Материал: Системы технического зрения. Литвиненко А.М., Машаров А.В

2.2.2. Cвертка и функция рассеяния точки

Рассмотрим систему, реакция которой на заданный входной сигнал[44,45]

f(х, у) имеет вид:

При этом говорят, что g — свертка функций f и h. Легко показать, что такая система линейна, поскольку ее реакция на сигнал

g1 (x, y) g2 (x, y) . Здесь, как и ранее, g1 (х, у) — реакция на сигнал fi(x,y), а g2(х,у) — на сигнал f2(х,у). Результат вытекает из

правил интегрирования произведения функции на постоянную величину и суммы двух функций. Также нетрудно убедиться в пространственной инвариантности системы: если на вход подать сигнал f(х — а, у — b), то на выходе получим g(х — а, у — b). Таким образом, система, реакцию которой можно описать операцией свертки, является линейной и пространственно-инвариантной. Скоро мы покажем и обратное, что любая линейная пространст- венно-инвариантная система описывается некоторой операцией

Было бы желательно связать функцию h (х, у) с некоторым наблюдаемым свойством системы. Всегда ли можно для произвольной функции h(x, у) найти входной сигнал f(x, у), который приводил бы на выходе к функции h(х, у)? Более точно, всегда ли можно найти функцию f(x, у), такую, что

h(x, y) f (x , y )h( , )d d ?

Беглый анализ подсказывает, что если это соотношение справедливо для произвольной функции h(x, у), то необходимо, чтобы функция f(х, у) равнялась нулю во всех точках, кроме начала координат и «бесконечности» в начале координат. «Функция», о которой идет речь, называется единичным импульсом или дельта-

по любой области, включающей начало координат, равен единице. (Если функцию двух переменных х и у рассматривать как поверхность, то этот интеграл равен объему, ограниченному этой

поверхностью.) Импульс не является функцией в классическом смысле (т. е. не определяется своими значениями для каждой пары аргументов). Это — обобщенная функция, которую

можно рассматривать как «предел» при 0 последовательности

квадратных импульсов размером 2по осям х и у и высотой 1/ 4 2 . Об этом подробнее будет сказано позже, а сейчас мы лишь укажем на фильтрующее свойство

(x, y)h(x, y)dxdy h(0,0)

на основе которого можно определить импульс. Из. этого

в чем можно убедиться простой заменой переменных. Сравнивая с нашим исходным уравнением для выхода системы, убеждаемся, что h (х, у) — реакция системы на вход, представленный единичным импульсом.

Рассматриваемая в виде изображения функция представляет собой черный фон везде, кроме начала координат. Поэтому функция h (х, у) говорит нам о том, как система смазывает или рассеивает светящуюся точку. В двумерном случае ее называют

функцией рассеяния точки (или импульсной переходной функцией).

Она является реакцией системы на единичный импульс и, следовательно, аналогична хорошо знакомой реакции на единичный импульс одномерной системы.

Теперь нам нужно показать, что выход любой линейной пространственно-инвариантной системы образуется путем свертки входного сигнала. Функцию рассеяния точки можно определить,

подав на вход контрольный сигнал (x, y) . Считая реакцию на единичный импульс известной, входной сигнал f(х, у) удобно представить в виде бесконечного числа смещенных

отмасштабированных единичных импульсов k( , ) (x , y ) . Простое геометрическое построение поможет представить, как это можно осуществить. Разобьем плоскость ху на квадраты со стороной

. Над каждым таким элементарным квадратом построим импульс высотой, равной среднему значению функции f(x, у) в этом квадрате. Функция f(х, у) аппроксимируется кусочно-постоянной функцией, которая представляет собой сумму всех таких импульсов.

Можно сделать еще один шаг и заменить каждый прямоугольный импульс точечным импульсом, расположенным в центре элементарного квадрата. Объем пространства под импульсом можно приравнять объему прямоугольного импульса, т. е. интегралу от функции f(х, у) по элементарному квадрату. Если функция f(х, у) непрерывна, а величина е достаточно мала, то этот интеграл можно приближенно представить в виде произведения значения f(х, у) в центре квадрата на его площадь. Требуемый результат достигается в

Точно такое же разложение функции f(х, у) на совокупность импульсов можно получить, если принять во внимание фильтрующее свойство единичного импульса. В любом случае мы приходим к выражению

170

Имея разложение функции на совокупность импульсов, можно определить суммарный выход g(х,у) на заданный вход f(х, у) путем сложения реакций системы на смещенные отмасштабированные импульсы. Это следует из линейности рассматриваемой системы.

Реакцией на импульс k (x , y ) является произведение kh(x , y ) , поскольку система пространственно-инвариантна.

Линейную пространственно-инвариантную систему всегда можно описать подходящей функцией рассеяния точки h(x, у). С помощью этой функции мы можем вычислить реакцию g (х, у) на любой заданный входной сигнал f(х, у). Функция рассеяния точки является исчерпывающей характеристикой линейной пространственно-инвариантной системы. Таким образом, мы показали, что линейная пространственно-инвариантная система осуществляет операцию свертки.

(a b) c a (b c) . Это позволяет нам рассматривать последовательность (каскад) двух систем с функциями рассеяния точки h1(x,y) и h2(x,y). Если f(х, у) — входной сигнал, то на выходе

совпадает с выходом, который мы имеем у системы с функцией рассеяния точки (h1 h2 )

2.2.3. Передаточная функция

Свертку представить гораздо труднее, чем результат произведения двух функций. Поскольку при переходе от

172

пространственной к частотной области свертка преобразуется в произведение, то в случае линейных пространственно-инвариантных систем переход к частотной области выглядит привлекательным. Однако, прежде чем развивать эти идеи, мы должны понять, что такое частота применительно к двумерным системам.

