Материал: cgiirbis_64 (7)

28

Як знайти незміщену оцінку для дисперсії залишків? Чому дорівнює зміщення дисперсії оцінок параметрів і дисперсії залишків у моделях з гетероскедастичністю, коли оцінювати параметри за 1 МНК?

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 4

НЕПРЯМИЙ МЕТОД ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ ЕКОНОМЕТРИЧНОЇ МОДЕЛІ

Основні теоретичні положення

Наявність прямих та зворотних зв’язків між економічними показниками нерідко зумовлює потребу застосовувати систему одночасних рівнянь, що містить, як правило, лінійні рівняння. Нелінійність зв’язків апроксимується лінійними співвідношеннями. Динаміка економічних зв’язків ураховується за допомогою часових лагів або лагових змінних.

Система одночасних структурних рівнянь у матричному вигляді подається так:

Y A Y B X u .

Розв’язавши кожне рівняння системи відносно Y , дістанемо зведену форму моделі:

Y R X v ,

де залишки v є лінійною комбінацією залишків u .

Якщо економетрична модель будується на основі системи одночасних структурних рівнянь, то порушується, як правило, третя умова щодо застосування 1 МНК. Згідно з цією умовою матриця пояснюючих зміннихтавекторзалишківмають бутинезалежними.

Оцінка параметрів моделі методом 1МНК даватиме таке їх зміщення:

1 a1 2 2 / mzz , 1 / mzz

72

де mzz — момент другого порядку залежної змінної, що прямує

до деякої константи, коли n .

Оцінка параметрів моделі на базі одночасних структурних рівнянь пов’язана з проблемою ідентифікації.

Необхідна умова ідентифікації системи — виконання нерівності для кожного рівняння:

ks 1 m ms ,

де ks — кількість ендогенних змінних, які входять в s-те рівнян-

ня структурної форми;

m — загальна кількість екзогенних змінних моделі;

ms — кількість екзогенних змінних, які не входять в s-те рів-

няння структурної форми моделі.

Коли записане щойно співвідношення виконується як рівність, то відповідне рівняння є строго ідентифікованим, а коли — як нерівність, то рівняння є надідентифікованим.

Для оцінювання параметрів строго ідентифікованих рівнянь моделі можна застосувати непрямий метод найменших квадратів (НМНК). Алгоритм цього методу складається з чотирьох кроків.

Крок1. Перевіряється умова ідентифікованості для кожного рівняння. Якщо кожне рівняння строго ідентифіковане, то переходимо до кроку 2.

Крок2. Перехід від структурної форми моделі до зведеної.

Крок3. Оцінка параметрів кожного рівняння зведеної форми моделі 1МНК.

Крок4. Розрахунок оцінок параметрів рівнянь структурної форми згідно зі співвідношенням

Економетрична модель на основі системи рівнянь: побудова й аналіз

Приклад 1. Нехай задано економетричну модель на базі системи одночасних структурних рівнянь:

Y1t a12 X 2t u1t ;

73

Y2t b21Y1t a21 X1t u2t ;

Y3t b31Y1t a32 X 2t u3t ,

де Y1t , Y2t , Y3t — ендогенні змінні; X1t , X 2t — екзогенні змінні;

u1t , u2t , u3t — некорельовані залишки з нульовими середніми.

Визначіть ідентифікованість кожного рівняння за умови, що M u1t , u3t 0 . Зазначте, які методи доцільно застосовувати для

оцінювання параметрів кожного рівняння.

Звідси ks 1 m ms 1 1 2 1 0 1 , тобто рівняння системи є надідентифікованим.

Для другого рівняння:

ks 2 ; ms 1 ; m 2 .

Звідси ks 1 m ms 2 1 2 1 1 1 , тобто друге рівняння системи є строго ідентифікованим.

Для третього рівняння:

ks 2 ; ms 1 ; m 2 .

Звідси ks 1 m ms 2 1 2 1 1 1 , тобто це рівняння системи є також строго ідентифікованим.

Зважаючи на те, що перше рівняння моделі є надідентифікованим, для оцінювання його параметрів слід скористатися методом 2МНК.

Друге та третє рівняння моделі є строго ідентифікованими, тому для оцінювання параметрів цих рівнянь можна застосовувати як метод 2МНК, так і НМНК. Обидва методи дають однакові оцінки параметрів моделі.

Приклад2. Згідно з даними, які наведено у табл.1, побудувати економетричну модель попиту й пропозиції. Проаналізувати побудовану модель.

74

умова ринкової рівноваги: Yq Ys Y1 .

2.Специфікуємо модель на базі системи одночасних структурних рівнянь:

Yq a01 a11Y2 b11 X1 u1 ;

Ys a02 a21Y2 b21 X 2 u2 ;

Yq Ys Y1 .

Цю систему одночасних структурних рівнянь можна подати у вигляді:

Y1 a01 a11Y2 b11 X1 u1 ;

Y2 a02 a21Y2 b21 X 2 u2 .

75