Реферат: Теоретико-множественное определение антагонистической игры. Примеры

Как правило, задачи теории игр, моделирующих реальные ситуации, имеют значительную размерность. Поэтому важным моментом исследования платежной матрицы есть способы ее сокращения. Сократить матрицу можно, если исключить стратегии, о которых заранее известно, что они невыгодны или повторяют друг друга. [3]

Стратегии, которым соответствуют одинаковые значения платежной матрици (т.е. матрица содержит одинаковые строки (столбцы )), называются дублирующими. Если все элементы i-го строки ( столбца ) платежной матрицы превышают значения элементов j - й строки ( столбца ), то говорят, что і-тая стратегия игрока А ( игрока В) есть доминирующей над j - й.

Для упрощения расчетов дублирующие и те стратегии, для которых существуют доминирующие, изымают из платежной матрицы.

Рассмотрим пример. Имеем игру игроков А и В, заданная такой платежной матрицей:

Игрок В

Игрок A .

Решение.

Оптимизацию игры начнем с определения доминирующих стратегий для каждой из сторон, а также исключения из дальнейшего анализа невыгодных и дублирующих стратегий.

Определим доминирующие стратегии. Первая стратегия игрока А доминирует над третьей, поскольку все значения ее выигрышей при любых действиях противника являются не хуже, чем при выборе третьей стратегии, т.е. все элементы первой строки платежной матрицы не меньше, чем соответствующие элементы ее третьей строки. Поэтому третья стратегия хуже, чем первая и может быть исключена из платежной матрицы.

Продолжая анализ возможных действий игрока B, легко заметить, что его первая стратегия доминирует над пятой, которую можно исключить как убыточною, а потому невыгодную для этого игрока. Итак, имеем в результате такую платежную матрицу :

По выбору игроком А первой стратегии в зависимости от действий игрока В он может получить 6, 3, 8 или 5 единиц выигрыша. Но в любом случае его выигрыш будет не меньше чем  независимо от поведения игрока В. Если рассмотреть возможные последствия выбора игроком А второй стратегии, то, рассуждая аналогично выясним, что его гарантированный выигрыш составит  Для третьей стратегии имеем:

Итак, нижняя цена игры будет равна:  а игрок А для максимизации минимального выигрыша должен выбрать вторую из трех возможных стратегий. Эта стратегия есть максиминной в данной игре.

Игрок В, который пытается минимизировать свой проигрыш, выбирая первую стратегию, может проиграть 6,6 или 4 единицы. Но при любых вариантах действий игрока А игрок В может проиграть больше чем  Для второй стратегии имеем:  для третьей -  а для четвертой -  Следовательно, верхняя цена игры составит:

Игроку В целесообразно выбрать также вторую стратегию, которая является минимаксной в игре. Поскольку  то эта игра имеет седловую точку. Цена игры равна 5. Оптимальной максиминной стратегией игрока А есть вторая из трех возможных стратегий его действий. Для игрока В оптимальной есть также вторая из четырех возможных.

Из приведенного примера понятно, почему минимаксная и максиминная стратегии называются пессимистическими. Выбор оптимальной стратегии для каждого из игроков основывается на предположении, что он будет действовать при наихудших для него условиях. Понятно, что в данном случае выбор такой стратегии может не устраивать участников игры. Пусть игрок А выбрал вторую (максиминную ) стратегию и придерживается ее. Допустим, что игроку В стал известен выбор стратегии противника, тогда ему целесообразно выбрать третью стратегию, при которой выигрыш составит 7 единиц. В свою очередь игрок А также знает об изменении стратегии игрока В на третью и выбирает первую стратегию, что дает ему возможность получить выигрыш в сумме 8 единиц и т.д. Возможность такого развития событий возникает, минимаксная и максиминной стратегии в данном случае не являются устойчивыми. Есть обстоятельства, при которых оба игрока используют минимаксную и максиминную стратегии, невыгодные игрокам в том случае, когда один из них изменяет свою оптимальную стратегию.

Однако такая неустойчивость присуща не всем играм с седловой точкой. В некоторых случаях седловой точке соответствуют устойчивые максиминна и минимаксная стратегии. В таком случае отклонения от оптимальной стратегии одним из игроков вызывает такое изменение выигрыша, которая невыгодна для этого игрока, поскольку состояние или не меняется, или ухудшается. [2]

Итак, в общем случае нельзя утверждать, что игра с седловой точкой определяет устойчивые оптимальные стратегии.

максимин антагонистический игра математический

2.     
Применение математического аппарата для решения антагонистических игр

Постановка задачи

Фирма производит оборудование для химической промышленности. Экспертами производственного отдела фирмы рассматриваются три конструкторские варианта оборудования: А-1, А-2, А-3. Для упрощения допустим, что по техническим характеристикам эти три типа почти идентичны, однако в зависимости от внешнего вида и удобства использования каждый тип может иметь три модификации: М-1, М-2, М-3 в зависимости от закупленной технологии производства. Себестоимость изготовления оборудования приведена в табл. 1:

Таблица 1 Себестоимость изготовления оборудования, (млн. усл. ед.)

