– характеристики среднего уровня признака. Варианты минимальная и максимальная (лимит – характеризуют разнообразие количественного признака по его крайним значениям. Амплитуда(размах) – разница между минимальной и максимальной ва-
Способы вычисления средней арифметической взвешенной и моментов, являются актуальными при отсутствии возможности компьютерной обработки данных, т.к. упрощают расчеты проводимые вручную риантами; характеризует разнообразие количественного признака по его крайним значениям. Среднеквадратическое (стандартное) отклонение (δ) – характеристика разнообразия признака в симметричном (близком к нормальному распределению) вариационном ряду, показывающая его внутреннюю структуру.
При небольшом количестве наблюдений достаточно построить простой вариационный ряд из имеющихся вариант, расположив их в порядке возрастания. В случае большого количества наблюдений строят сгруппированный вариационный ряд. Методика построения сгруппированного вариационного ряда сводиться к следующим этапам
Первым этапом построения сгруппированного вариационного ряда является определение количества групп в ряду. Чем больше групп, тем более громоздки расчеты чем меньше групп, тем более скрадывается разнообразие изучаемого признака и снижается точность. Поэтому нежелательно, чтобы количество групп было менее 6 и более 17. Удобно ориентировочно определять количество групп в зависимости от числа наблюдений при помощи специальной таблицы (таб. 7), однако исследователь должен сам решить и обосновать свое решение.
Таблица 7 Число групп в зависимости от числа наблюдений
n (число наблюдений)
31 – 45 46 – 100 101 – 200 200 – 500 r (количество групп)
6 – 7 8 – 10 11 – 12 12 – 17
Вторым этапом построения сгруппированного вариационного ряда является определение интервала между группами последующей формуле, округляя полученную величину до целого числа
r
V
V
i
мин
макс
где: i – величина интервала макс – максимальная варианта мин – минимальная варианта r – количество групп.
На третьем этапе определяем начало и конец в каждой группе, согласно значению интервала.
На четвертом этапе распределяем варианты по группам в соответствии сих частотами.
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (
http://www.novapdf.com
)
66
На пятом этапе определяем серединную варианту в каждой группе как среднюю арифметическую между крайними вариантами.
Далее для последующего анализа вариационного ряда строим его графическое изображение. Поясним данные этапы на примере. При исследовании уровня гемоглобина у 54 беременных женщин были получены следующие данные 113, 114, 115,
116, 116, 117, 117, 118, 118, 119, 120, 120, 119, 119, 120, 120, 121, 121, 122, 122,
122, 121, 121, 122, 122, 123, 123, 123, 123, 124, 124, 124, 124, 124, 125, 125, 125,
125, 126, 126, 125, 126, 127, 128, 128, 128, 129, 129, 129, 130, 130, 131, 132, 133 гл.
1. Поскольку число наблюдений в ряду n = 54, то пусть количество групп будет равно 8 (согласно таблице 7).
2. Определим интервал
3 5
,
2 8
113 133
i
3. Определим начало и конец в каждой группе согласно значению интервала. Так первая варианта равна 113, значит под ней должна располагаться варианта 113 + 3 (значение интервала) = 116, тогда первая группа будет включать в себя варианты от 113 до 115, вторая от 116 дои т.д. Продолжаем осуществлять группировку, пока все варианты вариационного ряда не войдут в состав соответствующих групп (таблица То, что количество групп в результате получилось не 8 а 7 не является ошибкой и является следствием округления величины интервала до целого числа. Таблица 8 Результат третьего этапа построения сгруппированного вариационного ряда
V
113
-
115 116
-
118 119
-
121 122
-
124 125
-
127 128
-
130 131
-
133 4. Распределим варианты по группам в соответствии сих частотами, те. в группу 113 – 115 входит 3 варианты, в группу 116 – 118 - 6 вариант и т.д. Результат этапа представлены в таблице 9.
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (
http://www.novapdf.com
)
67 Таблица 9 Результат четвертого этапа построения сгруппированного вариационного ряда
V p
113 - 115 3
116 - 118 6
119 - 121 11 122 - 124 14 125 - 127 9
128 - 130 8
131 - 133 3
5. Определим серединную варианту в каждой группе как среднюю арифметическую между крайними вариантами. Так середина группы
113 – 115 будет равна (113+115):2=114, следующей группы 117 и т.д. В результате получаем сгруппированный вариационный ряд (таблица
10).
