

.6 Для функции тока i2, полученной в п.1.1, вычислить время, при котором ток достигает порогового значения, равного -0.005. Дать графическую интерпретацию результата.

2.2 Анализ исходных и результирующих данных

Исходными данными для работы являются:

С - значение емкости конденсатора;

С =1.05∙10^-3 Ф

R- исходное сопротивление;

R =56 Ом

L₁,L₂- значения индуктивностей;

L₁=0.025 Гн

L₂₌0.05 Гн

U(t) - исходная функция гармонического воздействия;

Um - амплитуда гармонического воздействия;

Um=4 В

ω - частота;

ω=460 Гц

Т - время исследования.

Т=0,55 с

Таблица 2.1 - Значения варьируемого параметра L

Начальные значения для расчета п.1.1: U_C(0)=0.1,i₂(0)=1В, i₁(0)=0

Результатами расчетов являются:

значения функций напряжения на конденсаторебез учета гармонического воздействия U(t).

значения функций напряжения на конденсаторес учетом гармонического воздействия U(t).

зависимость минимального значения напряжения на конденсаторе от значения индуктивности L1.

график зависимости минимумов напряжений от индуктивности

аппроксимация зависимости минимумов напряжений от индуктивности

время, при котором ток i2 достигает порогового значения, равного -0.005.

2.3 Описание математической модели

Рисунок 2.1 - Линейная электрическая цепь системы

Работу цепи, приведенной на рисунке, описывает система дифференциальных уравнений вида:

(2.1)

Для их решения преобразуем систему в следующий вид:

После замены переменных система примет вид:

Для случая, где значение ЭДС не учитывается:

При решении системы ОДУ находим функции i1(t), i2(t), Uc(t)

2.4 Графическая схема алгоритма

Рисунок 2.2 - Схема алгоритма решения задачи

3. Описание реализации задачи

.1 Описание реализации базовой модели

Задача состоит в том, чтобы решить данные дифференциальные уравнения без учёта ЭДС. Для решения поставленной задачи введем исходные данные. С использованием системы MathCAD рассчитываем значения функций тока и напряжения в заданной электрической схеме. Для этого с помощью функции rkfixed (метод Рунге - Кутта) решаем систему дифференциальных уравнений (2.2), которая является математической моделью поставленной задачи. В системе ДУ(рисунок 2.4) k1 - значение тока i1, k2 - значение тока i2, k3 - значение напряжения Uc. Выводим таблицу значений времени (Приложение А), напряжений на обоих конденсаторах и тока. В которой первый столбец - значение времени Т, второй столбец - значение силы тока I1, третий столбец - значение силы тока I2, четвертый столбец-значение напряжения Uс.

Строим графики зависимости тока i1(t)( Рисунок А.2), напряжения на конденсаторе Uc(t)( Рисунок А.3) и силы тока i2(t)( Рисунок А.4).

Рисунок А.2 Зависимость тока i1 от времени.

Рисунок А.3 Зависимость тока i2 от времени.

Рисунок А.4 Зависимость напряжения Uc на конденсаторе от времени.

Аналогично решаем систему дифференциальных уравнений(2.2) с учетом ЭДС. В самом решении меняем лишь вектор исходных данныхк и вектор, содержащий первые производные функций. В вектор к вписываем нулевые значения. В результате получаю значения функции тока на катушке индуктивности и напряжений на конденсаторах в заданной электрической схеме с ЭДС.

Выводим таблицу значений времени, напряжений на обоих конденсаторах и тока.В которой первый столбец - значение времени Т, второй столбец - значение силы тока I1, третий столбец - значение силы тока I2, четвертый столбец-значение напряжения Uс.(Рисунок А.6)

Строим графики зависимости i1(t), Uc(t) и i2(t).

Рисунок А.7 Зависимость тока i1 от времени.

Рисунок А.8 Зависимость тока i2 от времени.

Рисунок А.9 Зависимость напряжения Uc на конденсаторе от времени.

3.2 Описание исследований

Исследуем влияние индуктивности L1 на минимальное значение напряжения на конденсаторе. Для этого изменяем варьируемый параметр L1 от 0.026 до 0.045 решаем дифференциальное уравнение с помощью функции rkfixed. По каждому из проведённых опытов, в зависимости от значения варьируемой индуктивности L1, построили графики зависимостей токов и напряжений от времени.

Таблица 3.2.1 - Значения варьируемого параметра L1

На примере рассмотрим 1 опыт. Решаем дифференциальное уравнение с помощью функции rkfixed. Берём L1=0.026Гн. Строим график зависимости напряжения от времени.

Рисунок А.10 - График зависимости напряжения от времени

Остальные 5 опытов проводим аналогично, для каждого значения L1. Затем получившиеся графики функций напряжения на конденсаторе строим на одном поле:

Рисунок А.11-Сводный график зависимости напряжения от времени

Сохраняем полученные результаты в файлы данных по примеру опыта 1 с помощью функции:

В остальных 5 опытах полученные результаты сохраняем в файлы данных аналогично. (Приложение А)

3.3 Описание реализации базовой модели в Scilab

Считываем файлы данных полученных в п.1.3.Для считывания данных Mathad используем функцию read. Функция read предназначена для чтения файлов данных в памяти Scilab. В данной курсовой работе имеют место следующие обозначения и параметры: А-матрица, размерность которой (-1,1) в которой «:»-означает все строки, а число 1-обозначает первый столбец.Т-матрица времени, размерностью (-1,1).

"r111.dat"-Имя файла данных.

A(:,1)=read("r111.dat",-1,1)- пример считывания файла данных.

Аналогично считываем другие файлы данных. (Приложение Б)

ФункцияFigureпредназначена для создания графического окна.

Для построения графика зависимости минимумов напряжений от индуктивности используем функцию plot(T,A)(Рисунок Б.1)

3.4 Описание исследований в Scilab

Для выполнения аппроксимации зависимости минимумов напряжений от индуктивности создаем графическое окно(2). Задаем вектор варьируемого параметра L. Для поиска минимумов напряжений создаем цикл с предусловием в котором используется стандартная функция работы с матрицами min.

for i=1:6(i)=min(A(:,i))

End

Находим значения аппроксимирующей функции(Рисунок Б.2)

Задаем столбец начальных значений для коэффициента аппроксимирующей функции. С помощью команды datafit (метод наименьших квадратов)осуществляется параметрическое приближение экспериментальных данных к функции зависимости минимумов напряжений от индуктивности.

deff('[A]=F(k,x)','A=x(2)-(k(1)*x(1)^2+k(2)*x(1)+k(3))')=[0.026 0.028 0.03 0.035 0.04 0.045]=[0;0;0]

[k,s]=datafit(F,[L;MIN],nach)(k)=0.026:0.001:0.045=k(1).*(X.^2)+k(2).*X+k(3)

Погрешность составила 3.034E-9.Для данной зависимости подобрана функция:

Y=k(1).*(X.^2)+k(2).*X+k(3)

Строим график исходной и аппроксимирующей функций. (Рисунок Б.3,Рисунок Б.4)

Для функции тока i2, полученной в п.1.1, вычисляем время, при котором ток достигает порогового значения, равного -0.005. Для этого задаем переменной v значение времени Т, а переменной О значение тока i2.

Далее составляем программный фрагмент в котором находим время при котором ток достигает порогового значения, равного -0.005.

v=T=D(:,1)=1O(i)>-0.005=i+1=i-1(v(nom))

Даем графическую интерпретацию результата.(Рисунок Б.5)

3.5 Вывод по результатам исследований

При выполнении курсовой работы с помощью СКМ Mathcad были вычислены значения функций напряжения на конденсаторе без учета гармонического воздействия U(t) и с учетом гармонического воздействия U(t) при помощи функции rkfixed. Была получена зависимость минимального значения напряжения на конденсаторе от значения индуктивности L1, которое изменялось от 0.026 до 0.045 Гн.Были построены графики зависимостей U(t)с учетом гармонического воздействия и без него.

Также был построен сводный график зависимости минимального значения напряжения на конденсаторе от значения индуктивности L1=0.026...0.045 Гн.

Заключение

В данной курсовой работе был произведён анализ электрических процессов в цепи второго порядка с использованием систем компьютерной математики MathCAD и Scilab.

Использование систем компьютерной математики позволило с высокой точностью проанализировать электрические процессы, происходящие в цепях второго порядка.

Математическое моделирование в сочетании с применением новейших компьютерных технологий значительно облегчает сложнейшие математические вычисления. Именно поэтому разработка СКМ и их совершенствование непрерывно идет в ногу со временем. Ведь расчеты становятся все объёмнее, и человеку становится все труднее справляться с ними.

В данной курсовой работе был произведён анализ и исследование электрических процессов в цепи второго порядка. С использованием систем компьютерной математики MathCAD и Scilab было исследовано влияние величины индуктивности на минимальное значение напряжения на конденсаторе, а также осуществлено параметрическое приближение экспериментальных данных к функции зависимости минимумов напряжений от индуктивности. Для функции тока i2 было вычислено время при котором он достигал пороговое значение -0.005с.

Список использованных источников

1.Майер Р.В. Расчет электрических целей в системе MathCAD: Учебное пособие. - Глазов: ГГПИ, 2007, - 44 с.

.Дьяконов А. А. Справочник по MathCAD2000. М.: Ск - пресс, 2000.-352с.

3.Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике: Учеб, для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - 2-е изд., стереотип. - М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. -496 с.

4.<http://allbest.ru/k-3c0b65625b3ac68b5d43a89421216d37.html>

5.Турчак Л. И.. Основы численных методов: Учеб. пособие.- М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.- 320 с.