Материал: Системы технического зрения. Литвиненко А.М., Машаров А.В

Вывод легко распространяется на движение в произвольном направлении. И вновь нижние частоты почти не затрагиваются, тогда как высокие гасятся. Сигналы на некоторых частотах

инвертируются, а те, для которых ul k , где k — целое число, полностью подавляются. Те сигналы, у которых гребень волны параллелен направлению движения, естественно, остаются без изменения.

2.2.11. Восстановление и улучшение изображений

Чтобы устранить эффекты размывания изображение мы можем пропустить его через систему с передаточной функцией

H '(u, ) , которая является обратной к передаточной функции

H(u, ) системы, вызывающей размывание, т. е. Н(u, v)H' (u, v) = 1. Другими словами, нам нужна система с такой импульсной функцией h' (х, у), свертка которой с функцией h (х, у) дает единичный импульс, т. е. h'(x, y) h(x, y) (x, y)

Каскад двух таких систем есть тождественная система.

Сразу возникает проблема, вызванная тем, что мы не можем восстановить частоты, которые были полностью подавлены и для которых Н (u, v) = 0. Другая проблема возникает при попытке вычисления обратного преобразования Фурье функции H' (u, v), чтобы получить функцию h' (x, у). Как правило, требуемый интеграл

не будет сходиться, хотя мы и могли бы получить результат введением множителя сходимости. Однако при этом результат не будет функцией в классическом понимании.

Самой серьезной проблемой является шум. Измерения реального изображения неточны, и возникающие погрешности мы можем, как правило, смоделировать аддитивным шумом. Шум в одной точке изображения обычно не зависит и, следовательно, не коррелирует с шумом во всех других точках. Как можно показать, отсюда следует, что шум имеет плоский спектр: энергия шума, соответствующая любому

заданному участку частотной области, имеет то же значение, что и для любого другого участка той же площади.

К сожалению, шум, о котором здесь идет речь, возникает после размывания. В результате сильно подавляемые частоты начинают смешиваться с шумом, и когда мы их пытаемся восстановить путем усиления, то усиливаем и шум. Это основная трудность, возникающая при восстановлении изображения, и ее причина состоит в том, что независимо от частоты мы не можем отличить полезный сигнал от шума.

Приведем один эвристический подход к восстановлению изображений. Мы можем создать систему, передаточная функция которой приближенно совпадает с обратной величиной передаточной функции системы, вызывающей размывание. Однако

коэффициент усиления. Можно придумать и нечто более оригинальное вроде функции H '(u, ) H (u, ) /[H (u, )2 B 2 ] ,

где 1/ 2B — максимальный коэффициент усиления при условии, что функция H (u, v) действительна (рис. 2.9).

199

Рис. 2.9. Восстанавливающая система с передаточной функцией Н'(u, v), которая устраняет искажения, возникающие на выходе исходной системы с передаточной функцией Н(u, v). Функция Н' (u, v) обратно пропорциональна Н(u, v). На практике для ограничения усиления шума в восстанавливающей системе вводят верхний предел коэффициента усиления.

2.2.12. Корреляция и энергетический спектр

При обработке изображений иногда бывает полезно сопоставлять (коррелировать) их друг с другом. Таким путем мы, например, можем сказать, насколько похожи две яркостные картинки (рис. 2.10). Взаимная корреляция функций а (х, у) и b (x, у) определяется в виде

200

внимание, что это определение похоже на определение свертки. Единственное

В в

Рис. 2.10. Возможность использования корреляции при сравнении двух похожих изображений а(х, у) и b(х, у). Ее можно также использовать при определении положения фрагмента изображения, содержащего известный образ.

отличие заключается в аргументах первой функции подынтегрального выражения. Здесь a( , ) перед умножением на

b( , ) просто сдвигается. Кроме того, в свертке аргументы первой функции меняют знак:

Если b(х, у) = а(х, у), то результат называется автокорреляцией. Автокорреляция функции симметрична, т.е.

любой функции имеет максимум при (х, у) = (0, 0), так что для всех

сдвигом, т. е. b(х, у) = а (х - х0, у — у0), то аналогичный максимум возникает в точке, соответствующей величине сдвига, а именно

ab (x, y) для всех (х, у). Заметьте, что возможны и другие максимумы, особенно если функция а(х, у) периодическая. Тем не менее если b (х, у) мало отличается от сдвинутой функции а (х, у), то величину сдвига можно оценить путем нахождения

максимума ab .

Часто информативными оказываются преобразования Фурье взаимных корреляций и автокорреляций. По причинам, которые сейчас станут ясны, их называют энергетическими спектрами и обозначают через ФаЬ(и, v) и Фаа(и, v) соответственно. Если

преобразованием Фурье функции а (х, у) является функция А (и, v),

то Фаа (и, v) = /A(u, v)/2 =А* (и, v) А (и, v), где А * (и, v) - комплексно-

сопряженная к А (и, v) функция. Отсюда видно, что функция Фаа всегда действительна [свойство, которое можно также вывести из

симметрии aa и того факта, что преобразование Фурье функции а(- х, -у) есть А*(и, v)]. В любом случае для малых 8и и 8v величина Фаа (и, v) 8u8v представляет собой энергию, заключенную в прямоугольной области частотного диапазона, ограниченной значениями и, и + 8и и v, v + 8v. Этим и объясняется происхождение термина энергетический спектр.

