Дипломная (вкр): Анализ молекулярных машин

Анализ молекулярных машин

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

. ТЕОРЕТИЧСКИЕ ОСНОВЫ

.1 Сети, их архетипы

.2 Эластичные сети и молекулярные машины

. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

. ОБЪЕКТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

. ИССЛЕДОВАНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ

. ВЫВОДЫ

БИБЛИОГРАФИЯ

ПРИЛОЖЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Научное исследование таких моделей, как компьютерные сети, биологические сети, и социальные сети - это междисциплинарная область, которая сочетает в себе идеи из математики, физики, биологии, информатики, социальных наук и многих других областей. Используя понятие эластичной сети можно провести анализ характеристик для динамических молекулярных структур, которые называются молекулярные машины [1].

Используя принципы работы с эластичной сетью можно провести оценку поведения структуры молекулярной машины во время динамического цикла.

Данное исследование предполагает оценку топологических характеристик для эластичной сети, построенной на основе исследуемой молекулярной машины. На основе данных характеристик проводится анализ распределений и гистограмм основных характеристик [1].

1. ТЕОРЕТИЧСКИЕ ОСНОВЫ

1.1    Сети, их архетипы

В общем случае случайная сеть представляет собой модель, в которой некоторый набор параметров принимают фиксированные значения, а другие являются случайными [2,3]. Один из простейших примеров такой случайной сети является сеть с фиксированными числом ребер m и числом вершин n. В этом случае берутся n узлов сети и между ними случайным образом образуются n связей. По другому, данную сеть можно обозначить как модель, которая создается путем равномерного выбора случайных множеств всех простых графов с числом вершин равным n и числом ребер равным m. Другое полностью эквивалентное определение модели состоит в том, чтобы сказать, что сеть создается путем равномерного выбора случайных множеств всех простых графов с числом вершин n и количеством ребер m. Строго говоря случайная модель сети не определена в терминах единственной произвольно генерируемой сети, а представляет собой совокупность сетей, то есть в котором каждая из сетей имеет определенную вероятность реализации, что значит, что каждая сеть ансамбля имеет свой собственный статистический вес. Самым простейшим примером случайной сети является классический случайный граф Эрдеша-Реньи, где в статистическом ансамбле все возможные графы с числом узлов n и количеством связей m имеют одинаковый статистический вес реализации. Иными словами для таких сетей будет одинакова вероятность существования связи между любыми двумя узлами [2].

Рассмотрим модель , для которой определено распределение вероятности  по всем графам , где  для простых графов с числом узлов n и числом ребер m, где -общее количество таких простых графов. Когда рассматривают свойства случайных сетей, то обычно это соответствует средним свойствам ансамбля [2-4]. Например, диаметр  будет равен диаметру графа , усредненный по ансамблю

.

Множество таких средних свойств случайных графов могут быть рассчитаны точно, по крайней мере, в пределе большого размера графика. Очень часто нас интересуют характерные свойства сетей. Например, мы можем узнать диаметр сети с заданным числом ребер. Конечно, существуют особые случаи сетей, которые имеют существенно большие или существенно малые диаметры, но они не показывают типовое поведение сети. Для расчета типового поведения, то средние значения свойств по статистическому ансамблю может дать приближенное к точному значение [2].

Для подробного описания сети необходимо дать понятия основных характеристикам сети. Степень узла сети представляет собой число связей узла. Данная характеристика является локальной характеристикой. Для задания нелокальных характеристик используются понятия путь и цикл. Путь представляет собой неповторяющуюся чередующуюся последовательность близлежащих узлов и связей между ними. Цикл представляет из себя путь, при котором начальный узел равен конечному узлу сети. Основной характеристикой сети является ее размер, который представляет собой число узлов этой сети. Еще одной важной глобальной характеристикой сети является кратчайшая длина пути. Если принимать длинны связей сети между смежными узлами равными единице, то расстояние между узлами  и  есть кратчайшее расстояние пути между ними. Диаметр сети позволяет описать максимальное расстояние между узлами в исследуемой сети.

