Материал: Ряды

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Числовые ряды

Определение. Числовым рядом называется сумма бесконечного числа слагаемых a1 + a2 + . . . + an + . . ..

Числовой ряд называют сходящимся , если сходится последовательность его частичных

ñóìì Sn =

ak,

∞

= lim Sn

ПримерыPk=1

Pk=1

n→∞

∞

1−q

, åñëè

n P

k=0

= 1−qn+1

−

qk. Åñëè q = 1, òî S

q = 1,òî S

= n,

1,òî S

= 1,

2n−1 = 0

åñëè q =

предела частичных сумм нет ряд расходится.

Следовательно, ряд сходится при |q| < 1 (S =

)и расходится при |q| ≥ 1.

1−q

∞

n=1

n − n+1

1 −

2 − 3

N − N+1

− N+1

n=1

n(n+1)

+ . . . +

= 1 1

S =

Замечание. Вычислить частичные суммы удается очень редко. Поэтому важно уметь оце-

нивать сходимость ряда. Эта задача требует определенной техники и навыков. Достаточно,
						∞	1	∞	1
внешне они очень					P	n=1 n è		P
внешне они очень					P			P
посмотреть на примеры								n=1 n2 первый расходится, а второй сходится, хотя
			похожи .
Теорема (необходимое условие сходимости ряда )
Если ряд сходится, то				lim an = 0
				n→∞				lim Sn = S, òî
Доказательство. Если существует								lim Sn = S, òî
								n→∞
nlim an = nlim (Sn+1 − Sn) = nlim (Sn+1 − S) + (S − Sn) = 0.
→∞	→∞	P	∞	1			→∞
Замечание. Ряд			∞	1
точно для			n+1 n		показывает, что стремление к нулю общего члена ряда недоста-
			n+1 n
	сходимости.
Предложение. (сходимость остатков)
∞		∞
Ðÿäû Pk=1 ak è		Pk=n ak сходятся или расходятся одновременно.

Признаки сходимости положительных рядов

Здесь будут рассмотрены ряды, у которых an ≥ 0

Очевидно, что у таких рядов последовательность частичных сумм возрастает. Следовательно, достаточно проверять ограниченность Sn.

Теорема (признак сравнения)

1) Åñëè bn ≥ an ≥ 0 è ðÿä

k∞=1 bk сходится, то ряд

k∞=1 ak так же сходится.

2) Åñëè

an ≥ bn ≥ 0

è ðÿä

∞

ðÿä

∞

Pk=1 bk расходится, то

k=1 ak так же расходится.

Следствие (мултипликативный вариант признака сравнения )

Åñëè

≥ bn ≥ 0

nlim

причем

0 < q < ∞

, òî ðÿäû

∞

bn = q

k=1 ak,

k=1 bk сходятся

или расходятся одновременно.→∞

Примеры

∞

n=1 n2

∞

Достаточно доказать, что сходится ряд

. Положим a

, b

n=2

(n+1)2

n(n+1) . Тогда

∞

bn ≥ an è

следовательно ряд

2k=1 bk сходится,

n=1 an сходится.

∞

ln n2+4

n=1

n +1

n2+4

3n2

n2+4

Положим an = ln n2+1 ,

bn =

, nlim

bn =

nlim

= 3, (ln n2+1

= ln(1 +

) ≈

n2+1

следовательно ряд

∞

ln n22+4

→∞

n=1

1 − cos n

n=1

n +1 сходится.

∞

2n ≈

∞

=1 2 sin

n=1

ряд сходится.

∞

Докажем, что ряд расходится. Достаточно показать, что частичные суммы не ограничены.

S2n = 1 +

3 +

+ . . . +

2n−1

−

Заметим, что

2k−1

+ . . . +

2k−1

−

Следовательно, S2n >

2 .

∞

n+1

n=1

n − ln

фомулы Лагранжа легко получить, что

an ≤ n2 - ряд сходится.

ÈçP

Интересно отметить связь этого примера с предыдущим

≈ ln(N + 1).

Pn=1 an =

Pn=1 n1 − ln(N + 1) + CN , что дает асимптотику Pn=1 n1

Покажем, что ряды тесно связаны с несобственными интегралами.

Теорема (интегральный признак сходимости)

Пусть an

an+1 ≥ 0,

f(n) = an и f убывает на [1, ∞). Тогда ряд

n∞=1 an и несобственный

интеграл ≥1∞ f(x)dx сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство.

Функция f убывает, значит на промежутке [n, n + 1]

an = f(n) ≥ f(x) ≥ f(n + 1) = an+1.

