Статья: Вычислить первообразную сложной функции
Теоретическая часть
Понятие первообразной функции актуально в механике. Проблема нахождения функции по некоторой определённой производной этой же функции является задачей первообразной. Поэтому будем считать, что задачи по нахождению производных функций уже известны. Обычно понятие первообразной разбирают в рамках вопроса нахождения определённого интеграла.
Первообразная функция $F(x)$ или просто первообразная является таковой, если в любой точке $x$ из некоторого замкнутого интервала $X=(a,b)$ на числовом множестве (или на бесконечной прямой) $F(x)$ дифференцируема и $F'(x)=f(x)$.
Если известны основные элементарные производные, то задача нахождения первообразной разрешима.
Если $C$ - любая постоянная величина (константа), то $F(x)+C$ - тоже первообразная для $f(x)$. Это означает, что у функции имеется бесконечное множество первообразных, которые отличны друг от друга на постоянную величину, потому что производная от $C$ равна нулю. Графически первообразные одной функции будут представлять собой одинаковую кривую с параллельным сдвигом относительно друг друга в направлении оси ординат.
Две любые первообразные одной функции могут отличаться только на постоянное слагаемое. То есть $F_1(x)-F_2(x)=C$.
Неопределённый интеграл от какой-либо функции представляет общий вид (выражение) всех её первообразных. Заметим, что первообразная и неопределённый интеграл существуют только для непрерывных функций на заданном промежутке.
Найти общее выражение первообразных представляется возможным, если решить неопределённый интеграл от заданной функции.
Практическая часть
Для интегрирования сложных функций существует специальный способ - способ замены переменных.
Рассмотрим примеры. Будем пользоваться таблицей неопределённых интегралов.
Рисунок 1. Таблица неопределённых интегралов.
Имеется функция
Рисунок 2. Пример.
Введём замену. Пусть $t=ax$. Тогда:
Рисунок 3. Пример.
Дана функция
Рисунок 4. Пример.
Произведём замену $t=x^2+a^2$. Тогда
Рисунок 5. Пример.
Имеется
Рисунок 6. Пример.
Сделаем замену $t=\sin x$.
Рисунок 7. Пример.
Рисунок 8. Пример.
Замена $t=x^2$.
Рисунок 9. Пример.