Вслучае одномерных линейных пространственно-

системы называется функция, которая воспроизводится системой, возможно, с изменением амплитуды:

Рис. 2.3. Комплекснозначные экспоненциальные собственные функции двумерной линейной пространственно-инвариантной системы.

Здесь А(w) представляет собой (возможно, комплексный) множитель, на который умножается входной сигнал. Таким образом, если на вход линейной пространственно-инвариантной системы подать сигнал в виде экспоненциальной комплекснозначной функции, то на выходе получим аналогичный по форме сигнал, умноженный на некоторый коэффициент и сдвинутый по фазе. Величина w называется частотой собственной функции. На практике

173

употребляются действительные синусоидальные сигналы, например coswt и sinwt, соответствующие действительной и мнимой частям

форма записи используется при выводе результатов, так как при этом выражения принимают более компактный вид и отпадает необходимость рассматривать косинусы и синусы отдельно.

В двумерной линейной пространственно-инвариантной

Подынтегральное выражение в правой части зависит лишь от и и v,следовательно, выходной сигнал g(х, у) — это просто умноженный на некоторый масштабный множитель и, возможно, сдвинутый по фазе входной сигнал f(x, у). Таким образом,

g(x, y) e i (ux vy ) собственная функция свертки в двумерной системе. Заметьте, что теперь частота содержит две компоненты u и v. О плоскости uv мы будем говорить как о частотной области в противоположность плоскости ху, которая представляет собой пространственную область.

Волнам в пространстве двух измерений соответствуют действительные синусоидальные гармоники cos(ux vy ) и sin(ux vy) . Максимумы и минимумы функции cos(ux vy ) лежат на параллельных

174

равноудаленных гребнях вдоль прямых ux y k , где k — целое число (рис. 2.3). Если провести сечение рассматриваемой поверхности под прямым углом к этим прямым, т. е. в направлении (u, v), то получим синусоидальные гармоники с длиной волны

2 . В чистом виде подобные гармоники в зрительной системе возникнуть не могут, поскольку яркость не бывает отрицательной. Обязательно произойдет смещение на некоторую постоянную величину. Если

рассматриваемом до сих пор, будем иметь g(х, у) = Н(u, v)f(x, у), — это видно из приведенного ранее интеграла. Таким образом, функция Н(u, v) характеризует реакцию системы на синусоидальные сигналы, точно так же как функция h (x, у) — на импульсные сигналы. Для каждого значения частоты эта функция позволяет определить амплитуду и фазу реакции системы. В случае двумерной системы ее называют передаточной функцией. Она представляет собой частотную реакцию двумерной системы на гармонический сигнал и, следовательно, аналогична известной частотной реакции одномерной системы на гармонический сигнал. (Следует иметь в виду, что функция Н(u, v) не обязана быть действительной.)

Точно так же, как о качестве звукового усилителя можно судить по его частотной характеристике, о качестве линз камеры можно, например, судить, сопоставляя графики их передаточных функций.

2.2.4. Преобразование фурье и фильтрация

Входной сигнал f(x, у) можно рассматривать как сумму бесконечного числа синусоидальных гармоник[45,46,47] (как ранее мы представили его в виде суммы бесконечного числа импульсов). Это является еще одним удобным способом разложения входного сигнала, поскольку при заданной передаточной функции Н(и, v) нам известна реакция системы на каждую компоненту разложения. Если

175

функцию f(x, у) представить в виде:

формулой, приводимой ниже.) Единственная проблема состоит в том, что разложение на гармонические сигналы совсем не так тривиально, как разложение на импульсы. Как найти функцию F(u, v), если дана f(х, у) ? Как будет показано позже, ответ будет следующим:

если этот интеграл существует. В справедливости приведенного соотношения можно убедиться, произведя замену переменных

и подставив выражение для f(х, у):

Внутренний интеграл не сходится. С помощью так называемых множителей сходимости мы позже покажем, что его

176

Функция F(u, v) называется преобразованием Фурье функции f(х, у).. Подобным же образом мы можем определить преобразование Фурье G (и, v) для выходного сигнала g(х, у). Так что окончательно G (и, v) = H(и, v)F(u, v), что проще, чем выражение

преобразованиях Фурье. Постоянные множители здесь разделены так, чтобы соответствовать принятой в других книгах форме записи. То, что преобразования почти симметричны, позволяет свойства, применимые к прямому преобразованию, переносить на обратное преобразование. Однако необходимо иметь в виду, что в общем случае F(u,v)-комплексная функция, тогда как f(x, у) - действительная. Заметьте также, что Н(u, v) - преобразование Фурье функции h(x, у).

Не для всех функций можно найти преобразование Фурье. Функции из некоторых простых классов равны интегралам Фурье от их преобразований Фурье. Однако трудно точно описать, какие функции допускают преобразование Фурье, а какие — нет.

Другого типа трудность связана с тем, что интегралы берутся по всей плоскости ху, тогда как зрительные устройства дают практически пригодные изображения только на ограниченной части плоскости изображения. Более того, в компьютерах используется только дискретное по пространству представление этих изображений. Более детально эти два вопроса будут рассмотрены в

177