(тогда взаимодействие получается наиболее эффективным), подобный дрейф нежелателен. Он будет мал, если на радиусе орбиты | р [ неодно родность поля мала, тогда и для неоднородного поля в первом приб лижении можно применять соотношения (8.13), а при п = 2, 3, ...
будут справедливы приближенные соотношения
F = Ft.n^n, |
FgaTx=Ft,n-\^n"1, |
(8.14) |
причем |
F^W^, |
(8.15) |
|
т. е. дрейфовый резонанс будет выражен слабее орбитального, а ор битальный будет тем слабее, чем больше п. Соотношения (8.14) ана логичны соотношениям (4.21) и (4.23).
Таким образом, данный прибор генерирует на гирочастоте и ее гармониках. В дальнейшем мы ограничимся простым орбитальным
резонансом (п =1) и будем пользоваться соотношениями (8.13). |
Тогда |
|||||||||
уравнения |
(8.07) |
примут вид |
|
|
|
|
|
|||
|
|
а |
= 0, |
p= |
i L Q s | p j » p + |
j l |
f + . |
(8.16) |
||
Если условие со = |
Q выполняется не точно, а приближенно, то вместо |
|||||||||
формулы (8.08) целесообразно исходить |
из выражения |
|
||||||||
|
|
|
F = F+e-tat |
+ F-e!at |
|
|
(8.17) |
|||
и считать |
в стационарном |
режиме |
|
|
|
|
|
|||
|
F+=A+e-K*-Q){, |
|
F- |
=А~ |
е г < ш - й " , |
(8.18) |
||||
где Л + и А~ от t не зависят, если электроны |
при своем продольном |
|||||||||
движении |
проходят |
через |
однородное |
сверхвысокочастотное |
поле. |
|||||
В противном случае |
надо |
считать |
Л + |
и |
А" медленно меняющимися |
|||||
функциями |
t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В теории магнетрона наибольший интерес представляло уравнение |
||||||||||
для а, т. е. дрейф ведущего центра. Здесь |
же наиболее важно |
урав |
||||||||
нение для р\ т. е. орбитальное движение, в котором учитывается реля тивистская поправка к угловой скорости. Если бы с самого начала мы считали орбитальное движение изохронным, т. е. применяли нере лятивистские уравнения движения, то получили бы вместо (8.16) уравнение
f U - i - F + , |
(8.19) |
из которого следует, что большинство электронов увеличивает свою кинетическую энергию в переменном поле, хотя существуют и такие, которые уменьшают ее (см. задачу 4). В прошлом этот результат являлся серьезным препятствием: преобладание ускоренных электро нов при циклотронном резонансе оставляло для построения электрон ных приборов только один путь — искусственное удаление ускоряемых электронов из пространства взаимодействия. Например, электроны с большими радиусами орбит должны были оседать на стенке резона тора или волновода; ясно, что при этом нельзя эффективно заполнить
179
пространство взаимодействия электронным пучком. Только учет неизохронности привел к открытию нового механизма фазировки и
новых возможностей |
в сверхвысокочастотной |
электронике. |
||
Как можно показать (см. задачу |
6), релятивистская |
поправка |
||
к частоте обращения |
в корне изменяет |
характер |
движения |
электрона |
в переменном поле, частота которого близка к циклотронной. Это видно уже из того, что релятивистская поправка делает уравнение движения нелинейным, вследствие чего нарушается принцип суперпо зиции и движение под действием переменного поля не просто склады вается с движением, обусловленным начальными условиями, а зависит от последних. Благодаря этому становится возможной фазировка и электроны могут отдавать свою кинетическую энергию электромагнит ному полю в резонаторе. Это можно показать разными путями, в ча стности, ниже будет выведено характеристическое уравнение, свиде тельствующее о наличии нарастающих колебаний, и приведены числен ные результаты, показывающие, какая часть начальной кинетической энергии электронов превращается в энергию сверхвысокочастотного поля.
В приложении IX тот же вопрос исследуется с более общей точки зрения; там показано, что совокупность нелинейных (или, что то же, неизохронных) осцилляторов, частота колебаний которых зависит от энергии, является в определенном интервале частот активной средой, способной поддерживать генерацию или усиление.
Отметим, что мы рассматривали движение электронов в однород ном переменном поле. Это значит, что в пределах данного электрон ного потока поле собственного колебания должно быть однородным, в частности, для кольцевого потока это колебание должно обладать аксиальной симметрией или иметь вид вращающейся волны (бегущей в азимутальном направлении). В противном случае возникают те же осложнения, что и в приборах типа О с толстым пучком: в нелинейном режиме пучок расслаивается (см. начало 7-й лекции), т. е. степень модуляции и положение сгустков относительно фазы поля в разных слоях разные в зависимости от напряженности сверхвысокочастотного поля, действующего на электроны данного слоя.
На практике расслоение в той или иной степени возникает, осо бенно в мощных приборах с плотными и широкими пучками, однако его учет сильно усложняет теорию; поэтому в дальнейшем мы рас слоения учитывать не будем.
б. УСРЕДНЕННОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ
При нестационарных колебаниях резонансное электриче ское поле в резонаторе согласно 2-й лекции можно записать в виде
E(0 = Re(C r E,e - <»') . |
(8.51) |
где комплексный коэффициент Ст есть медленно меняющаяся функция времени, удовлетворяющая уравнению (2.17). Для наших целей удоб
но вместо выражения (8.51) |
взять выражение |
|
E(0 |
= Re(Cr EI .e-'°0, |
(8.52) |
-заменяя со на циклотронную частоту Q, мало от нее отличающуюся; тогда вместо уравнения (2.16) получим уравнение
_ ^ |
+ i - ( Q _ C u r ) C r = J - |
{iEre^dV, |
(8.53) |
dt |
Nr |
J |
|
в правую часть которого входит плотность тока j (t). Продольная -составляющая плотности тока равна pve (р — плотность заряда), •если пренебречь модуляцией продольной скорости. Это законно, если колебание в резонаторе не имеет составляющей Ez, но даже если она есть, то ее нерезонансным воздействием на продольную скорость обычно можно прене бречь.
Вычислим правую часть (8.53), считая колебания стационарными (см. 2-ю лекцию). Образуем комплексные величины
|
|
|
IE г, У |
(8.54) |
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
j Er = Re (/£*) + pve Er, z |
= -~ |
(jE* + j*E) + |
|
|
||
|
-pveEr, |
|
|
(8.55) |
Рис. 8.4. Винтовой пу |
|
т*де Ег, |
г — продольная |
составляющая |
векто |
чок конечной |
толщины, |
|
создаваемый |
круговым |
|||||
ра Е г . |
Составляющие j |
x и |
j y обусловлены |
эмиттирующим |
пояском. |
|
поперечным движением |
электронов. |
|
|
|
||
В дальнейшем для простоты ограничимся рассмотрением электрон ного кольца в резонаторе (см. рис. 8.4). В этом случае невозмущенный пучок состоит из совокупности электронов, движущихся по круго вым орбитам с начальными углами ср0, равномерно распределенными ло окружности ( 0 < ер о < 2 я ) ; орбиты заполняют кольцевую область. Комплексные величины z и р, характеризующие движение электронов, зависят от времени t и начального угла ср0.
Наряду с усреднением по времени t в правой части (8.53) при интегрировании по электронному кольцу производится также усред
нение |
по углу |
ф 0 ; последнее будем обозначать |
волнистой чертой, так |
|
что, |
например, |
|
|
|
|
|
|
_1_ 2л |
(8.56) |
|
|
|
zdq>0. |
|
|
|
|
2л |
|
Поскольку мы считаем вектор Е г и комплексные величины Е и Е* |
||||
постоянными |
в пределах |
сечения пучка (из-за того, что величина | f> \ |
||
мала |
и пучок |
достаточно |
тонок, см. рис. 8.4), |
то при интегрировании |
по кольцу эти величины можно вынести |
за знак интеграла. Учитывая |
соотношение = pz и считая плотность |
электронного заряда р в пре |
делах пучка постоянной, приходим к выражениям
(8.57)
181
где
q =\pdV |
(8.58) |
есть полный заряд в пространстве взаимодействия, являющийся важной константой прибора. Таким образом, по формуле (8.55) получаем
\\ErdV = q Д 2- (е*Т+ ЕГ) + Ег, г ve) , |
(8.59) |
причем согласно второй формуле (8.06) мы имеем
Т = — іО]Ге- <°', F = /Q pV°<.
Будем также для простоты считать, что в продольном направлении поле Е г не изменяется, по крайней мере в пределах перемещения электронного кольца. Тогда, умножая обе части (8.59) на е ' й / и усред няя по t, получаем
j j l ^ o * dV = l- QqE* p\ |
(8.60) |
так как вектор E r от времени не зависит.Таким образом, при расчете возбуждения поля в резонаторе мы произвели усреднение по двум переменным: по t (за время 2nlQ\ величина р\ входящая в формулу (8.60), уже является усредненной) и по <р„. Если бы рассматривался непрерывный электронный поток, как в гиромонотроне, то прибави лась бы еще одна переменная (момент t0, в который данное сечение пучка входит в пространство взаимодействия).
Прежде чем выписать полную систему уравнений, надо учесть соотношения
Fx = -l-Ex = |
-±-Re(C,Er,xe-™), |
тт
|
Fy = — Ey = — Re (Cr Е„ у е - «"), |
|
|
( 8 - 6 1 > |
|||||
|
|
|
|
||||||
вытекающие из |
формулы |
(8.52). Комплексное ускорение |
F = Fх +• |
||||||
+ IF у получаем |
в виде (8.17), причем |
|
|
|
|
||||
|
|
f+ = |
_ L c r £ , F~= — C*E\ |
|
|
(8.62) |
|||
|
|
|
2т |
|
2 т |
|
|
|
|
так что уравнение |
(8.53) есть в сущности уравнение для |
F+ и |
может |
||||||
быть записано |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F+ + i(®r—Q)P |
= -^-Q«>2qf, |
|
|
(8.63) |
|||
где учтено соотношение |
(8.61) и |
введено |
сокращенное |
обозначение |
|||||
|
ш , = _ * ! £ ] • . = |
4 « * , |
у |
|
|
|
( 8 > 6 4 ) |
||
|
q |
mNT |
mVr |
r |
I £ I2 |
|
|
|
|
причем мы использовали |
для Nr выражение (2.54). В формуле |
(8.64) |
|||||||
| Е \% = | Ег, х |2 |
+ |
| Ег> у\2 |
— квадрат поля, |
действующего |
на |
элект- |
|||
182