Материал: 5540

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

В) (В

19.

(В

( А

((С

А)

(С

А)))).

20.

((А

В )

( А

С))

(С

А).

21.

((С

А)

( А

В))

(С

В ).

22.

(В

А))

( А

(С С )).

23.

((А

С)

(В

С ))

А.

24.

((В

С)

( А

В))

С .

25.

( А

((А

В )

С)

С ).

26.

((С

(С

А))

( А

В ))

В.

27.

( А

В )

((С

В)

(В

С)).

28.

((А

С)

( А В))

((В

С )

А).

Формула алгебры высказываний А, принимающая значение «истина» при любых возможных истинностных значениях, приписываемых её простым компонентам, называется тождественно истинной или законом логики, или тавтологией, или общезначимой. |=А читается: А тавтология

(общезначима). Например (А С) (А С) .

Формула алгебры высказываний, принимающая значение «ложь» при любых возможных истинностных значениях, приписываемых её простым компонентам, называется тождественно ложной или противоречием. Например А А .

Формула алгебры высказываний принимающая значение «истина» хотя бы при некоторых возможных истинностных значениях, приписываемых её простым компонентам, называется выполнимой.

Установить, является ли формула общезначимой, противоречивой или же выполнимой, но не общезначимой, можно, рассмотрев её таблицу истинности.

Пример 3.5. Является ли тавтологией формула алгебры высказываний

АВ В А ?

Решение. Формула алгебры высказываний является тавтологией, если её значения являются всегда истинными при всевозможных значениях истинности исходных простых высказываний, то есть в

последнем столбце таблицы истинности данной формулы должны стоять только единицы.

Составим таблицу истинности данной формулы.

А		В						А В
А		В			А	В		А В	В А		А В В А

1		1		0		0		1	1		1
1		0		0		1		0	0		1
0		1		1		0		1	1		1
0		0		1		1		1	1		1

	Задача		3.9. Является				ли тавтологией			формула алгебры

высказываний?

(В

А).

2. (А В) С А (В С).

3. (А В)

((А (В С))

(А С)).

4. (А В) С А (В С).

(В

(А В)).

(А

В)

А.

7. (А В)

((А В) (В А)).

8. (А (В С))

((А В) (А С)).

( А

В)

А.

10.

((А

В)

( А

В ))

А.

11.

(А

(В

С))

((А

В)

(А С)).

12.

( А

В)

((А

В )

А).

13.

(А

(В

С))

((А

В)

(А С)).

14.

( А

В)

( А

В ).

15.

(А

В)

(В

А).

16. ( (А В)

(В

С))

(А

С).

17.

(А

В)

((В

С)

(С

В)).

18.

(А

В)

(А В).

19.

(А

С)

((А

В)

(С

В)).

20.

(А

В)

(А

В).

21.
21.	( А	В)	( А		В).
22.	(А	(В	С))		((А	В)	(А С)).
23.
23.	( А	В)		( А	В).
24.	(А	В)		(А	В).
25.	(А	(В	С))		(В	(А	С)).
26.	(А	В)	(В		А).
27.
27.	( А	В)	( А		В).
28.	((А	В)		А)	А.

3.4 Эквивалентные преобразования

Две формулы алгебры логики называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одинаковые значения истинности при одинаковых истинностных значениях, приписываемых их простым компонентам. Эквивалентность обозначается знаком .

Алгебра логики обладает законами, называемыми основными эквивалентностями, позволяющими упрощать формулы алгебры логики и приводить их к виду, удобному для решения поставленных задач.

Основные эквивалентности:

1.А А (правило снятия двойного отрицания);

(А

В)

(В

А) ;

(А В) (С В) (А С В) ;

(А В) (А С) (А В С) ;

А ;

А (идемпотентность конъюнкции);

А (идемпотентность дизъюнкции);

А (переместительный закон (коммутативность) конъюнкции);

А (переместительный закон (коммутативность) дизъюнкции);

10. (А

В)

(В

С) (сочетательный

закон

(ассоциативность)

конъюнкции);

11. (А

В)

А (В

С) (сочетательный закон (ассоциативность) дизъюнкции);

12.

(В

С)

(А

В)

(А С) (распределительный закон

(дистрибутивность) конъюнкции относительно дизъюнкции); 13. А (В С) (А В) (А С) (распределительный закон (дистрибутивность) дизъюнкции относительно конъюнкции);

14. ( А В) ( А

А и А

А (правила склеивания);

В )

15.

(закон де Моргана);

и А

16.

(А

В)

А и А

(А

В)

А (правила поглощения);

17.

В и А

В ;

( А

В)

( А

В)

18.А А 0 (закон противоречия);

19.А А 1 (закон исключенного третьего);

Правила операций с константами:

20.А 1 А ;

21.А 1 1;

22.А 0 0 ;

23.А 0 А.

Правила исключения логических символов

24. А

В – снятие импликации;

25. А

В ;

26. А

– снятие эквиваленции;

27. (А

В)

(А

В)

(В А) .

Правила исключения логических символов

: для каждой

формулы можно указать равносильную ей формулу, не содержащую логических символов и .

Все эти формулы получаются простой проверкой по таблице истинности (таблица 3.2) с учётом истинности каждой операции, правильного раскрытия скобок и выполнения операций по приоритету. Докажем справедливость одного из законов де Моргана:

							.
			А		В А	В	.
Таблица 3.2 – Таблица истинности

А	В	А В		А	В			А	В	А В
1	1	1			0			0	0	0
0	1	0			1			1	0	1
1	0	0			1			0	1	1
0	0	0			1			1	1	1

Прокомментируем некоторые из этих законов.

Закон противоречия А А 0 говорит о том, что никакое предложение не может быть истинным одновременно со своим отрицанием.

Закон исключённого третьего А А 1 говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание истинно или ложно – третьего не дано.

Согласно правилу снятия двойного отрицания А А , отрицать отрицание какого-нибудь высказывания – то же, что утверждать это высказывание.

Законы коммутативности и ассоциативности конъюнкции и дизъюнкции аналогичны одноименным законам умножения и сложения чисел.

В силу законов идемпотентности в логике нет «показателей степеней» и «коэффициентов»: конъюнкция одинаковых «сомножителей» равносильна одному из них; дизъюнкция одинаковых «слагаемых» равносильна одному из них.

Законы де Моргана называют переносом отрицания через логические связки.

Знание законов математической логики помогает не только упрощать высказывания, но и правильно, логически рассуждать. Так, некоторые формулы помогают понять законы правильного мышления (см. 3.5).

Если в равносильные формулы всюду вместо какой-нибудь переменной подставить одну и ту же формулу, то вновь полученные формулы также окажутся равносильными.

Если какую-нибудь формулу F1 , являющуюся частью формулы F , заменить формулой F2 , равносильной F1 , то полученная формула окажется равносильной F .

Замену формулы другой, ей равносильной, будем называть

эквивалентным (равносильным) преобразованием данной формулы.

Пример 3.6. Упростите выражение А

( А

В) .

Решение. А

( А В) А ( А В) А

( А

В ) ( А А) В

А В .

Пример 3.7. Идёт логическая игра. Трём участникам игры,

соответственно

Х, У и Z, показали фотографию машины.

Четвёртому

Источник: https://studfile.net/preview/16711200/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард
«Методы учета затрат на производство продукции, работ, услуг»Курсовая работа
«Теория человеческих потребностей Маслоу»