Поэтому средняя кинетическая энергия орбитального движения может только возрастать.
5. Исходя из решений задач 2 и 3, можно было бы искать z в виде
: = а + р е ~ ' й ° ' , Q 0 |
= Q ^1 |
Й 2 |
1 р |
0 | |
|
2c* |
|
||
|
|
|
|
беря вместо й начальную угловую скорость Q„, соответствующую невозмущен ному движению по орбите радиуса г„ = | Р 0 | . Вывести усредненные уравнения движения.
Р е ш е н и е . Усредненные уравнения имеют вид
« = |
Р = ^ 2 - £ 2 3 К 1 Р 1 2 - | Р о | 2 ) р + ^ F + e ' ' ( a - Q « " , |
где F+ имеет тот же смысл, что и в лекции. Однако если в выражении для z вы
делять |
множитель |
е — ' а о ' , |
то в выражении для F естественно] выделять тот же |
множитель; тогда |
вместо |
F + e ' * f l ~ в усредненном уравнении будет фигури |
|
ровать |
F+. |
|
|
6. |
Проинтегрировать |
усредненное уравнение орбитального движения |
|
|
|
Ь = - |
~ Q« I Р I 2 Р + - ^ А+ e - ' < f f l - 0 ) ' , |
считая постоянную А+ вещественной и положительной и полагая
Р= г е « ' [ф — ( ш — й ) < ] .
Вполученной системе вещественных уравнений найти точки покоя. Показать!
что эта система имеет «дрейфовую» форму (см. 3-ю лекцию), поэтому траектории на плоскости с полярными координатами г, <р могут быть построены как эквипотенциали. Дать качественный анализ траекторий без учета релятивистской по
правки и с учетом ее, произвести |
сравнение. Считать разность со — й достаточ |
|||||||||
но малой, a Йг < |
с. Проследить за движением частицы, у которой в начальный |
|||||||||
момент г — 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Мы получаем систему двух |
уравнений первого порядка |
||||||||
|
|
А+ |
. |
|
|
й 3 |
Л+ |
совф, |
(а) |
|
|
/• = - ^ - sincp , |
r(ep + Q — со) = |
— |
г3 + —£р |
||||||
которая при со = Я имеет точку покоя |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 . / |
2с |
2 Л+ |
|
|
|
|
|
Ф = я . г = г + ^ у |
|
— , |
|
|
|
|||
а при со Ф й азимут точки покоя тот же, а радиус-вектор гл |
есть корень |
кубиче |
||||||||
ского уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г$, = 3уг%г,4-г\, |
v = 2с2 |
(Й—со) |
2 ( й — со) / |
с_\2 |
|
||||
|
|
|
|
3Q3r% |
= |
Зй |
[ |
йг+ ) |
|
|
причем |
величина у введена |
так, что при | ? | < |
1 радиус-вектор точки покоя ра |
|||||||
вен /•„. = |
г+ (1 -f- У)- Величина г + |
должна удовлетворять условию |
|
|||||||
|
|
|
с |
~ X |
йс |
« 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
С |
Y |
Ь<!С |
|
|
|
|
|
Исследование уравнений |
(а) облегчается |
тем обстоятельством, что их мож |
|||||
но записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dU |
• |
1 dU |
|
||
|
Qr |
дер |
ф |
|
Qr |
дг ' |
( 6 ) |
где |
|
|
Я4 |
„ |
Я (со — Я) |
|
|
|
|
|
|
||||
: = Л + г с о з ф ^ — г--*Ч-— |
|
V |
|||||
или |
|
Y |
8с2 |
^ |
2 |
|
|
|
|
г |
|
|
г2 |
|
|
^ = А+ |
A cos |
4 |
|
|
|||
—— — Зу |
|
||||||
|
|
|
4r% |
|
2/-J. |
|
|
В плоскости х, у, где |
|
|
|
|
|
|
|
Х = Л С О З ф , |
1/ = Г 8 І П ф , |
|
|||||
мы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{Xі + У2? |
|
„ *2 + </2 |
|
||
|
|
4г% |
|
' |
2г+ |
|
|
Линии 11= const определяют траектории, по которым движутся точки согласно уравнениям (6); с этим обстоятельством мы встретились в теории магнетрона. Расположение траекторий определяется точками покоя. В данном случае имеется лишь одна точка покоя:
*=—/•*, |
У = 0, |
соответствующая равновесному движению частицы по окружности постоянного радиуса /•„. Вблизи нее
^ = ^ * + ^ [ 3 ( 1 - Y ) ( x ^ r J 2 + ( l - 3 Y ) У2],
так что при у < V3 траектории вблизи точки покоя являются подобными эллип сами с центром в этой точке. Траектории вдали от точки покоя качественно та кие же — это овалы, охватывающие точку покоя, один из которых проходит через начало координат г = 0. Таким образом, частица, попавшая в переменное поле, сначала ускоряется — соответствующая ей точка в плоскости х, у движется по овалу от начала координат. Максимальная энергия частицы достигается при пе ресечении траекторией отрицательной оси х, затем энергия уменьшается и ча стица возвращается к точке г = 0, после чего процесс ускорения и замедления повторяется.
Без учета релятивистской поправки линии И = const суть окружности
2г+ (х—х0)2 + у2 = const, х0\= —— .
Зу
При 7 = 0 , т. е. при'со = Я, эти окружности вырождаются в систему параллель ных прямых
х = const,
движение по которым означает неограниченное ускорение частицы (см. задачу 4). С учетом релятивистской поправки случай со ф Я ничем не отличается от случая со = Я по крайней мере до тех пор, пока параметр у невелик.
7. Исследуя движение'в однородном переменном поле, когда согласно фор
мулам (8.17) и (8.18) |
|
F = А+<ГШ4>А- |
е / о о ( , |
решение уравнения (8.05) можно также искать в виде |
|
г = а + ?>е~ш, |
г = - і © Р е - " - ' . |
7 Зак. 1123 |
1 |
9 |
3 |
|
Вывести усредненные уравнения для а и В, считая Л+ и А~~ постоянными, и срав нить с уравнениями (а) предыдущей задачи.
Р е ш е н и е . Точные уравнения для ос и В имеют вид
|
соl 2 |
\ |
|
|
|
|
|
• ' |
2 |
P ^ - J - F e ' S i , |
i = - P e - ' f f l ' , |
||
-а |
і |
|
||||
|
ой |
|
|
|||
а усредненные |
2с2 |
|
|
|
|
|
|
Qco2 |
\ |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||
P = i |
( m _ Q + — _ l |
P | » j p + |
_ Л + ) |
а = |
0 . |
|
Если положить Р = |
ге' ф , то получатся уравнения |
(а), |
в которых вместо Q 3 |
|||
Л+ |
Л+ |
|
|
|
|
|
стоит Qco2, а вместо |
стоит |
— ; поскольку |
со т Q, уравнения практически эк |
|||
вивалентны.
8. В лекции было выведено характеристическое уравнение (8.77). Пока зать, что без учета релятивистской поправки получается характеристическое урав
нение, из которого |
следует (при |" < |
2) вывод об устойчивости |
системы. |
|
Р е ш е н и е . |
Без релятивистской |
поправки надо считать |
р. = 0 и £i = | , |
|
тогда характеристическое уравнение принимает вид |
|
|||
|
•Л2 (Ц |
Ю |
т] = 0. |
|
Оно имеет корень т)з = 0, другие два корня получаются из квадратного урав |
||||
нения |
|
|
|
|
|
ч ( ч - І ) - 1 = 0 , |
1=1' |
|
|
и, следовательно, определяются формулой |
|
|||
Ъ±УУ + 4 |
l,Jr і І " ± У і , 2 |
+ 4 - Г ' 2 + 2 і | 7 Т Г |
||
Г І Ь 2 - |
2 |
|
|
2 |
Если обозначить подкоренное выражение через а + г'6, то |
||||
\mVa |
+ ib=VR, |
R=— |
^ |
, а > 0 . |
Умножая Я на величину |
|
|
|
|
|
S = V a 2 + 6 2 |
+ g > а, |
||
получим соотношение |
|
|
|
|
|
Ь2 |
Ь2 |
б 2 |
|
|
4 ' |
4S |
4а ' |
2 У а |
или в развернутом виде |
|
|
|
|
|
' |
У і £ ' 2 + 4 - | " 2 І ' |
||
откуда видно, что |
|
|
|
|
|
У # < £ " и r)'i f 2 > 0 |
при |
0 < | " < 2 |
|
инарастающих колебаний нет.
9.Преобразовать (при І < 0) характеристическое уравнение (8.77) к ку
бическому |
уравнению, которое было исследовано в линейной теории лампы |
с бегущей |
волной. |
194
Р е ш е н и е . Легко видеть, что в силу формулы (8.72) уравнение (8.77) можно переписать в виде
(Л—Єї) (Л2 — 1) = g-
При і < 0 можно ввести величины т), І и о по формулам
1 = Ш І 1 / 3 , ? і = Ш І / 3 . 5 = Ц Г 1 / 3
и прийти к кубическому уравнению
формально совпадающему с уравнением (6.75) при Л = 0. Поэтому уравнение (8.77) может иметь комплексные корни, в том числе корень, который дает нара стающее колебание.
10. В лекции было получено кубическое уравнение (8.77), определяющее частоты малых колебаний электронного кольца в резонаторе. Исследовать это
уравнение при вещественных значениях ^ |
— вывести |
условие существования |
||||
комплексных корней |
г], при наличии |
которых малые колебания нарастают во |
||||
времени, т. е. система неустойчива и способна к самовозбуждению. |
|
|||||
Выяснить, какой вид приобретает уравнение (8.77), если временную зави |
||||||
симость брать в виде |
е' ш ' (а не е - " 0 ' , |
как в лекциях), |
и написать соотношение |
|||
между корнями этих |
уравнений. |
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Подстановка т] = |
х-\- - у - ix, приводит |
к кубическому урав |
|||
нению стандартного |
вида |
|
|
|
|
|
|
х 3 фрл: + <7 = 0, |
|
|
|
||
При вещественном \ х коэффициенты |
р и q вещественны, |
поэтому один |
корень |
|||
х — вещественный, другие два — комплексные сопряженные, если |
|
|||||
|
р |
|
1 Г > Н |
|
|
|
|
3 ,з >[0 или |
|
|
|||
В данном случае р — |
— \р\, поэтому условие комплексности разбивается |
на два |
||||
условия |
|
|
|
|
|
|
|
( \Р\ \ 3 ' 2 |
|
I \Р\ |
\ 3 / 2 |
|
|
Первое условие может выполняться лишь при отрицательных (Л, что нере •ально: параметр несинхронности р., определенный второй формулой (8.66), мо жет быть только положительным. Второе условие дает
|
2 |
- Ц | ! + у ) * ( Е ! + 3 ) 3 / 2 |
|
|
|
|
|
Функция, стоящая в правой части этого неравенства, |
при вещественных І 1 |
||
положительна, поэтому при jx = 0 исходное кубическое |
уравнение комплекс |
||
ных |
корней не имеет и нарастающие колебания невозможны. Впрочем, при |
||
р. = |
0 характеристическое уравнение было исследовано в задаче 8, где показано, |
||
что нарастающие колебания отсутствуют также при наличии малой |
положитель |
||
ной мнимой части £. Если и при р. > |
0 и |" = |
0 мы получаем корень с конечным |
|
значением 1тт], то малое значение |
£" может |
изменить 1тг) лишь |
на величину |
порядка £" (см. задачу 11 к 6-й лекции), т. е. несущественно. |
|
||
7* |
|
|
195 |
В наших лекциях, как видно из формул (8.51) и (8.52), мы пользовались временной зависимостью e~tat. Наличие решения, пропорционального е! Т ) ^, означает, что колебания происходят с комплексной частотой
CO = Q [ 1 - 8 ( T ) + [ X)] = Q 0 ( 1 - 8 T ) ) ,
в то время как колебания пустого резонатора согласно формуле (8.65) происходят с комплексной частотой
<o = Q ( l - e | ) = Q 0 ( l - e g 1 ) . 5і = Е - Ц . где Q0 есть (см. задачу 5) гирочастота невозмущенного пучка.
При замене временнс'й зависимости e~iwt |
на е' ш ' необходимо произвести |
формальную замену со, cos, rj, £ и т. д. на —со*, |
—со*, —т)*, — | * и т. д. Обозна |
чая s = — г)*, можно уравнение (8.77) переписать в виде s 2 ( s - | 2 ) - s + f x = 0, &.= - £ ? •
11. Вывести закон сохранения энергии из уравнений (8.68), составляя урав нение для | g |2 . Выяснить энергетический смысл величины (8.78) при веществен ном і , т. е. при отсутствии потерь в резонаторе.
Р е ш е н и е . Из второго уравнения (8.68) легко получить тождества
де |
де* |
d . |
~ |
^ |
g'rzr+g~=fg'+rg, — \g\2=tg*+f*g-
Пользуясь первым уравнением (8.68), получаем соотношение
выражающее закон сохранения и превращения энергии: левая часть определяет скорость уменьшения кинетической энергии орбитального движения электронов во всем пространстве взаимодействия, правая часть показывает, что эта энергия идет на увеличение энергии поля ( первое слагаемое) и на восполнение потерь в резонаторе (второе слагаемое). Если £" = 0, то из начальных условий (8.69) получаем
1 - | 1 Т 2 = | / 1 2 - | / о | 2 ,
т. е. величина (8.78) дает приращение безразмерной энергии колебания в резо наторе. Поскольку \g\ есть отношение орбитальной скорости электронов к на чальной, величина (8.78) есть отношение убыли кинетической энергии электро нов к их начальной энергии, т. е. электронный к. п. д.
|
|
С П И С ОК ЛИТЕРАТУРЫ |
К 8-й ЛЕКЦИИ |
|
|
|
|
|
|||||
1. |
В. И. |
К о т о в , |
А. |
Б. |
К у з н е ц о в , |
Н. |
Б. |
Р у б и н . |
Физические ос |
||||
|
новы современных резонансных ускорителей. «Успехи физических наук», |
||||||||||||
|
1958, т. 64, № 2, стр. 197—272. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. А. В. |
Г а п о н о в, |
М. И. |
П е т е л и н , |
В. |
К. |
Ю л п а т о в . |
Инду |
||||||
|
цированное излучение |
возбужденных |
классических |
осцилляторов |
и его |
||||||||
|
использование в высокочастотной электронике. «Известия вузов», сер. Радио |
||||||||||||
|
физика, |
1967, т. 10, № 9—10, стр. 1414—1453. |
|
|
|
|
|
||||||
3. А. В. Г а п о н о в, А. Л. Г о л ь д е н б е р г, Д . П. |
Г р и |
||||||||||||
|
г о р ь е в , |
И. М. О р л о в а , |
Т. |
Б. |
П а н к р а т о в а , |
||||||||
|
М. И. П е т е л и н. |
Индуцированное |
синхронное |
излучение электронов |
|||||||||
|
в полых резонаторах. «Письма в ЖЭТФ», |
1965, т. 2, № 9, стр. 430—435. |
|||||||||||
4. |
В. К- Ю л п а т о в. |
Нелинейная |
теория взаимодействия |
непрямолиней |
|||||||||
|
ного периодического электронного |
пучка |
с электромагнитным полем. |
Ч. I . |
|||||||||
|
Вывод |
основных уравнений. |
«Вопросы |
радиоэлектроники», |
сер. 1, |
Элек |
|||||||
|
троника, 1965, № 12, стр. 15—23. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||