Материал: 656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

Упражнения и задачи

3.1. Доказать, что для любого элемента циклической группы верно

3.2.Доказать, что предыдущее утверждение имеет место для любого элемента произвольной группы.

3.3.Доказать, что подгруппа циклической группы также является циклической.

3.4.Доказать, что порядок подгруппы конечной циклической группы является делителем порядка группы.

3.5.Доказать, что любая подгруппа аддитивной группы целых чисел имеет вид

n , , n , где n 0, n, 2n, 3n,... .

3.6.Доказать, что если a,b,c– элементы некоторой группы, то

а) ab и ba имеют одинаковый порядок;

б) aba 1 и b имеют одинаковый порядок;

в) abc,bca,cab имеют одинаковый порядок.

3.7.Доказать, что S(M), – группа.

3.8.Доказать, что каждая нетождественная подстановка разлагается в произведение транспозиций.

3.9.Доказать, что S(M) M !.

3.10.Записать следующие подстановки в виде произведения независимых циклов:

3.11.Записать следующие подстановки в виде произведения независимых циклов:

3.12.В следующих подстановках перейти от записи в виде произведения независимых циклов к записи таблицей:

а) (1,5)(2,3,4);

б) (1,3)(2,5)(4);

в) (1,2)(3,4)...(2n 1,2n).

3.13.Вычислить:

3.14. Найти подстановку, обратную данной:

в) (1,5)(2,3,4);

17

4. Кольца вычетов. Поля Галуа. Кольцо квадратных матриц

Говорят, что числа a и b равны по модулю n (n ), если они имеют одинаковый остаток от деления на n. При этом используется запись a bmodn.

Кольцом вычетов (по модулю n) называется кольцо n, , ,

n {0,1,2,...,(n 1)}, с операциями сложения и умножения по модулю n,

определяемыми следующим образом:

a b: a b modn n;

a b: a b modn n.

Поле Галуа (GF) – это любое конечное поле. В частности, конечным полем, а следовательно, и полем Галуа является кольцо p, , где p –

простое число (упр. 4.2).

отметить, что операции в поле Галуа в общем случае не обязательно являются сложением и умножением по модулю n.

Пример 1. Задать операции сложения и умножения в поле F4 4, , .

Решение. Определим в первую очередь операцию умножения. Умножение в F4 4, , невозможно определить как умножение по модулю

(см. упр. 2.4).

Рассмотрим поочередно все оставшиеся варианты. Допустим, 2 2 1, тогда 2 3 3, т.е. 2=1 – противоречие. Остается вариант 2 3 1, 2 2 3, и, следовательно, 3 3 2. Запишем таблицу Кэли:

Определить операцию сложения как сложение по модулю 4 тоже не получится, так как в этом случае умножение относительно сложения не будет обладать свойством дистрибутивности (проверить самостоятельно). Итак, приступим к последовательному заполнению таблицы Кэли для сложения в F4 4, , .

Так как a 0 0 a a (по определению нуля), то имеем

Сумма 1 2 не может быть равна 2 (или 1), так как это означает, что 1 (или 2) – нейтральный элемент по сложению (нуль). Предположим, 1 2 0 (т.е. 2 – противоположный к 1). Тогда

3 (1 2) 3 0 0.

С другой стороны,

3 (1 2) 3 1 3 2 3 1.

Следовательно, 3+1=0, значит, 3 также является противоположным элементом к 1. Получаем противоречие, так как противоположный элемент должен быть только один. Остается единственный вариант:1 2 3. Рассуждая аналогичным образом, получим, что 1 3 0, 1 3 1, 1 3 3 и 2 3 0, 2 3 2, 2 3 3. Следовательно, 1 3 2 и 2 3 1.

С учетом коммутативности операции, таблица Кэли принимает вид

У каждого элемента поля должен быть противоположный элемент, следовательно, недостающие элементы таблицы – нули.