Решение задач: Задача 1 Для ступенчатого стального стержня находящегося под воздействием заданных внешних сил

Задача 1Для ступенчатого стального стержня находящегося под воздействием заданных внешних сил 1. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине стержня. 2. Определить перемещение свободного конца стержня и сечения m-n, приняв Е= 2⋅10⁵ МПа. 3. Определить запас прочности стержня, приняв σ_Т =240 МПа. Примечание: если запас прочности стержня получится меньше единицы, то необходимо подобрать новую площадь поперечного сечения при [σ]=160 МПа.

Р1 (кН)	Р2 (кН)	F (см2)	a(м)	b(м)	c(м)	d (м)
20	65	12	4,8	8	2,6	6

Решение:1. Построение эпюры продольных силОпределяем продольные силы на каждом участке, используя метод сечений. Мысленно разбиваем стержень на участки. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, и место изменения размеров поперечного сечения и т.д. Таким образом, заданный стержень имеет три участка. Чтобы не определять в заданной схеме опорную реакцию – реакцию заделки, расчет будем вести от свободного края к заделке. Величина продольной силы у заделки даст величину и направление реакции. Характерные сечения разбивают стержень на три участка. В нашем случае, применяя метод сечений, будем оставлять нижнюю и отбрасывать верхнюю отсеченную часть стержня.При построении эпюры (графика) распределения продольных сил N проводим ось ординат графика параллельно оси стержня, откладываем в произвольно выбранном масштабе значения продольных сил по оси абсцисс. На основании метода сечений продольная сила в любом сечении стержня численно равна алгебраической сумме проекций сил (активных и реактивных) на

продольную ось стержня, действующих на оставленную часть.

При суммировании силы, направленные от сечения и вызывающие деформацию растяжения, берутся со знаком плюс, а направленные к сечению (сжатие) – со знаком минус.

Суммируя внешние силы со стороны свободного конца стержня, определим продольные силы на каждом участке:

Проведем произвольное сечение 1 – 1 на 1-м участке, отбрасываем верхнюю часть до сечения, изображаем продольную силу в сечении (вдоль оси стержня) и составляем уравнение равновесия оставленной части:



Для построения эпюры нормальных напряжений воспользуемся формулой:



где N – продольная сила на участке, Н;

А – площадь поперечного сечения на участке, м².

Тогда для первого участка:



На втором участке, уравнение статики для данной системы сил имеет вид:



На втором участке также происходит деформация растяжения.

Определяем нормальные напряжения, возникающие в стержне на втором участке:



На третьем участке, уравнение статики для системы сил будет иметь вид:



На третьем участке тоже происходит деформация растяжения.

Нормальные напряжения, возникающие в стержне на третьем участке:



Строим эпюры продольных сил и нормальных напряжений всех участков бруса. Так как в пределах одного или нескольких смежных участков продольная сила не меняется, то эпюра ограничена прямыми, параллельными оси ординат.

Штриховка эпюр должна быть перпендикулярна оси стержня. Каждая линия штриховки (абсцисса графика) в соответствующем масштабе выражает величину продольной силы в лежащем против нее поперечном сечении стержня.

Для определения перемещения свободного конца стержня и сечения m - n воспользуемся законом Гука:



где Δl – абсолютное удлинение или укорочение (изменение длины) участка стержня, м;

N – продольная сила на участке, Н;l – длина участка стержня, м;E – модуль продольной упругости, Н/м²;F – площадь поперечного сечения участка, м²;EF – жесткость сечения бруса при растяжении (сжатии).Перемещение свободного конца бруса равно удлинению всего стержня:Перемещение сечения m – n равно удлинению участка длиной [a + (b − d)]:Коэффициентом запаса прочности называют отношение предельного напряжения к наибольшему расчетному напряжению:Для нашего стержня σ_пред = σ_Т = 240 МПа, σ_max = σ₃ = 70,8 МПа,Коэффициент запаса прочности больше единицы, поэтому подбирать новую площадь поперечного сечения не требуется.Задача 2Для заданного стального стержня без учёта собственного веса 1. Раскрыть статическую неопределимость, построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине стержня. 2. Определить и показать на наиболее напряжённом участке нормальное и касательное напряжения в наклонном сечении (Р = 100 кН, F = 15 см² , а = 1 м, α =15).Проверить прочность конструкции, если [σ ]=160 МПа.Примечание: при вычерчивании расчетной схемы утолщенные и утоненные участки стержня показывать в соответствии со значениями F₁ и F₂.Н а рисунке надо полагать ошибка в указаниях сечений бруса

Pi		Fi
P1	P2	F1	F2
P	2P	F	2F

Решение:Статика дает лишь одно уравнение равновесия, так как система сил, направлена по одной прямой.

Для составления уравнения перемещений отбросим нижнюю заделку, и заменим ее действие на стержень соответствующей силой реакции R_А. В результате получим стержень, защемленный одним концом (статически определимый стержень) и нагруженный, заданными силами Р₁ и Р₂, и неизвестной силой Y = R_А.Перемещение сечения А данного стержня равно нулю, так как фактически (в заданном стержне) это сечение жестко заделано:где _А – суммарное перемещение сечения А, от действия всех сил: P₁, P₂, и Y. Применив принцип независимости действия сил, определяем перемещение сечения А от каждой силы в отдельности, предполагая, что действует она одна, и соответствующая ей реакция опоры А, а остальные силы в это время отсутствуют. Тогда перемещение от совместного действия всех сил равно алгебраической сумме перемещений от действия каждой силы в отдельности: Удлинение участка ВС в результате действия силы Р₁:Сумма удлинений участков ВС и CD в результате действия силы Р₂:Cуммa укорочений участков AD, DC и CB в результате действия силы Y:Тогда:Откуда Таким образом, получаем:Определим продольные силы на участках стержня, начиная с нижнегоНапряжения равны продольной силе, деленной на площадь

Строим эпюры по найденным значениям.Полное напряжение, возникающее в некоторой наклонной площадке, составляющей угол α с плоскостью нормального сечения, определяется следующим образом: р = σ⋅соsα .Раскладываем это напряжение по нормали и касательной к наклонной площадке, находим:где σ_α и τ_α – нормальное и касательное напряжения в наклонном сечении.Наибольшие напряжения возникают на участке AD, где происходит деформация сжатия:Определим на этом участке нормальное и касательное напряжения в наклонном сечении при α = 15:Условие прочности имеет вид:где σ_max и N – соответственно нормальное напряжение и продольная сила в опасном поперечном сечении (то есть сечении, в котором возникают наибольшие напряжения);F – площадь поперечного сечения;[σ ] – допускаемое напряжение: [σ ]= 160 МПа ;Следовательно, условие прочности выполняется и конструкция работоспособна.Задача 3Для заданной стержневой системы 1. Раскрыть статическую неопределимость 2. Из условия прочности подобрать диаметр стальных стержней, удерживающих в равновесии абсолютно жёсткий брус К, если σ_пред = σ_Т, считая, что площадь F стержней одинакова (Р = 10 кН, а = 1 м). Запас прочности n = 2,5.

P	Материал стержня, сталь марки	Предел текучести т, МПа
2P	20	250