Определим ступенчатую функции g и h(x) равенствами

g(x) = an+1 íà [n, n + 1], h(x) = an íà [n, n + 1]

Заметим, что h(x) ≥ f(x) ≥ g(x) и

1∞ g(x)dx =

1∞ h(x)dx =

åñëè

n∞=1 an сходится, то сходится

n∞=2 an,

n∞=1 an,

∞

расходится, то

∞ g

x dx è

∞

dx расходятся.

åñëè Pn=1 an

∞

(

h(x)P

Следовательно ряд

сходится или расходится одновременно с обоими интегралами

∞

n=1

1 g(x)dx

1 h(x)P

∞ h(x)dx следует сходимость

∞ f(x)dx, à èç ðàñ-

Остается заметить, что из сходимости

ходимости

1∞ g(x)dx следует

расходимость

сторону, сходимость

1∞ f(x)dx, и в обратную R

1∞ f(x)dx

влечет сходимость

1∞ g(x)dx, à

расходимость

1∞ f(x)dx влечет расходимость

R1∞ h(x)dx.

Примеры

1)основной

ðÿä

∞

сходится тогда и только тогда, когда p > 1

n=1 np

(

, ïðè p = 1

∞ dx

lim

p A, åñëè p < 1, то интеграл сходится, если p > 1,

)P xp

1 xp

A→∞ 1−p

− |1

то интеграл

расходится. В случае

p = 1

∞

= lim ln x

1 и интеграл расходится.

∞

→∞

тогда, когда p > 1

n=1 n ln

n сходится тогда и только

∞

−

x) =

p = 1

lim

1−p

ïðè p = 1

lim ln ln x

( P

x ln

x , ïðè

x ln

A→∞

1 x ln x

A→∞

Условия

сходимости ряда те же, что в первом примере.

(n)

∞

n=1 Qb(n) ,

x) = p

. . .

, p

= 0,

Q x

) =

Q xk

. . .

, q

= 0,

(

k 6

a, b

, сходится тогда и только тогда, когда kb

−

ma > 1.

P a(n)

(pmnm)a

Воспользуемся признаком сравнения. Положим an =

, bn =

Qb(n)

(qknk)b .

Заметим, что

lim

= 1

∞

точностью до множителя

pma

n→∞ bn

(1) ïðè p = kb − ma.

n→∞ k>n

Замечание. Для сходящегося ряда, удовлетворяющего условиям интегрального признака,

an è

N f(x)dx могут отличаться очень сильно, но остатки

∞

an è

∞ f(x)dx

n=1

n=N

являются эквивалентными бесконечно малыми. Для расходящихсяNрядов бывает важно

установить асимптотику стремления к бесконечности

Pn=1

f(x)dx являются эк-

вивалентными бесконечно большими.

Примеры

∞

n=1 np

m f

m f(x)dx

f(x) =

(

− 1)

≥

n=k np ≥

При p > 1 можно оценить отклонение частичной суммы S

от полной суммы ряда

∞

≤

N+1 f(x − 1)dx =

n=N+1 np

(p−1)Np−1

Ïðè p

1 можно оценить асимптотику роста частичных сумм. Например, для p = 1

≥

N R

N dx

N 1

≥

n=2 n

≥

→ ln(N − 1)

≥

n=2 n ≥ ln N

− ln 2.

x−1

Признаки сходимости для рядов похожих на геометрические прогрессии

Признак Даламбера

an+1

n∞=1 an сходится, а при

Пусть an

> 0 и существует

lim

= q, тогда при q < 1 ряд

n→∞

q > 1 ðÿä

n∞=1 an расходится.

Доказательство.

1+q

Если q < 1, то из условий признака следует, что для достаточно больших n an < c

(

1+q

< 1), следовательно ряд сходится по признаку сравнения.

1+q

Если q > 1, то из условий признака следует, что для достаточно больших n an > c

(

1+q

> 1), следовательно ряд расходится по признаку сравнения.

Признак Коши

Пусть an

≥ 0 и существует nlim (an)1/n = q, òî ïðè q < 1 ðÿä

n∞=1 an сходится, а при q > 1

ðÿä

n∞=1 an расходится.

→∞

Доказательство аналогично предыдущему. Модифицированные признаки Даламбера и Коши

Область применимости обоих признаков можно значительно расширить, заменив пределы на верхние пределы (äîêазательств потребует небольших технически правок). Напомним,

что верхний предел lim an = lim sup ak существует у любой последовательности.

n→∞

Однако, это не делает признак универсальным. Случай q = 1 всегда остается неопреде-

ленным. Простые примеры показывают, что в этом случае ряд может сходится (

∞ 1

n=1 n2 ),

но может и расходится (

∞

n=1 n ).

Примерыna

ряд сходится.

∞

) оба признака дают

q = 1/b

(b > 1

n=1 ba

∞

ряд сходится, при

b > a

ряд расходится, при

b = a

Pn=1 nb+an a, b > 1 q = a ïðè b < a

ряд расходится (общий член не стремится к нулю).

P∞

n=1 n

b·nn n

+1 =

(n+1)!

bn+1,

an+1

lim

an+1

= b

n+1

(n+1)

n→∞

(1+ n )n

e .

ряд сходится при b < e, расходится при b > e, случай b = e остается неопределенным. 4) b + bc + b2c + . . . + bncn−1 + bncn + . . .

a	2n−1	= bncn−1, a	2n	= bncn,	a2n+1	= b,	a2n	= c

					a2n		a2n−1

ïðåäåëа нет и чистый признак Даламбера не работает. Модифицированный признак да-

åò lim an = max(b, c). Следовательно, ряд сходится, если max(b, c) < 1, и расходится, если

n→∞

max(b, c) > 1.

Оказывается, признак Коши дает в этом случае более точную информацию

lim (a	2n−1	)1/(2n−1) = (bc)1/2, lim (a	2n	)1/(2n) = (bc)1/2
n→∞	2n−1	n→∞	2n

ряд сходится при (bc)1/2 < 1 и расходится при (bc)1/2 > 1, ((bc)1/2 ≤ max(b, c)). Заметим, что случай bc = 1 очень простой общий член ряда не стремится к нулю.

Знакопеременные ряды Поведение такого ряда может быть очень сложным.

Чтобы выделить сложные ситуации потребуется новая терминология. Определение Ряд называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд из модулей его членов. Замечания

1) Для исследования ряда на абсолютную сходимость можно использовать признаки сходимости положительных рядов.

2) Если сходится

n∞=1 |an|, то сходится и n∞=1 an

∞

|an|

, то для любой перестановки натуральных чисел (

φ : N → N

)

3) Если сходится Pn=1

∞

aφ(n)

n=1

Определение

∞

Ряд называется условно сходящимся , если сходится ряд

, но ряд из модулей рас-

ходится.

Pn=1

Теперь можно пояснить, в чем состоит сложность.

Теорема Римана

Åñëè ðÿä n∞=1 an сходится условно, то для любого конечного или бесконечного числа

найдется перестановка

φ : N → N

такая, что

∞

= A

n=1 aφ(n)

Среди таких плохих рядов есть очень

простые.

Определение

Ðÿä n∞=1(−1)nan,

an > 0 называется знакочередующимся.

Признак Лейбница

∞

Åñëè

≥ an+1

→ 0

, òî ðÿä

n=1(

−

1) an сходится.

Замечание

Модуль остатка ряда не превосходит первого отброшенного члена.

Примеры

∞

(−1)n

n=1

сходится условно.

∞

(−1)n

сходится абсолютно.

2)P n=1

Степенные ряды

n∞=0 an(x − x0)n степенной ряд с центром в точке x0.

Определение

степенного ряда называется число R такое, что при |x − x0| < R

Радиусом сходимости

ряд абсолютно сходится, а при |x − x0| > R ряд расходится.

Из модифицированного признака Коши легко следует:

Формула для радиуса сходимости

R =

nlim

|an|1/n

→∞

Верхний предел существует всегда, следовательно, радиус сходимости существует для любого ряда. Но при этом он может оказаться равным нулю.

Примеры
2)	∞	xn					,
2)	Pn=0	n!			R = ∞
1)	n=0 an				R = a			,
	∞	x	n					,
3)	Pn=0 x			n!		R = 0			.
	∞		n						.
	P

Поведение ряда на границе сходимости может быть каким угодно

∞

xn R = 1, в обоих граничных точках ряд расходится (общий член ряда не стре-

P∞

xn2 , R = 1, ïðè

x = 1 ряд абсолютно сходится.

n=0

мится к нулю).

x = 1

расходится, при x = −1

−n

Pn=1

n , R = 1

n=1 n

n=1

n=1 nn

ðÿä

∞ 1

ðÿä

∞

( 1)

∞

, ïðè

сходится по признаку Лейбница.

Исчерпывающую информацию о числовых рядах можно найти в книге Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2, глава 9.

Источник: https://studfile.net/preview/15919030/

Смотрите также:

_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард
[БИЛЕТЫ] IMK №3
[ТЕСТЫ] ИМК №1 по физиологии (база 1 семестр и на экз)
[ТЕСТЫ] Спланхнология
[ТЕСТЫ] ЦНС - ЛУЧШИЕ 2020
+ Проблемы криминологии. Курс лекций