Материал: Системы технического зрения. Литвиненко А.М., Машаров А.В

следующей главе.

2.2.5. Преобразование фурье для операции свертки

Таким образом,

C(u, ) A(u, )e i(u ) b( , )d d

Операция свертки в пространственной области становится операцией умножения в частотной области. В этом заключается основной довод в пользу введения сложного аппарата пространственных частот. Коммутативность и ассоциативность свертки непосредственно вытекают из соответствующих свойств умножения.

Используя почти симметрию между прямым и обратным преобразованиями, нетрудно показать, что Фурье-преобразование

c(0,0) a(,)b( , )d d

Применяя обратное преобразование к функции С (u, v), мы также получаем

Если повторить предыдущие рассуждения для функции: а(-x,- у), то вместо этого получим

поскольку преобразование Фурье функции а( —х, —у) есть A*(u, v), т. е. комплексно-сопряженная функция к А (и, v). Считая функцию а(х, у) действительной, в частности, видим, что

Здесь |А(u, v)|2 = А*(u, v)A(u, v). Этот результат, устанавливающий равенство энергий в пространственной и частотной областях, известен как теорема Рэлея. Ее дискретный аналог — теорема Парсеваля.

2.2.6. Обобщенные функции и единичные импульсы

Единичный импульс не является функцией в традиционном смысле слова, поскольку ее нельзя определить заданием ее значений для всех х и у. Тем не менее, если

рассматривать как предел последовательности функций, то он допускает согласующуюся с традиционным представлением интерпретацию. Нам нужна функция, которая так зависит от параметра, что при его стремлении к некоторому пределу ее свойства приближаются к тем, на основе которых определяется единичный импульс. Говорят, что такая последовательность определяет обобщенную функцию. Пример поможет прояснить эту идею.

Рассмотрим последовательность квадратных импульсов единичного объема:

(x, y)dxdy 1

и далее, если f(х, у) ведет себя достаточно хорошо, то

1, x

0, x

Откуда ясно, что

Следует подчеркнуть, что одну и ту же обобщенную функцию можно определить различными последовательностями. Например, можно рассмотреть последовательность функций Гаусса

(x, y)

последовательность имеет то преимущество, что она всюду дифференцируема.

Чему равно преобразование Фурье единичного импульса? С одной стороны, мы имеем

(x, y)e i(uxy ) dxdy 1

в чем легко убедиться, подставляя в e i(ux y) значения x = 0 и y = 0 на основе фильтрующего свойства единичного импульса. Мы можем также исходить из данного выше определения:

или

Отсюда следует, что система, функция рассеяния точки которой представляет собой единичный импульс, является тождественной, так как она не изменяет входного сигнала. Все частоты проходят сквозь нее с единичным коэффициентом усиления, и никакого сдвига по фазе не происходит, поскольку передаточная функция Н (u, v) равна единице, т. е. выходной сигнал тождествен входному.

2.2.7. Множители сходимости и единичный импульс

Интеграл

e i(uab) dud

Рис. 2.4. Комплекснозначные экспоненциальные собственные функции двумерной линейной пространственно-инвариантной

системы.

не сходится. Причина в том, что колебания в подынтегральном выражении не затухают с увеличением u и v. Один из способов приписать осмысленное значение интегралу, несмотря на указанную трудность, состоит в умножении подынтегральной функции на множитель сходимости, который уменьшит ее значения для больших u и v

Отсутствие сходимости у интеграла от синусоиды (сплошная линия). Однако если подынтегральное выражение умножить на гауссову функцию (штриховая линия), то мы получим функцию, которую можно проинтегрировать. Исходный интеграл можно рассматривать как предел интеграла с множителем сходимости, становящимся плоским

Таким образом, чтобы новый интеграл приближался к исходному при стремлении параметра к некоторому определенному пределу. Значение, приписываемое исходному интегралу, полагается равным [48] пределу значений модифицированного интеграла при стремлении параметра к упомянутому пределу. Сформулированный метод станет ясен, если мы применим понятие множителя сходимости к интегралу, приведенному выше.

В этом случае удобным множителем сходимости является функция Гаусса

1 u 2 2

c (u, ) e 2 2

Однако при а = b = 0 результат не стремится к конечному пределу при .

Следовательно, интеграл

ei(uab) dud

должен быть пропорционален единичному импульсу (a,b) . Но чему равен коэффициент пропорциональности?

Поскольку

(a, b)dadb 1

мы можем определить этот коэффициент, если вычислим

Двойной интеграл можно представить в виде произведения двух простых интегралов и получить выражение

Произведение не зависит от , и окончательно мы имеем

ei(uab) dud 4 2 (a, b)

Этот результат мы уже использовали во время обсуждения преобразования Фурье.

186

2.2.8. Частные производные и свертка

Для выделения краев на изображениях мы используем дифференцирование, и поэтому интересно будет узнать, как связаны преобразования Фурье исходного и дифференцированного изображений. Иными словами, если F(u, v) — преобразование Фурье для функции f(х, у), то каковы преобразования Фурье для

преобразование Фурье имеет вид:

(iu) f (x, y)e i(uxy ) dxdy iuF(u, )

Если f(х, .у) не стремится к нулю на бесконечности, интеграл не сходится, но при этом мы можем прибегнуть к множителям сходимости и получить тот же результат. Подобным же способом