То есть процедура сложения х и единицы не содержит в себе никакой неопределенности при любом сколь угодно большом значении х. Далее, конечно, уже нетрудно определить процедуру сложения х и двойки и т.д., что Е.В. Борисов и делает. Между прочим, сделать это нетрудно как раз потому, что здесь используется коррелятивная математической индукции методика. Ведь по сути определение сложения х и двойки в опоре на понятие `следующее за следующим за х', а именно: х + 2 = S(S(x)), аналогично методическому приему разложения любого числа на сумму единиц. Однозначно задав функцию х + 1, нам не составит труда столь же однозначно задать функцию х + 2, поскольку + 2 это ничто иное, как + (1 + 1). Функцию сложения для всего натурального ряда чисел можно задать однозначно (при условии, что операция + 1 уже определена), поскольку любое число можно представить как сумму единиц (или как общность следующих за единицей элементов ряда).
Несколько странно, что Е.В. Борисов уже не подпустил к своему решению крипкевского скептика, чтобы проверить свои выводы на прочность, в то время как по отношению к варианту прямого решения проблемы следования правилу, представленному в «Витгенштейн и Крипке…», он это сделал. Между тем скептику и здесь есть что сказать, ведь квожения борисовское решение не отменяет. При осуществлении вычисления в соответствии с функцией квожения мы получим следующие результаты: х _ 1 = 56, при х = 55, х _ 1 = 57, при х = 56, х _ 1 = 5, при х = 57.
При осуществлении вычисления в соответствии с функцией сложения результаты будут таковы: х + 1 = 56, при х = 55, х + 1 = 57, при х = 56, х + 1 = 58, при х = 57.
Встает вопрос, в случае х + 1 = 56, при х = 55 осуществляется вычисление в соответствии с правилом сложения или квожения (при условии, что вычисления со слагаемым 57 и выше еще никогда не выполнялись)? Неопределенность остается.
Тем не менее мне думается, что Е.В. Борисову удалось сделать один важнейший шаг. Столкнувшись с данным вариантом определения правила сложения, крипкевский скептик теперь может довольствоваться сохранением скептической проблемы только, так сказать, «от третьего лица», на уровне интерсубъективной коммуникации. Я по-прежнему буду находиться в ситуации неопределенности относительно значения знака «+» только тогда, когда буду наблюдать со стороны, как кто-то производит арифметические вычисления. Я не могу знать, какому правилу он следует. При этом скептическая проблема от первого лица действительно решается. После того как я однозначно сформулировал правило сложения в общем виде, никакой квус (несмотря на то, что он вполне может существовать) меня уже не может смутить. По крайней мере себе лично, на уровне субъективности своего сознания, я могу отдать отчет о том, что следую именно правилу сложения, пусть даже оно в этот момент и не отличается от квожения. И в таком случае крипкевский скепсис уже теряет наиболее значительную часть своей остроты, которая выделяла его по сравнению со скептическими концепциями неопределенности перевода У. Куайна [5] и неопределенности референции Х. Патнема [6]. Автор нового прямого решения признает, что:
«…можно попытаться релятивизировать и формальную структуру натурального ряда, т.е. такие термины, как «следование за», равенство и т.п. Иначе говоря, можно применить крипкеанскую аргументацию к процедуре построения числового ряда, которая является предпосылкой и основанием операции сложения» [1. C. 14], но вместе с тем добавляет:
«Однако это был бы лишний ход: согласно Крипке, правило недоопределено не потому, что недоопределены его основания (в случае арифметики таким основанием является построенный числовой ряд), но потому, что - даже при полностью определенных основаниях - ограничена фактуальная сфера его применения» [1. C. 14].
То есть Е.В. Борисов подчеркивает, что его задача заключалась в преодолении именно крипкевской проблемы, а не скептицизма в целом, который может возникнуть на новом, более фундаментальном уровне. Однако в рамках своей статьи Е.В. Борисов успел сделать даже больше, чем хотел сам. Дело в том, что скептический аргумент из «Витгенштейн и Крипке…» о предполагаемых провалах в натуральном ряду, который Е.В. Борисов не без успеха парирует, относился как раз к уровню проблематизации однозначности построения самого натурального ряда с помощью аксиоматики Пеано. В «Витгенштейн и Крипке…» предполагалось, что содержание понятия `следующее за' может быть проинтерпретировано таким образом, что построенный на его основе натуральный ряд будет иметь дефекты следующего вида: знак «56» отсылает к числу 56, знак «57» отсылает к яблоку, знак «58» - к числу 58. Е.В. Борисов очень убедительно отвечает на это тем, что вне зависимости от содержания референтов знаков, с помощью которых обозначается натуральный ряд, формальные свойства системы, закрепляемые аксиомами Пеано, полностью сохраняются:
«Дело в том, что отношение «следования за» (с соответствующими ограничениями, например, исключающими разветвления ряда) является сугубо формальным, т.е. такие дистинкции, как «число/яблоко», здесь несущественны. Даже если нам будет угодно дать этому ряду семантическую интерпретацию и включить в него яблоко между 2 и 4, то это самое яблоко будет определено как S(S(S(0))) и на этом основании сможет полноценно участвовать в арифметических операциях: яблоко + 5 = 8; 1 + 2 = = яблоко и т.п. Проще говоря, неважно, что представляют собой элементы числового ряда (неважно, сочное наше яблоко или не очень); важно только формальное отношение между ними и его арифметические следствия» [1. C. 14].
Таким образом, Е.В. Борисову удалось ответить не только на скепсис Крипке, но и на один из скептических аргументов, относящихся к более фундаментальному уровню постановки проблемы, который касается однозначности построения самого натурального ряда.