6. Построим графическое изображение ряда (рис. 12), наглядно иллюстрирующее распределение уровней гемоглобина у беременных женщин, из которого видно, что оно близко к симметричному из чего следуют выводы, что для характеристики среднего уровня гемоглобина можно применять среднюю арифметическую, для характеристики разнообразия – среднеквадратическое отклонение, а при необходимости последующего сравнения данных и определения взаимосвязи между признаками – так называемые параметрические методы
Таблица 10 Сгруппированный вариационный ряд средняя p
114 3
117 6
120 11 123 14 126 9
129 8
132 3
При анализе соответствия распределения признака симметричному в научных исследованиях используют не только графическое изображение, но и специальные критерии Колмогорова – Смирнова, Лиллиефорса, Шапи-
ро – Уилика (не рассматриваются в настоящем учебном пособии.
Параметрические методы статистики — класс статистических методов, используемых для анализа данных. Названы так потому, что опираются на анализ параметров нормального распределения (средней арифметической, среднеквадратического отклонения и др
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (
http://www.novapdf.com
)
68 Рисунок 12. Распределение беременных женщин по уровню гемоглобина. По сгруппированному вариационному ряду можно рассчитать среднюю арифметическую способом моментов по формуле За условную среднюю (А) можно взять любую варианту вариационного ряда, однако для удобства принято брать варианту, значение которой будет близко к средней арифметической. Обычно за условную среднюю берут моду либо медиану. В данном ряду модой является варианта имеющая значение 123 гл (см. таблицу 11, условная средняя выделена жирным шрифтом. Далее необходимо найти условное отклонение вариант от условной средней (а. Если бы определялось истинное отклонение вариант от условной средней (d) то расчет бы проводился по формуле d = V – A в таблице 11 результаты вычисления d выделены серым фоном. Изтаблицы 11 видно, что значения d различаются друг от друга на величину интервала.Для упрощения последующих вычислений рассчитывается не истинное отклонение, а условное (a) – интервал условно принимаем за 1, те. каждое отклонение будет отличаться от последующего на 1. Нетрудно заметить, что условное отклонение a = d/i впоследствии при расчете средней арифметической эта допускаемая условность устраняется умножением момента первой степени назначение интервала) Конечно при расчетах нет никакой потребности определять и a, и d, проще сразу
Таким образом, для расчета средней арифметической по способу моментов можно использовать и истинное отклонение вариант от условной средней, но тогда формула будет иметь следующий вид
n
dp
A
M
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (
http://www.novapdf.com
)
69 установить условное отклонение. В настоящем примере расчеты d приведены исключительно ради объяснения. Далее построчно находим произведение ap,
∑ap и подставляем данные в формулу, получая значение средней арифметической. Таблица 11 Вычисление данных, необходимых для расчета средней арифметической величины по способу моментов
V средняя p d а ap
113 - 115 114 3
-9
-3
-9 116 - 118 117 6
-6
-2
-12 119 - 121 120 11
-3
-1
-11 122 - 124
123
14 0
0 0
125 - 127 126 9
3 1
9 128 - 130 129 8
6 2
16 131 - 133 132 3
9 3
9 n = 54
∑ap = 2
л
г
n
ap
i
A
M
/
123 1
,
123 54 2
3 Таким образом, средний уровень гемоглобина у беременных женщин составил гл. Средняя арифметическая величина позволила выявить наиболее общую меру уровня гемоглобина для беременных женщин. Однако характеристика любого количественного явления только средним уровнем признака является недостаточной, т.к. скрывает его разнообразие и крайние его значения. Например, в справке к расширенной коллегии Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации О задачах по реализации приоритетного национального проекта в сфере здравоохранения от 14 октября 2005 года указываются, что средняя заработная плата в здравоохранении за первое полугодие
2005 года составила 5870 рублей, а средняя заработная плата по народному хозяйству значительно выше - 8428 рублей. Из приведенных цифр следует, что наиболее типичный уровень заработной платы в здравоохранении составил на тот период 5870 руб, что значительно ниже уровня заработной платы в целом по всем отраслям. Но это обобщение не отвечает на вопросы какова самая минимальная и максимальная заработная плата в здравоохранении насколько она разнообразна сколько медицинских работников получают заработную плату того или иного размера. Подобно этому примеру любое исследование не будет полным, если будет ограничиваться только определением средней величины без раскрытия вариабельности. Для характеристики разнообразия (вариабельности) изучаемых количественных признаков в медицинской статистике применяют следующие характеристики вариационного ряда
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (
http://www.novapdf.com
)
70
лимит (lim);
амплитуда ряда (Am);
среднеквадратическое отклонение (δ)
;
коэффициент вариации (С
Лимит показывает крайние значения вариант вариационного ряда, так в нашем примере он равен 133 ÷ 113 гл. Амплитуда или размах показывает разность между крайними вариантами. В нашем примере составляет 133 – 113 = 20 гл. Таким образом, лимит и амплитуда характеризуют разнообразие по значениям крайних вариант, ноне показывают внутреннюю структуру изучаемого явления. Наилучшую характеристику вариабельности при симметричном распределении признака дает среднеквадратическое отклонение, которое может быть рассчитано последующим формулам где
δ – среднеквадратическое отклонение d – истинное отклонение от истиной средней n – число наблюдений. Данная формула применима, если средняя арифметическая рассчитывалась простым способом. Если число наблюдений составляет менее 30, тов знаменателе под корнем ставят n – 1. Данная формула применима, если расчет средней арифметической проводился способом определения средней взвешенной (p – частоты вариант. Если число наблюдений составляет менее 30, тов знаменателе под корнем ставят n –
1. Если среднюю арифметическую рассчитывали по способу моментов, то среднеквадратическое отклонение определяем также способом моментов по формуле
2 2
Приведем пример расчета среднеквадратического отклонения по способу моментов, используя данные предыдущей задачи (таблица 11). Если обратить внимание на уже имеющиеся расчеты, то видно, что для вычисления сигмы не
При распределении близком к симметричному.