Конфликтная ситуация возникает в связи с необходимостью выбрать тот тип оборудования и его модификацию, который будет утвержден экономическим отделом фирмы. С точки зрения производства наиболее предпочтительным является дорогой вариант, поскольку он позволяет производить дорогую и конкурентоспособную продукцию, тогда как с точки зрения экономического отдела фирмы наилучшим является дешевый вариант, который требует наименьшего отвлечения средств.

Задача экспертов заключается в том, чтобы предложить на рассмотрение финансовому отделу такой тип оборудования, который обеспечит если не лучший, то во всяком случае не худший вариант соотношения стоимости и внешнего вида.

Решение.

Если производственный отдел предложит изготовление оборудования типа А-1, то экономический отдел будет настаивать на приобретении технологии, которая дает модификацию М-3, поскольку этот вариант самый дешевый. Если остановиться на оборудовании вида А-2, то скорее всего утвержден будет М-2, и наконец для типа А-3 - также М-2.

Очевидно, что из всех возможных вариантов развития событий эксперту производственного отдела необходимо настаивать на варианте внедрения в производство оборудования типа А-2, поскольку это дает наибольшее значение при реализации худших условиях - 7 млн. усл. ед.

Приведенные соображения отображают максиминную стратегию, следовательно:

,

,

,

 - нижняя цена игры.

Если участник отклонится от своей оптимальной (максиминной) стратегии и выберет первую или третью, то сможет получить выигрыш, равный только 5.

Рассмотрим теперь ситуацию с точки зрения специалистов экономического отдела. Исходя из затрат на производство оборудования, выбор технологии, что позволяет изготавливать модификацию М-1, может привести к максимальным расходам в том случае, если удастся утвердить выпуск оборудования типа А-1. Для технологии изготовления оборудования с модификацией М-2 максимальные расходы составляют 7 млн. усл. ед. для оборудования А-2, а с модификацией М -3 - также для А-2. Для экономистов наилучшим является выбор технологии, обеспечивающей изготовление оборудования модификации второго вида, поскольку при наихудших для них условиях она дает наименьшие затраты - 7 млн. усл. ед.

Последние соображения соответствуют минимаксной стратегии, которая определяет верхнюю цену игры.

,

,

,

 - верхняя цена игры.

Если игрок отклонится от своей оптимальной (минимаксной) стратегии, то это приведет к большим потерям. Если будет выбрать первую стратегию, то возможен проигрыш равен 10, а если выбрать третью стратегию, то возможный проигрыш составит 9. Приведенная игра является четной игрой с седловой точкой.

Заключение

Антагонистические игры являются сравнительно несложными моделями довольно узкой прослойки тех явлений и процессов, где принимают участие две заинтересованные стороны. Модели принятия решений в условиях тотального конфликта, которые являются предметом теории антагонистических игр, составляют незначительную часть исследования операций. Но именно теория антагонистических игр является фундаментальной для построения моделей принятия решений в условиях многосторонних конфликтов.

Теория антагонистических игр, которая является основой игрового математического моделирования, дает возможность относительно просто исследовать и прогнозировать технико-экономические и социальные конфликтно - управляемые процессы. Принятие оптимальных решений в условиях конфликтных ситуаций связано, прежде всего с решением матричных игр. Известные методы решения матричной игры с пустым множеством седловых точек в чистых стратегиях позволяют находить ее решения в смешанных стратегиях, где произвольная пара оптимальных смешанных стратегий игроков составляет ситуацию равновесия и, таким образом, удовлетворяет известный принцип оптимальности.

Список литературы

1.   Дубина И.Н. Основы теории экономических игр: учебное пособие / Дубина И.Н. - М: КноРус, 2010. - 208 с.

2.      Садовин Н.С. Основы теории игр: учебное пособие/ Н.С. Садовин, Т.Н. Садовина. - Йошкар-Ола, 2011. - 119 с.

3.   Мазалов В.В. Математическая теория игр и приложения. - Санкт-Петербург - Москва - Краснодар: Лань, 2010. - 446 с.

4.      С.Л. Печерский, А.А. Беляева. Теория игр для экономистов. Вводный курс. Учебное пособие. - СПб.: Изд-во Европ. Ун-та в С.Петербурге. - 342 с., 2001.

.        Сигал А.В. Антагонистическая игра, заданная в условиях частичной неопределённости/ А.В. Сигал, В.Ф. Блыщик//Экономическая кибернетика: Международный научный журнал. - 2005. - №5-6 (35-36). - С. 47-53.

.        Сигал А.В. Теоретико-игровая оптимизация структуры портфеля в условиях неопределенности и риска/ А.В. Сигал// Экономическая политика и фондовый рынок: модели и методы системного анализа. Труды ИСА РАН- М. : Поли Принт Сервис, 2009. - Т. 47. - С. 126-136.

7.      Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. - М.: Наука, 1970.