Курсовая работа (т): Стационарные характеристики процессов размножения и гибели

Граф интенсивностей переходов для данного процесса размножения и гибели имеет вид:

Рисунок 4 - Граф интенсивностей переходов для четвёртого случая процесса размножения и гибели

Запишем уравнения равновесия для стационарных вероятностей состояний:

.

Для нахождения математического ожидания, используем формулу. Получим, что среднее число заявок в системе в стационарном режиме равно:

.

Сделаем оценку сверху:

,

таким образом:

.

Получаем следующую оценку для среднего числа заявок в системе в стационарном режиме:

.

3.5 Система с ограничением на время пребывания заявки

Пусть скорость l_i, с которой происходит размножение в популяции объема i, и интенсивность гибели m_i, задающую скорость с которой происходит гибель в популяции объема i, определяются по следующему правилу:

Граф интенсивностей переходов для данного процесса размножения и гибели имеет вид:

Рисунок 5 - Граф интенсивностей переходов для пятого случая процесса размножения и гибели

Запишем уравнения равновесия для стационарных вероятностей состояний:

.

Для нахождения математического ожидания, используем формулу. Получим, что среднее число заявок в системе в стационарном режиме равно:

.

Сделаем оценку сверху:

,

таким образом:

.

Получаем следующую оценку для среднего числа заявок в системе в стационарном режиме:

.

3.6 Система с ограничением на время пребывания заявки, дополнительный поток и бесконечное число приборов

Пусть скорость l_i, с которой происходит размножение в популяции объема i, и интенсивность гибели m_i, задающую скорость с которой происходит гибель в популяции объема i, определяются по слудующему правилу:

Граф интенсивностей переходов для данного процесса размножения и гибели имеет вид:

Рисунок 6 - Граф интенсивностей переходов для шестого случая процесса размножения и гибели

Запишем уравнения равновесия для стационарных вероятностей состояний:

.

Для нахождения математического ожидания, используем формулу. Получим, что среднее число заявок в системе в стационарном режиме равно:

Сделаем оценку сверху:

,

таким образом:

.

Получаем следующую оценку для среднего числа заявок в системе в стационарном режиме:

.

Заключение

Итак, мы рассмотрели сущность и математическую модель процесса размножения и гибели и на её основе - модели четырёх базовых типов систем массового обслуживания: с потерями и ожиданием. Определили, что марковским процессом размножения и гибели с непрерывным временем называется такой случайный процесс, который может принимать целые неотрицательные значения; изменения которого могут происходить в любой момент времени t, при этом в любой момент времени он может либо увеличиться на единицу, либо уменьшиться на единицу, либо остаться неизменным.

Также в данной работе была приведена теоретическая справка и примеры определения математического ожидания для различных процессов размножения и гибели, решены практические задачи.

Таким образом, с помощью процессов размножения и гибели составляют математические модели управления различными процессами, а также модели многих явлений в биологии, физике и других областях. Также процессы гибели и размножения широкое применение находят в инженерной практике при исследовании различных технических систем, имеют прямое отношение ко многим процессам, происходящим в окружающей среде. Марковские процессы лежат в основе теории массового обслуживания, которая в свою очередь является незаменимой в экономике, в частности при управлении предприятием и различными процессами, происходящими в нем.

В данной работе были рассмотрены процессы размножения и гибели и приведены формулы для вычисления предельных вероятностей, которые применены для описания систем массового обслуживания с потерями и ожиданием на базе простейшего потока заявок. Получены формулы для некоторых характеристик.

Список использованных источников

Вентцель, Е.С. Теория случайных процессов и её инженерные приложения: учебное пособие для студентов / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров - 2-е изд. - М.: "Высшая школа", 2000. - 384 с.

Малинковский, Ю.В. Лекции по теории массового обслуживания: учебное пособие для вузов / Ю.В. Малинковский. - Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, - 184 с. (электронный вариант)

Баруча-Рид, А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения / А.Т. Баруча_Рид - М.: Наука, 1969. - 512 с.

Севастьянов, Б.А. О некоторых типах марковских процессов / Б.А. Севастьянов - т. 4, вып. 4 - УМН, 1949. - с. 194.

Колмогоров, А.Н. Введение в теорию вероятностей: учеб. для вузов / И.Г. Журбенко, А.В. Прохоров - М.: Наука, 1982. - 160 с.