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (
http://www.novapdf.com
)
71 хватает момента второй степени
∑
. Сумму a
2
p легко можно найти, построчно перемножая графы «a» и ар с последующим суммированием (таблица 12). Таблица 12 Вычисление данных, необходимых для расчета среднеквадратического отклонения по способу моментов
V средняя p а ap a
2
p
113 - 115 114 3
-3
-9 27 116 - 118 117 6
-2
-12 24 119 - 121 120 11
-1
-11 11 122 - 124 123 14 0
0 0
125 - 127 126 9
1 9
9 128 - 130 129 8
2 16 32 131 - 133 132 3
3 9
27 n = 54
∑ap = 2
∑ a
2
p = 130 Подставляем рассчитанные данные в формулу и получаем
л
г
n
ap
n
p
a
i
/
5 7
,
4 54 2
54 130 3
2 2
2
В основе применения среднеквадратического отклонения для характеристики разнообразия количественного признака при симметричном его распределении в статистической совокупности лежат следующие теоретические аспекты. Отклонения вариант от среднего значения в одну сторону встречаются также часто, как и отклонения в другую. В симметричном вариационном ряду укладываются около шести среднеквадратических отклонений – потри отклонения в каждую сторону от средней (рис. 13). Если ряд приближен по распределению к нормальному, с определенной вероятностью, можно утверждать, что подавляющее число вариант расположено в конкретных границах. Эта вероятность может быть задана через значение критерия достоверности t. Если t = 1, то вероятность наличия данного события равна 68,3%, если t = 2 – 95,5%, если t
= 3 – 99,7%. Таким образом, найти доверительные границы варьирования количественного признака можно последующей формуле М где М – средняя арифметическая t – критерий достоверности
δ – среднеквадратическое отклонение.
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (
http://www.novapdf.com
)
72 Рисунок 13. Определение доверительных границ варьирования с помощью
среднеквадратического отклонения при симметричном распределении количественного признака. В пределах M±1 будут находиться 68,3% всех наблюдений, в пределах M
± 2δ – 95,5%, в пределах M ± 3δ – 99,7% случаев. С практической точки зрения значения признаков в пределах M ± 1δ считаются наиболее типичными – нормальными значениями, в пределах от 1 до 2δ – субнормальные значения, аза пределами 2δ – нетипичные (ненормальные, для медицины – патологические) значения. Часто в медицине при определении различных нормативов для практического применения не выделяют отдельно субнормальные значения какого- либо признака, а считают за норму все находящиеся в пределе M ± 2δ. Проиллюстрируем определение границ варьирования с помощью средне- квадратического отклонения на примере предыдущей задачи (M=123 гл, =±5 гл.
68,3% беременных женщин имели гемоглобин в пределах M ± 1 = 123 ± 5
= [118; 128] гл.
95,5% беременных женщин имели гемоглобин в пределах
M ± 2δ = 123 ± 2×5 = [113; 133] гл.
99,7% беременных женщин имели гемоглобин в пределах
M ± 3δ = 123 ± 3×5 = [108; 138] гл. С практической точки зрения, значения гемоглобина в пределах от 118 до
128 гл можно считать нормальным. Уровень гемоглобина от 113 до 118 гл и от
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (
http://www.novapdf.com
)
73 128 и до 133 гл можно считать пороговыми значениями, ниже и выше которых будут патологические (ненормальные) уровни. Когда необходимо сравнить разнообразие нескольких количественных признаков целесообразно использовать коэффициента вариации, который позволяет установить степень разнообразия изучаемого признака по отношению среднеквадратического отклонения к его среднему уровню и рассчитывается по формуле где
Cv – коэффициент вариации
δ – среднеквадратическое отклонение
M – средняя арифметическая величина. При ориентировочной оценке значений коэффициента вариации можно учитывать следующие его градации при Cv > 20% имеется сильное разнообразие количественного признака, при Cv = 10 – 20% - среднее и при Cv < 10% - слабое. Для средних величин, полученных в результате выборочного исследования, также как и для относительных, необходимо определять достоверность. Основные подходы к оценке достоверности остаются прежними. Мерой достоверности является ошибка репрезентативности (m), по которой определяются доверительные интервалы. Для сравнения двух средних рассчитывают критерий достоверности Стьюдента (Расчет ошибки репрезентативности ведется по формуле где m – ошибка репрезентативности
δ – среднеквадратическое отклонение n – число наблюдений. В нашем примере ошибка репрезентативности составит
л
г
n
m
/
6
,
0 54 7
,
4
Расчет критерия Стьюдента для определения достоверности разности средних величин не всегда корректен Его можно использовать только при условиях, когда значения признаков в каждой из сравниваемых групп имеют симметричное распределение и дисперсии распределений (рассеяние) признаков в двух сравниваемых группах равны. Если эти условия не соблюдаются, необходимо применять непараметрические методы (в настоящем учебном пособии не рассматриваются.