Даже если интеграл Фурье для функции а(х, у) не сходится, ее энергетический спектр может существовать. Необходимо также отметить, что по А (и, v) посредством обратного преобразования Фурье функция а (х, у) восстанавливается однозначно, в то время как подобная функция, соответствующая заданному спектру Фаа(и, v), не единственна. Бесконечно много функций обладают одной и той же автокорреляцией и, следовательно, одним и тем же энергетическим спектром. Он не меняется, например, при сдвиге изображения, поскольку при этом изменяется лишь фаза в преобразовании Фурье. Если объект можно распознать по энергетическому спектру изображения, то его можно распознать независимо от его положения на изображении. В связи с этим одно время возлагали большую надежду на то, что методы Фурье-

202

преобразований сыграют значительную роль в решении задач распознавания. К сожалению, такие методы оказываются пригодными лишь тогда, когда на изображении имеется только один объект и при этом он не поворачивается и не меняется в размерах. Более того, как мы видели, энергетический спектр различных объектов может быть одинаковым. Случайный шум предоставляет другую интересную иллюстрацию. Фурье-преобразование изображения, на котором каждая точка подвержена случайному шуму с нулевым средним и стандартным отклонением а, представляет собой подобное же зашумленное изображение со

средним шума, равным нулю, и стандартным отклонением 2 . Среднее значение энергетического спектра бесконечного числа таких зашумленных изображений стремится на всех частотах к

постоянному значению. ( 2 )2.

2.2.13. Оптимальная фильтрация и подавления шума

Данный раздел, относящийся к оптимальной фильтрации, требует некоторого терпения при прослеживании нетривиальных математических выкладок. Нетерпеливый читатель при первом чтении может его пропустить без серьезного ущерба для дальнейшего понимания. Однако позже имеет смысл к нему вернуться, поскольку это первое место в книге, где вводятся приемы вариационного исчисления.

Допустим, мы имеем сумму полезного сигнала b (х, у) и шума и n(х, у). Наша задача — как можно точнее восстановить сигнал b (х, у). Мерой того, насколько хорошо нам это удалось сделать, будет интеграл от квадрата разности между выходным b(х, у) и искомым d (х, у) сигналами (рис. 2.11). Обычно d(x, у) - это просто Ь(х, у). Мы выбрали минимизацию интеграла от квадрата ошибки, поскольку при такой постановке задача поддается аналитическому решению. (Именно это обстоятельство, естественно, является реальной причиной популярности метода наименьших квадратов и его

203

аналогов.)

Нам нужно минимизировать квадрат ошибки

Рис. 2.11. Оптимальный фильтр, представляющий собой фильтр, который минимизирует разность между выходным о (х, у) и

требуемым d(x, у) сигналами. При этом шум п(х, у) добавляется к входному сигналу b (х, у) линейной пространственно-инвариантной системы с функцией рассеяния точки h(x, у).

Если фильтрация будет осуществляться линейной системой, то мы можем охарактеризовать ее функцией рассеяния точки h (х, у). На вход системы поступает сигнал i (х, у) = b (х, у) + п (х, у), а с

и, следовательно,

2 (x, y)dxdy

o(x, y)d (x, y) i(x , y )h( , )d (x, y)d d

и поэтому

у). Наконец, последний член имеет вид

d 2 (x, y)dxdy dd (0,0)

можем переписать выражение для минимизирующей ошибки в виде

Это выражение нужно минимизировать путем выбора импульсной функции h(х, у). Такая задача относится к вариационному исчислению. (Более подробно вариационное исчисление рассматривается в приложении.) Мы будем ее решать с помощью основного метода этого раздела математики. В типичной вариационной задаче отыскивается такое значение параметра, которое приводит к стационарному значению заданной функции. В нашем случае вместо этого необходимо найти функцию, которая дает стационарное значение заданного функционала. Функционал — это выражение, зависящее от функции, как, например, приведенная

выше величина Е зависит от h( , ) .

Допустим, что функция h (х, у) обеспечивает минимальное значение Е, и пусть 8h (х, у) — произвольная функция, используемая для изменения h (х, у). Тогда независимо от выбора 8h (х, у) функция

h(x, y) h(x, y) приведет к значению функционала, которое не может быть меньше Е. Пусть это значение равно Е + 8E. Если мы

мы могли бы уменьшить Е, добавив к h (х, у) вариацию 8h(х, у), умноженную на малую скалярную величину, и тем самым вошли бы в противоречие с предположением об оптимальности h(х, у). Далее

уравнение относительно функции h (х, у) можно решить, используя

энергетические спектры. Таким образом, чтобы в рамках принятых допущений построить систему, восстанавливающую изображение, достаточно знать эти спектры. Одна и та же система будет оптимальной не для одного, а целого класса изображений. (Иначе она, естественно, и не представляла бы особого интереса.)

В качестве примера рассмотрим систему, подавляющую шум, т. е. такую систему, на вход которой поступает сумма изображения b (х, у) и шума п(х, у), а на выходе формируется сигнал о(х, у), ближайший (в смысле метода наименьших квадратов) к исходному

207