Из косвенных методов наибольшее распространение получили принцип максимума Л.С. Понтрягина и динамическое программирование Беллмана. При этом следует отметить, что разработанная до настоящего времени техника оптимизации, позволяющая получить аналитически оптимальное управление из необходимых условий, применима к ограниченному типу задач.
Рассмотрим возможности применения ТОУ на базе принципа динамического программирования для разработки алгоритмов траекторного управления ПП ИП в УДП РЭСУ. Предварительно приведем необходимые математические соотношения [14].
Пусть управляемый процесс описывается детерминированным уравнением общего вида:
.
Здесь -- полная производная вектора состояния по времени , -- векторная функция векторных аргументов и скалярного аргумента , -- вектор управления.
Как известно, для вычисления оптимального управления с использованием принципа динамического программирования решается уравнение Беллмана. Решение этого уравнения упрощается в определенных случаях, в частности, для процесса с линейно входящим управлением
(3)
и интегрального квадратичного функционала качества [14]:
, (4)
где -- заданная скалярная функция конечного состояния процесса ; -- заданная квадратичная функция, определяющая текущую точность управления; К -- диагональная невырожденная матрица заданных коэффициентов штрафов за экономичность сигналов управления; -- матричная функция размера аргументов , .
Интегрирование в (4) осуществляется от текущего момента времени до конечного . Первая часть функционала, называемая терминальной, отражает конечную ошибку, вторая -- требования к точностным характеристикам системы и третья -- ограничения на сигналы управления.
Уравнение Беллмана и оптимальное управление имеют вид [14]:
(5)
Здесь «» -- символ транспонирования.
Уравнение Беллмана представляет собой нелинейное уравнение в частных производных. Решение этого уравнения при граничном условии должно определять оптимальное управление. Аналитическое построение точных решений существуют лишь для линейно-квадратичных задач. Для нелинейных систем возможны различные способы приближенного решения уравнений Беллмана, которые могут оказаться полезными при решении задач синтеза для динамических процессов невысокой размерности. При этом используют численную форму динамического программирования, построение разностных схем, метод рядов и метод характеристик [14].
В общем случае, управляемый процесс является стохастическим. Следует заметить, что для нелинейных систем задача управления стохастическими процессами путем минимизации функционалов намного сложнее, чем для детерминированных процессов. В то же время для нелинейных задач применительно к функционалу (4) приближенно справедлива теорема разделения [14], согласно которой можно раздельно синтезировать систему оценивания и идентификации и систему собственно управления. Ниже предполагается, что процедура оценивания фазовых координат и идентификации параметров в УДП РЭСУ произведена.
Конкретизируем постановку задачи нахождения оптимального управления применительно к приемной позиции ИП УДП РЭСУ. В качестве целевой функции выберем ошибку (2) определения местоположения ИРИ
,
где
, (6)
, (7)
-- площадь треугольника С1ЦС2 (рис. 2), -- полупериметр этого треугольника, -- расстояние между ПП (база пеленгации), , -- текущие прямоугольные координаты ведущей ПП.
Введем обозначения переменных вектора состояния х, полагая в качестве управления угол отклонения элеронов и учитывая связи угла с углами отклонения элеронов и курса ЛА [3]: -- прямоугольные координаты ведущей ПП по оси неподвижной в пространстве горизонтальной системы координат ; -- производная по времени прямоугольной координаты ведущей ПП по оси ; -- прямоугольные координаты ПП ИП по оси ; -- производная по времени прямоугольной координаты ПП ИП по оси ; -- курс ПП ИП ; -- скорость изменения курса ПП ИП ; -- крен ПП ИП ; -- скорость изменения угла крена; и -- коэффициент эффективности и угол отклонения элеронов.
Отсюда следует, что уравнения состояния можно записать следующим образом:
(8)
Применительно к рассматриваемому случаю минимизируемый функционал (4) имеет вид:
(9)
где , , -- коэффициенты штрафов.
В минимизируемом функционале (9) член с квадратичным управлением служит для ограничения управляющего воздействия.
Если рассматривать в качестве управления боковое ускорение , то уравнения состояния могут быть упрощены. Действительно, скорость изменения курса ПП [3]
.
Для этого случая уравнения состояния приобретают вид:
(10)
Из (10) видно, что размерность вектора состояния меньше, чем в динамической системе (8). Минимизируемый функционал имеет тот же вид (9), но при условии подстановки вместо .
Поскольку в минизируемом функционале СКО местоопределения нелинейно зависит от прямоугольных координат, то аналитическое определение оптимального управления не представляется возможным. Для отыскания оптимального управления ПП ИП необходимо воспользоваться указанными выше приближенными способами решения задачи.
Рассмотрим возможности прямых методов оптимизации для нахождения алгоритма траекторного управления ПП ИП.
В классе прямых методов наиболее популярны градиентные методы. Из классических градиентных методов наиболее известны метод наискорейшего спуска и метод Ньютона-Рафсона. Ко второму поколению градиентных методов относятся метод сопряженного градиента и метод с переменной метрикой, которые характеризуются простотой и хорошей сходимостью. Оптимальное управление при использовании прямых методов является итерационной процедурой, основанной на информации о градиенте функционала качества.
При разработке алгоритмов траекторного управления по курсу для ПП ИП на основе прямых методов параметры траектории приемной позиции ИП могут рассчитываться по формулам, полученным на основе теории принятия решений в одношаговых задачах оптимального управления с использованием градиентных методов нелинейного программирования [15]. В качестве целевой функции целесообразно выбрать ошибку (2). В этом случае движение по требуемой траектории ПП ИП приводит к максимально быстрому уменьшению ошибок местоопределения ИРИ на каждом шаге управления.
Стратегия градиентного способа представляет собой последовательность шагов, каждый из которых содержит две операции:
1) определение направления наибольшей крутизны спуска в текущей точке;
2) перемещение в выбранном направлении на заданное расстояние.
Следует отметить, что при определении направления наибольшей крутизны спуска используется СКО (2). В то же время управляемыми переменными состояния (компонентами вектора состояния) являются прямоугольные координаты , ПП ИП . Выражение (2) в явном виде не зависит от этих координат, поэтому его преобразуют к виду, удобному для нахождения градиента целевой функции, используя соответствующие уравнения связи (6) и (7).
При подстановке (6) и (7) в (2) получают зависимость целевой функции от прямоугольных координат ИРИ и ПП. Далее вычисляют градиент целевой функции, для чего находят частные производные и целевой функции по прямоугольным координатам , ПП ИП . После вычисления частных производных требуемый курс ПП ИП и параметр управления ею рассчитывают в ПП ИП соответственно по формулам
, (11)
где -- фактический (текущий) курс ПП ИП.
Управление ПП ИП осуществляется таким образом, чтобы значение параметра управления стремилось к нулю.
Алгоритм (11) траекторного управления ПП ИП обеспечивает получение наибольшей скорости убывания СКО местоопределения ИРИ. Достоинство данного алгоритма состоит в том, что убывание СКО местоопределения ИРИ обеспечивается не только за счет изменения угла , но и в результате уменьшения расстояний и .
Для оценки эффективности разработанного способа и алгоритма траекторного управления ПП ИП было проведено математическое моделирование процесса наведения ПП, входящих в состав УДП РЭСУ. В качестве показателя эффективности рассматривалась ошибка (2). При моделировании полагалось, что ИРИ движется равномерно и прямолинейно. Ведущая ПП наводится на цель по методу перехвата [3]. Приемная позиция ИП управляется согласно градиентному способу.
Результаты моделирования приведены на рисунках 3, 4. На рисунке 3 показаны траектории движения ведущей ПП , ПП ИП , ПОИУ и ИРИ в горизонтальной плоскости для одного из гипотетических вариантов применения, а на рисунке 4 -- график поведения во времени СКО определения местоположения ИРИ.
Рис. 3 Геометрия задачи траекторного управления наблюдением
Рис. 4 Зависимость СКО определения местоположения ИРИ от времени
В процессе моделирования проверялось влияние ошибок измерения азимутов ИРИ на качество наведения и ошибки определения местоположения ИРИ. При реальных ошибках измерения это влияние оказалось незначительным и приводит лишь к небольшим флуктуациям траекторий полета наводимых ПП (рис. 4).
Анализ результатов моделирования показывает, что применение предлагаемого способа траекторного управления позволяет успешно решать стоящие перед УДП РЭСУ задачи.
Следует отметить, что градиентный метод может быть применен для построения требуемой геометрии взаимного положения ПП, когда положение наводимых ПП по отношению к ИРИ задается бистатическим углом (рис. 2). В этом случае минимизируемый функционал (4) может быть задан в виде:
где и -- заданное и текущее значения бистатического угла.
На практике возможны ситуации, когда требуется обеспечить сближение ПП с ИРИ под заданным углом подхода. Для решения данной задачи могут быть использованы разработанные ранее методы и алгоритмы, приведенные в [7-13]. При этом для вычисления угла вместо координат ведущей ПП следует подставить координаты некоторой виртуальной точки, которая совместно с ИРИ определяет положение линии отсчета указанного угла в пространстве. Тем самым, появляется возможность обеспечения выхода нескольких ПП с разных направлений на ИРИ, что иногда требуется при выполнении групповых действий.
Выводы
1. Разработанные оптимальные алгоритмы траекторного управления на основе принципа динамического программирования и градиентного метода наискорейшего спуска обеспечивают полет приемной позиции информационной поддержки по траектории, позволяющей получить минимально возможные ошибки определения местоположения ИРИ в любой момент времени. Эти же алгоритмы могут применяться при наведении приемных позиций в случае, когда необходимо поддерживать требуемые значения бистатических углов визирования приемных позиций с ИРИ.
2. Для обеспечения в процессе сближения требуемого угла подхода приемной позиции к ИРИ возможно использование разработанных ранее применительно к угломерным двухпозиционным системам радиоуправления методов и алгоритмов наведения летательных аппаратов за счет их достаточно простой модификации. В результате может быть осуществлено групповое сближение нескольких приемных позиций с ИРИ с разных угловых направлений.
Литература
1. Каляев И.А., Гайдук А.Р., Капустян С.Г. Модели и алгоритмы коллективного управления в группах роботов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.
2. Верба В.С., Меркулов В.И., Дрогалин В.В. и др. Оценивание дальности и скорости в радиолокационных системах. Ч.3. / Под ред. В.С. Вербы и В.И. Меркулова. М.: Радиотехника, 2010.
3. Авиационные системы радиоуправления: учебник для военных и гражданских ВУЗов и научно-исследовательских организаций. / В.И. Меркулов, В.С. Чернов, В.А. Гандурин, В.В. Дрогалин, А.Н. Савельев. / Под ред. В.И. Меркулова. М.: Изд. ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 2008.
4. Меркулов В.И., Чернов В.С., Юрчик И.А. Авиационные многопозиционные системы радиоуправления. // Успехи современной радиоэлектроники, 2006, № 12.
5. Абатуров В.А., Меркулов В.И., Чернов В.С. Авиационные системы радиоуправления. Многопозиционные системы радиоуправления. Учебное пособие. М.: ВВИА им. проф. Н.Е Жуковского, 2008.
6. Меркулов В.И., Куимов А.М., Чернов В.С. Траекторное управление пассивными двухпозиционными системами. // Информационно-измерительные и управляющие системы, 2008, № 12, т.6.
7. Меркулов В.И., Харьков В.П., Чернов В.С. и др. Алгоритмы траекторного управления самолетами в угломерной двухпозиционной радиолокационной системе. Юбилейная научно-техническая конференция «Авиационные системы 21 века», ФГУП ГосНИИАС, 2006.
8. Меркулов В.И., Харьков В.П., Чернов В.С. Алгоритмы управления позициями в пассивной двухпозиционной радиолокационной системе. // Радиотехника, 2004, № 10.
9. Меркулов В.И. Управления пассивными двухпозиционными РЛС в режиме наведения на радиоизлучающую цель. // Радиотехника, 2005, № 6.
10. Бирина Н.О., Меркулов В.И., Чернов В.С. и др. Способ управления самолетами в угломерной двухпозиционной радиолокационной системе. // Радиотехника, 2005, № 6.
11. Способ наведения летательных аппаратов в двухпозиционной радиолокационной системе. Патент РФ на изобретение № 2262649 от 20.10.2005.
12. Способ управления летательными аппаратами по курсу в угломерной двухпозиционной радиолокационной системе. Патент РФ на изобретение № 2256870 от 20.07.2005.
13. Способ управления летательными аппаратами по курсу в угломерной двухпозиционной радиолокационной системе. Патент РФ на изобретение № 2308093 от 10.10.2007.
14. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
15. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики: Учеб. пособие для вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Энергия, 1980.