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (
http://www.novapdf.com
)
74 Доверительные интервалы рассчитываются по формуле
tm
М
М
выб
ген
где:
М
ген
– средняя величина в генеральной совокупности
М
выб
– средняя величина выборочной совокупности m – ошибка репрезентативности t – критерий достоверности. Определим доверительные границы среднего уровня гемоглобина у беременных женщин с вероятностью 95,5 (1) и 99,7% (2).
1) М
ген
= 123,1 ± 2 × 0,6 = [121,9;124,3] гл.
2) М
ген
= 123,1 ± 3 × 0,6 = [121,3;124,9] гл. Таким образом, при проведении последующих исследований у беременных женщин средний уровень гемоглобина может находиться в пределах от 121,9 до
124,3 гл с вероятностью 99,5% и от 121,3 до 124,9 гл с вероятностью 99,7%. Достоверности различий между двумя средними арифметическими по критерию достоверности рассчитывается по формуле
2 2
2 1
2 1
m
m
М
М
t
где: t – критерий достоверности Ми М – сравниваемые средние величины (принято от большего отнимать меньший m
1
и m
2
– ошибки репрезентативности сравниваемых средних величин. Предположим, что были получены данные о среднем уровне гемоглобина женщин вне беременности, который составил 132,3 гл. Ошибка репрезентативности составила 0,5 гл. Рассчитаем коэффициент достоверности, подставив в формулу полученные данные
8
,
11 6
,
0 5
,
0 1
,
123 3
,
132 2
2 2
2 2
1 ММ created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (
http://www.novapdf.com
)
75 Так как значение t более 3, то вероятность различий выше 99,7%. Таким образом, можно утверждать, что у женщин вне беременности средний уровень гемоглобина достоверно выше, чему беременных. Подходы к определению объема выборочной совокупности для определения достоверной средней величины те же, что и для относительных величин. Вычисления проводят по формуле
2 где n – требуемое число наблюдений t – критерий достоверности
δ – среднеквадратическое отклонение
Δ – предельная ошибка (доверительный интервал, заданная точность. Значение сигмы берут из литературных данных, либо проводят небольшое пробное исследование. Значение Δ исследователи определяют самостоятельно исходя из необходимой точности исследования. Например, необходимо рассчитать достаточное количество наблюдений для определения среднего уровня гемоглобина у беременных женщин. Из литературных данных известно, что δ равна 4,7 гл. t принимаем равным 2 (минимальный уровень достоверности. Предполагаем, что предельная ошибка Δ не должна выходить за пределы ±0,5 гл. Подставляем имеющиеся данные в формулу Таким образом, для определения достоверных данных о среднем уровне гемоглобина у беременных женщин с вероятностью 95,5% и заданной точности гл необходимо провести наблюдение за 353 женщинами.
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (
http://www.novapdf.com
)
76 Задания для проведения самостоятельной работы на практическом занятии Эталон выполнения Поданным изучения содержания в сыворотке крови свободного тироксина у 65 здоровых женщин был построен ряд распределения. Необходимо вычислить. Среднюю арифметическую величину (М) по способу моментов. Среднеквадратическое отклонение (δ) по способу моментов.
3. Среднюю ошибку средней арифметической (m
1
).
4. Определите, имеются ли существенные (!) различия в значениях среднего уровня тироксина у здоровых женщин и женщин с гипотиреозом, если известно, что средний уровень тироксина у женщин с гипотиреозом (М) равен 9.7 нмоль/л и средняя ошибка средней арифметической (m
2
) равна ± 0.4 нмоль/л.
5. Проведите анализ полученных данных и оформите вывод. Решение
V p средняя a ap a
2
p
6-8 2
7
-3
-6 18 9-11 7
10
-2
-14 28 12-14 13 13
-1
-13 13 15-17 19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11