Существует несколько способов математического представления сети. Лучшим представлением случайной сети для проведение математических и статистических исследований является матрица смежности. Матрицей смежности A простого графа является матрица с элементами , такая, что

эластичный сеть молекулярный машина

Необходимо учесть два замечания для матрицы смежности:

)        Матрица смежности является симметричной, так как если между узлами  и  существует ребро, то и между  и  узлами существует ребро

)        Все диагональные матричные элементы все равны нулю, так как связи у узла с самим собой нет

Еще одной важной характеристикой случайной сети является распределение степеней . Каждый узел в сети связан с некоторой вероятностью  с каждой из  других узлов сети [3-5]. Таким образом вероятность связи с  узлами будет определяться, как

,

Где  позволяет определить эти k узлов, а полная вероятность будет рассчитываться по следующей формуле

,

которая представляет из себя биномиальное распределение. Другими словами,  имеет биномиальное распределение степеней. В большинстве случаев исследуются свойства больших сетей, поэтому  можно считать большим.

Средняя степень случайного графа обозначается как  и вычисляется по формуле

.

Так как n принимается бесконечно большим, то p будет бесконечно малым, что позволяет прийти к следующему

Данный логарифм представляется в виде ряда Тейлора, а при  уравнение становится более точным [3]. Если рассматривать экспоненты по обе стороны уравнения, то  в пределах большого значения n что позволяет получить следующее равенство:

Если преобразовать данное уравнение, то получится следующее:

Данное уравнение в пределах большого значения n представляет собой распределение Пуассона, т.к. распределение степеней для  подчиняется распределению Пуассона. Данная модель представляется эталонной для сравнения с другими исследуемыми моделями различных сетей.

Для вычисление пуассоновского случайного графа используется понятие коэффициента кластеризации, которая является мерой транзитивности в сети и определяет вероятность того, что двое соседей узла являются соседями друг друга [3-5].

В случайной сети график вероятности того, что любые две вершины являются соседями, является точно тем же самым, что и для вероятности . Следовательно, коэффициент кластеризации определяется следующей формулой

Это одна из нескольких характеристик, по которой случайный граф резко отличается от большинства из реальных сетей, многие из которых имеют довольно высокую степень кластеризации.

Еще одна важная характеристика при оценке графов является центральность. Центральность-это мера, которая описывается числом кратчайших путей, которое проходит через узел. Для каждой пары узлов в сети существует, по крайней мере, хотя бы один такой кратчайший путь между вершинами, что, либо число ребер, через которые проходит путь, либо сумма весов узлов сводится к минимуму. Данная характеристика была описана Л. Фриманом в своей работе по описанию мер центральностей узлов сети в 1977 году. Центральность позволяет описать степень взаимодействия узлов соседей между собой. Например, в телекоммуникационной сети узел с более высокой степенью центральности будет иметь больший контроль над сетью, поскольку дополнительная информация будет проходить через этот узел [3].

Сети бывают направленными и ненаправленными. Направленная сеть или ориентированный граф представляет собой сеть, в которой каждое ребро имеет направление, указывающее от одной вершины к другой. Такие ребра сами называются направленными ребрами. В данной дипломной работе исследуются ненаправленные сети.

Помимо случайных сетей существуют сети других типов, например small-world сеть и scale-free сеть. Сеть small-world представляет собой тип математического графа, в котором большинство узлов не соседствуют друг с другом, но соседи любого заданного узла могут быть соседями друг от друга, и большинство узлов могут иметь связь от каждого другого узла с помощью небольшого количество шагов. В частности, сеть малого мира определяется как сеть, где типичное расстояние L между двумя случайно выбранными узлами (число требуемых шагов) растет пропорционально логарифму числа узлов N. Сеть scale-free или безмасштабная сеть - это сеть, распределение которой по степенному закону, по крайней мере, асимптотическое. То есть доля узлов в сети, имеющая k связей с другими узлами, при больших значениях k принимает вид:

,

где  - это параметр, значение которого обычно находится в диапазоне 2 < <3, хотя периодически он может оказаться за пределами этих границ [2].

