Материал: PAKhT_LEKTsII_1sem

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ГИДРОДИНАМИКА

Уравнения гидродинамики являются следствием фундаментальных законов сохранения массы, импульса и энергии.

Уравнение неразрывности

Составим материальный баланс неразрывного (сплошного) течения жидкости.

Рассмотрим в области течения произвольный объѐм V, ограниченный поверхностью S.

Рис.1.3. К выводу уравнения неразрывности

В каждой точке этой поверхности проведѐм единичную нормаль n . Будем считать,

что источники массы внутри объѐма V отсутствуют. Объѐмный поток жидкости (расход),

входящий в рассматриваемую область из жидкости, примыкающей к данному объѐму, т.е.

приток жидкости снаружи:


Q v n dS	(1.9)

Знак (-) в уравнении делает входящие потоки положительными.

Массовый поток найдѐм, умножив подынтегральное выражение на плотность


M v n dS	M = [кг/с]	(1.10)

Произведение v называют массовой скоростью или плотностью массового потока.

Интеграл поверхности по формуле Остроградского-Гаусса преобразуем в интеграл по объѐму


M div v dV	(1.11)

Найдѐм то же изменение массы жидкости в единицу времени, рассматривая объѐм

V изнутри

M	dV	(1.12)
V	t

Приравнивая потоки, полученные определением притока массы снаружи и изнутри объѐма V получим

(		div
(	t	div	v )dV 0				(1.13)
V	t
Поскольку для произвольного объѐма подынтегральная функция должна
обращаться в нуль, получим уравнение неразрывности (сплошности)

t	div v		0				(1.14)
Уравнение			неразрывности	является	законом	сохранения	массы	в

дифференциальной форме. Для стационарного движения t						=0, поэтому уравнение 1.14

принимает вид

div v 0

Если жидкость несжимаема, = сonst, следовательно

divv 0

Запишем это уравнение для компонентов скорости

vx vy vz 0x y z

Записав div v в развѐрнутой форме, из уравнения (1.14) получаем

	vx		vy		vz
t		x		y		z	div v	0

Это уравнение можно записать в следующем виде

d
	divv	0
dt	divv	0

(1.15)

(1.16)

(1.17)

(1.18)

(1.19)

где	d		vx		vy		vz		(1.20)
	dt	t		x		y		z

Величина d называется субстанциональной производной. dt

Раскроем физический смысл субстанциональной производной.

При движении жидкости отдельная жидкая частица проходит за время dt

некоторое расстояние, проекции которого dx, dy, dz. Одновременно с движением меняются ее гидромеханические параметры. Так, полный дифференциал плотности равен

dz ,

(1.21)

следовательно

где vx

, vy

Первое слагаемое уравнения (1.21) означает изменение плотности в данной фиксированной (неподвижной) точке пространства в течение времени dt, а остальные слагаемые дают изменение за счѐт перемещения частицы на расстояния dx, dy, dz.

Индивидуальная производная в форме уравнения (1.20) может быть записана для любой скалярной или векторной величины (плотности, давления, скорости):


	d	vx vy		vz			(1.22)
	dt				z
		t	x	y
Из уравнения (1.20) можно также заключить, что для нестационарного процесса
( x,y,z ,t ) ,			для стационарного (			0 )	( x,y,z )

Получим уравнение неразрывности в интегральной форме для стационарного течения жидкости.

Стационарное неразрывное течение жидкости в канале произвольной формы с непроницаемыми стенками

Рис.1.4. К выводу уравнения неразрывности в интегральном виде

Для движущейся жидкости в канале произвольной формы (Рис.1.4) запишем

уравнения материального баланса (1.10)(1.13) при 0 , для части канала,

ограниченной плоскими сечениями 1 и 2 с поверхностями S1 и S2


M div v dV v ndS								(1.23)
	V					S
Поскольку стенки непроницаемые, имеем равенство

M v ndS					v ndS			(1.24)
	S1				S2
Найдѐм положительные величины средней массовой скорости для сечений 1 и 2

			v ndS				v ndS
v			S1			v	S2	(1.25)
v						v		(1.25)
ср1			S1			ср 2	S2
			S1				S2
Из уравнений (1.24) и (1.25) получим уравнение неразрывности в интегральной
форме
M v ср1 S1				v ср 2 S2 v срi Si const				(1.26)
В случае, когда плотность не меняется по сечению, имеем
M 1v1S1 2v2S2 ivi Si const								(1.27)
где v1 vср1 ,				v2	vср 2 и т.д.
Для несжимаемой жидкости
Q vi Si		const						(1.28)

Уравнения (1.26)-(1.28) служат для определения скоростей жидкости и площадей сечений каналов.

ЛЕКЦИЯ 2

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Уравнения Навье-Стокса

В потоке реальной жидкости будут действовать как нормальные, так и касательные напряжения.

Рассмотрим сначала идеализированный случай однонаправленного движения несжимаемой вязкой жидкости, в котором все векторы скорости имеют одинаковые направления.

Выделим в потоке жидкости двигающейся параллельно оси z элементарный параллелепипед, грани которого ориентированы по осям координат (Рис.2.1).

Рис.2.1. К выводу уравнения баланса сил при одномерном движении вязкой несжимаемой жидкости

Будем считать, что вектор скорости vz уменьшается вдоль осей x и y . С учетом условия однонаправленности имеем

vx = vy = 0

Определим проекции внешних сил на ось z, действующих на элементарный объѐм.

Сила давления:		P		P	dxdydz
Сила давления:	Pdxdy P	z	dz dxdy	z	dxdydz
		z		z

Сила тяжести: gdxdydz

Сила трения, возникающая при изменении вектора скорости по оси x: 1

Источник: https://studfile.net/preview/14749758/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард