Материал: 5540

участнику игры требуется узнать цвет и марку машины, но при этом каждый участник игры, видевший фотографию, либо цвет, либо марку машины называет неправильно.

Участник Х сказал: синяя «волга». Участник У сказал: черный «москвич». Участник Z сказал: «жигули», но не синяя. Как узнать цвет и марку машины? Решение.

Имеется шесть элементарных высказываний: синяя машина} А – «синяя машина»; В – «волга»;

С – «чёрная машина»; D – «москвич»;

Е– «жигули»;

А– «не синяя машина».

Так как либо цвет, либо марку машины каждый участник игры назвал правильно, то для высказываний каждого участника будет истинна дизъюнкция их элементарных высказываний:

Х: А В 1; У: С D 1; Z: E A 1.

Поскольку эти три высказывания, представляющие собой дизъюнкцию элементарных высказываний, истинны, то истинна и их конъюнкция: (А В) (C D) (E A) 1.

Раскроем все скобки:

А C E A D E B C E B D E A C A A D A

B C A B D A 1.

Данная дизъюнкция имеет вид:

0 0 0 0 0 0 (B С A 1) 0 1.

Ответ: на фотографии была чёрная «волга».

Задача 3.10. Истинно или ложно высказывание (А В) (В С), если высказывания В и С истинны?

Задача 3.11. Докажите, что (А В) С (А С) (В С). Задача 3.12. Для высказываний А, В и С докажите формулы:

61

6) А (В С) ( А В) ( А С).

Задача 3.1. Упростите выражения:

4) ( А В С A) (D В D ) (B С) .

3.5 Основные логические законы

Закон мышления – это необходимая, существенная, устойчивая связь между мыслями. Среди множества логических законов логика выделяет четыре основных, выражающих коренные свойства логического мышления

– его определённость, непротиворечивость, последовательность и обоснованность. Это законы тождества, противоречия, исключённого третьего и достаточного основания. Они действуют в любом рассуждении, при правильном их применении люди однозначно понимают друг друга, однозначно толкуют информацию и делают выводы, адекватные этой информации.

Закон тождества. Любая мысль в процессе рассуждения должна иметь определённое, устойчивое содержание. Это коренное свойство мышления – его определённость – выражает закон тождества: всякая мысль в процессе рассуждения должна быть тождественна самой себе

( А А ).

Из закона тождества следует: нельзя отождествлять различные мысли, нельзя тождественные мысли принимать за нетождественные.

62

Нарушение этого требования в процессе рассуждения нередко бывает связано с различным выражением одной и той же мысли в языке.

Широко применяется закон тождества в точных науках. С помощью закона тождества даются формулировки теорем, определения понятий, различные формулы и т.д.

Мы используем закон тождества при решении любой задачи по заданному алгоритму, отождествляя условие конкретной задачи с известными приёмами её решения.

Если закон тождества выражает логическую однозначность и определённость мышления, то закон противоречия выражает его последовательность и непротиворечивость.

Закон противоречия. Два противоречивых суждения не могут быть истинными в одно и то же время и в одном и том же отношении

( А А 0).

Для правильного его понимания необходимо иметь в виду следующее. Утверждая что-либо о каком-либо предмете, нельзя, не противореча себе, отрицать то же самое о том же самом предмете, взятом в то же самое время и в том же самом отношении.

Так, не могут быть одновременно истинными следующие четыре типа простых суждений:

1.«Данное S есть Р» и «Данное S не есть Р».

2.«Ни одно S не есть Р» и «Все S есть Р».

3.«Все S есть Р» и «Некоторые S не есть Р».

4.«Ни одно S не есть Р» и «Некоторые S есть Р».

Сознательное использование закона противоречия помогает обнаруживать и устранять противоречия в своих и чужих рассуждениях, вырабатывает критическое отношение ко всякого рода неточности, непоследовательности в мыслях и действиях.

Особое значение имеет закон противоречия в ходе проведения доказательств. Он лежит в основе требований, накладываемых на доказательства. Непротиворечивыми должны быть как используемые в доказательстве посылки (тезисы и аргументы), так и выводы этой теории.

63

В математике закон противоречия используется и при доказательстве методом от противного. Пусть дано истинное суждение А и надо доказать справедливость В. Метод от противного заключается в том, что вместо В берут его отрицание В и затем с помощью математических аргументов доказывается, что А В 0 . Если удаётся это доказать, то в результате делается вывод, что В – истинно. Проверим это: А В 0 равносильно

АВ 1, значит, А В А В 1, но А – ложно, т.е. для того чтобы

значение дизъюнкции было равно 1, необходимо, чтобы В 1.

Закон противоречия устанавливает, что утверждение и отрицание одной и той же мысли не могут быть одновременно истинными. На вопрос, могут ли они быть одновременно ложными, даёт ответ закон исключенного третьего.

Закон исключённого третьего. Два противоречащих суждения не могут быть одновременно ложными, одно из них необходимо истинно

( А А 1).

Противоречащими называются суждения, в одном из которых что-либо утверждается (или отрицается) о каждом предмете некоторого множества, а в другом – отрицается (утверждается) о некоторой части этого множества. Эти суждения не могут быть одновременно ни истинными, ни ложными: если одно из них истинно, то другое ложно, и наоборот. Противоречащими являются также два суждения об одном предмете, в одном из которых чтолибо утверждается, а в другом то же самое отрицается. Одно из этих суждений необходимо истинно, другое – необходимо ложно.

Подобно закону противоречия закон исключённого третьего выражает последовательность, непротиворечивость мышления, не допускает противоречий в мыслях. Вместе с тем, действуя только в отношении противоречащих суждений, он устанавливает, что два противоречащих суждения не могут быть не только одновременно истинными (на что указывает закон непротиворечия), но также и одновременно ложными: если ложно одно из них, то другое необходимо истинно, третьего не дано.

Закон исключённого третьего работает в процессе построения умозаключений и доказательств. С помощью закона исключённого

64

третьего проводятся косвенные доказательства, так как для того, чтобы установить истинность доказываемого тезиса, надо выявить ложность противоречащего суждения.

Закон исключённого третьего применяется там, где познание имеет дело с жёсткой ситуацией: или – или, истинно – ложь. На законе исключённого третьего основана вся математическая логика.

Закон достаточного основания. Всякая мысль признаётся истинной, если она имеет достаточное основание.

Благодаря науке, которая в своих законах и принципах закрепляет общественно-историческую практику человечества, мы для обоснования наших мыслей не прибегаем всякий раз к их проверке, а обосновываем их логически, путём выведения из уже установленных положений.

Таким образом, достаточным основанием какой-либо мысли может быть любая другая, уже проверенная и установленная мысль, из которой с необходимостью вытекает истинность данной мысли.

Обоснованность – важнейшее свойство логического мышления. Во всех случаях, когда мы утверждаем что-либо, убеждаем в чём-либо других, мы должны доказывать наши суждения, приводить достаточные основания, подтверждающие истинность наших мыслей. В этом состоит коренное отличие научного мышления от мышления ненаучного, которое характеризуется бездоказательностью, способностью принимать на веру различные положения и догмы.

Закон достаточного основания имеет важное теоретическое и практическое значение. Фиксируя внимание на суждениях, обосновывающих истинность выдвинутых положений, этот закон помогает отделить истинное от ложного и прийти к верному выводу.

3.6. Необходимое и достаточное условие импликации

Если высказывание А В является истинным, то его называют

теоремой.

Например, следующее утверждение является теоремой: «Если натуральное число n делится на 6, то число n делится на 3».

65