1.2 Эластичные сети и молекулярные машины

Молекулярная машина представляет из себя отдельную молекулу или комплекс молекул, который осуществляет квазимеханические движения, которые направлены на выполнение полезной работы. Молекулярными машинами, как правило, обозначаются те молекулярные структуры, которые имитируют определенные функции на макроскопическом уровне. Молекулярные машины бывают двух видов: синтетические и биологические.

Синтетические молекулярные машины бывают двух видов: молекулярные переключатели и молекулярные двигатели. Основное различие между этими двумя системами состоит в том, что переключатель влияет на систему как на функцию состояния, тогда как двигатель влияет на систему как функцию траектории. Переключатель, как может казаться, имитируют поступательное движение, но возврат переключателя в исходное положение отменяет механический эффект и высвобождает энергию для системы. Кроме того, переключатели не могут использовать химическую энергию повторно и постепенно вытеснять систему из равновесия, в то время как двигатель может.         Куда более сложными молекулярными машинами являются белки, обнаруженные в клетках. К ним относятся моторные белки, такие как миозин, который отвечает за сокращение мышц, кинезин, который перемещает груз внутри клеток от ядра вдоль микротрубочек. Эти белки и их наномасштабная динамика намного сложнее, чем любые молекулярные машины, которые были искусственно сконструированы. В последние годы были получены разработки и составлены описания белковых структур основываясь на эластичных сетях. При таком подходе структурные элементы белка описываются при помощи тождественных узлов, которые соединяются между собой упругими связями, если соответствующие узлы находятся по соседству друг с другом в первоначальном состоянии белка. Таким образом структура белка представляет из себя упругую эластичную сеть, где главным объектом исследований выступает динамика этой сети.

Рисунок 1 - Представление молекулярной структуры в виде эластичной сети

В качестве узлов эластичной сети можно принимать различные элементы структуры в зависимости от того, насколько точные данные необходимо получить в ходе исследования. При наличии суперкомпьютерных вычислительных машин можно принимать за узлы сети атомы молекулы, а при отсутствии подобных вычислительных ресурсах за узлы эластичной сети принимаются целые атомные звенья. Для формирования эластичных связей между узлами необходимо выбрать правильный радиус обрезания, т.е. определить некоторую фиксированную величину, сравнивая с которой можно формировать связи между узлами: если расстояние между двумя элементами сети больше этого радиуса обрезания, то связь не устанавливается, а если меньше-то связь образуется. Все полученные связи упругие и подчиняются закону Гука, что позволяет проводить расчеты, опираясь на законы упругости сжатия и растяжения связей.

При исследовании эластичных сетей рассматривается набор из N одинаковых узлов сети, которые соединены между собой упругими нитями. Сеть определяется характеристиками состояния равновесия всех узлов. Упругие силы между узлами, как уже было сказано ранее, подчиняются закону Гука и зависят только от изменения расстояний между ними. В момент предела сжатия скорость узла пропорциональная сумме упругих сил, которые приложены к нему. Если принять, что -равновесное состояние узла, а -фактические координаты, то динамика будет описываться следующим образом [6-7]:

Где  - матрица смежности, где  если и  в противном случае. Зависимость от коэффициентов жесткости и вязкого трения здесь опускается путем соответствующего изменения масштаба по времени. Динамика упругих сетей нелинейна, поскольку расстояния  являются нелинейными функциями по координатам и . Данные уравнения при необходимости можно линеризировать

Для небольших отклонений . Данные уравнения могут быть записаны в форме , где  представляет из себя линеаризованную матрицу . Линейная апроксимация релаксационной динамики описывается суммой независимых экспоненциально затухающих нормальных мод [6]: