Материал: 5540

Задача 3.2. Проанализируйте рассуждения, приведённые ниже. Какие из этих рассуждений имеют правильную форму? В каких из них истинны посылки? В каких из них истинны заключения? Можно ли из ложных посылок путём правильных рассуждений получить истинное заключение?

1.Все писатели – деятели искусства. Некоторые деятели искусства – талантливые люди. Значит, некоторые писатели талантливы.

2.Все люди смертны. Все люди – живые существа. Значит, все живые существа смертны.

3.Все кошки являются рыбами, у всех рыб – четыре ноги. Значит, у кошки четыре ноги.

4.Некоторые позвоночные являются млекопитающими, и некоторые позвоночные являются лягушками. 3начит, некоторые лягушки – позвоночные.

Однако использование диаграмм Эйлера – Венна затруднительно в сложных случаях. Чтобы облегчить проверку и преобразование сложных цепочек рассуждений, было создано особое буквенное исчисление. Оно получило название алгебры логики или математической логики. Основы математической логики были заложены в XVII веке великим немецким математиком Г. Лейбницем (1646 – 1716 гг.). В середине ХIХ века ирландский математик и логик Джордж Буль (1815 – 1864 гг.) своими трудами положил начало формированию математической (символической) логики как научной дисциплины. Современная символическая логика для анализа дедуктивных рассуждений строит особые логические системы; одна из них называется логикой высказываний, другая – логикой предикатов. Рассмотрим принципы построения логики высказываний. Логика высказываний – это логическая система, которая анализирует процессы рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений.

3.2 Высказывания

В логике высказыванием называют любое утверждение, относительно которого имеет смысл говорить, что оно либо истинно, либо ложно.

46

Высказывания могут быть выражены с помощью слов, а также математических, химических и прочих знаков. Например:

–«Все люди смертны» (истинное высказывание);

–«2 + 6 > 8» (ложное высказывание).

Не каждый набор слов и даже не каждое утверждение являются высказыванием. Например, восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются. Не являются высказываниями пословицы и поговорки, а также определения. Определения не могут быть истинными или ложными, они лишь фиксируют принятое использование терминов. Не являются высказываниями и предложения «Он сероглаз» или «х2 – 4х + 3 = 0» – в них не указано, о каком человеке идёт речь или для какого числа х верно равенство х2 – 4х + 3 = 0.

Утверждения должны быть чёткими и однозначно понимаемыми. Эта цель достигается использованием высказываний и логических связок, позволяющих из существующих высказываний формировать другие высказывания. Существует пять логических связок: частица не и союзы

…и…; …или…; если…, то…; … тогда и только тогда, когда… .

Высказывания, сформированные без использования логических связок, называются элементарными (простыми) высказываниями.

Высказывания, сформированные с использованием логических связок, называются сложными (составными) высказываниями.

Высказывания обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, D, … или строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, d, … .

Каждая логическая связка имеет для обозначения свой собственный символ и производит логическую операцию над высказываниями: отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквиваленцию. Естественно, они определяются на основе введённых ранее соответствующих булевых функций с учётом чисто логической специфики.

1. A (читается не A) обозначает высказывание, противоположное высказыванию A и называется отрицанием высказывания A. Данное высказывание истинно, когда A ложно и ложно, когда A истинно.

47

Вопрос: как выглядит отрицание высказывания «число 6 делится на 2»?

2. A B (читается A и B) обозначает высказывание, истинное только тогда, когда A и B оба истинны и называется конъюнкцией высказываний A и B.

Например, пусть А – высказывание «Число 5 больше 2», и В – высказывание «Число 5 меньше 10». Каждое из них истинно.

ложны, и называется эквиваленцией высказываний A и B.

Например, пусть А – высказывание «Число 28 делится на 2», и В – высказывание «Число 28 чётное». Тогда А ↔ В есть высказывание «Число 28 делится на 2 тогда и только тогда, когда, оно чётное». Это высказывание истинное.

В обыденной речи союз «или» имеет два различных значения – разделительное и неразделительное. Например, если сказать: «Завтра в 12 часов дня я буду в клубе или на катке», то не может быть, чтобы оба обещания оказались выполнены: человек не может быть одновременно в двух местах. Здесь союз «или» разделительный. Но если сказать: «Я буду в клубе завтра в 12 часов дня или в 6 часов вечера», то отнюдь не исключено, что сбудется и то, и другое – человек может посетить клуб дважды в один и тот же день. Здесь тоже союз понимается в

48

неразделительном смысле. Чтобы устранить эту неопределённость, условились в логике использовать лишь неразделительное «или».

Логический союз «и» не обязательно должен представляться через грамматический союз «и». Союзы «а» и «но» по смыслу часто совпадают с союзом «и», поэтому они используются в сложных конъюнктивных предложениях.

Однако языковая ситуация может стать такой, что союз «и» перестаёт играть роль конъюнкции:

«Ему стало страшно и он убил человека», «Он убил человека и ему стало страшно».

Здесь некоммутативность двух простых предложений очевидна, поскольку мы имеем дело со скрытой импликацией, когда одно простое предложение обусловливает другое.

Наглядное представление о сочетаниях истинности или ложности первоначальных высказываний и высказываний, полученных из них в результате проведения логических операций, позволяют получить таблицы истинности. В них в строках даются все возможные сочетания значений истинности первоначальных высказываний, и для каждого из этих сочетаний даётся значение истинности для высказывания, полученного в результате логических операций над первоначальными высказываниями. Истинность высказывания обозначается цифрой 1 (или буквой И), ложность – цифрой 0 (или буквой Л).

В случае если высказывание образовано логическими операциями из

n первоначальных высказываний, таблица истинности будет иметь 2 n строк.

Приведём сводную таблицу истинности для рассмотрения логических операций (таблица 3.1). Поскольку отрицание содержит одно первоначальное высказывание А, то его таблица истинности содержит

21 2 строки (в сводной таблице в лишних строках прочерки). Остальные операции содержат два первоначальных высказывания A и B,

следовательно, их таблицы истинности содержат 22 4 строки.

49

Таблица 3.1 – Сводная таблица истинности

Указание: несмотря на то что всем логическим связкам соответствуют слова русского языка, логический смысл истинности логических операций отличается от смыслового значения этих слов в русском языке. Нахождение значения истинности каждой логической операции возможно только согласно её определению и соответствующей таблице истинности по значениям истинности первоначальных высказываний, входящих в эту логическую операцию.

Например, дано высказывание: если 9 чётное число, то 2 делитель 9. A B ; A = 0 (ложно) B = 0 (ложно). По определению импликации

A B = 1 (истинно).

Пример показывает, как ошибочные (ложные) предпосылки при правильно проведённых логических рассуждениях приводят к ошибочным (ложным) выводам.

В общем случае элементарные высказывания, входящие в логическую операцию, могут не иметь между собой смысловой связи с точки зрения грамматики. Полученное сложное высказывание также не будет иметь грамматического смысла. Нас интересует исключительно логический смысл полученного сложного высказывания.

С точки зрения математической логики каждое ложное высказывание отождествляется не с ошибочным отождествлением действительности, а с пустым множеством. Соответственно, каждое истинное высказывание отождествляется с непустым множеством элементов, чья физическая природа не принимается во внимание.

Например, дано высказывание: Если погода жаркая, то уголь белый.

50