Материал: Числовые ряды (96

УДК 517.5.52

ББК 22.16

Т 56

Рецензент К.В. Титов

Т 56

Томашпольский В.Я., Шевченко М.Н., Янов И.О.

Числовые ряды: Методические указания к выполнению ти-

пового расчета. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. –

36

с.: ил.

Даны краткие теоретические сведения, примеры, задачи для

самостоятельной работы и условия типового расчета по теме

«Числовые ряды».

Для студентов 2-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана всех спе-

циальностей.

Табл. 1. Библиогр. 4 назв.

ББК 22.16

УДК 517.5.52

Ряд как сумма с бесконечным количеством слагаемых является

важнейшим средством изучения функций и приближенного вычи-

сления значений этих функций. Простейшие примеры рядов встре-

чаются уже в элементарной математике —

это, например, бесконеч-

∞

a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = ∑ an,

где a1, a2

n=1

, a3, . . . , an, . . . —

числовая последовательность.

об-

Слагаемые a1,

a2

, a3

, . . . называются членами ряда, а an —

щим членом ряда. При этом нумерация членов ряда может начинать-

ся не обязательно с единицы,

а с любого целого числа. Например,

для ряда

1

3

5

2n −1

∞

2n −1

+

+

+ ... +

+ ... = ∑

3 5 7

2n + 1

n=1

2n + 1

числа

1

,

3

,

5

—

члены ряда, an =

2n −1

—

общий член ряда.

Обозначим

7

2n + 1

3

5

S1 = a1,

S2 = a1 + a2,

S3 = a1 + a2 + a3,

............

Величины S1,

Sn = a1 + a2 + a3

+ ... + an.

S2,

S3,

... называются частичными сумма-

ми. Сумма первых n

слагаемых называется n-й частичной суммой

ряда и обозначается

Sn.

4

Определение. Ряд ∑ an называется сходящимся,

если суще-

∞

ствует конечный предел последовательности частичных сумм

n=1

lim Sn = S.

n→∞

Число S называется суммой ряда.

Если же для данного ряда такой предел не существует или он

бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Понятия сходимости и расходимости ряда можно проиллю-

стрировать рядом, составленным из членов бесконечной геометри-

ческой прогрессии со знаменателем q и первым членом b (b 6= 0):

∞

∑ bqn−1 = b + bq + bq2 + ... + bqn−1 + ...

n=1

Если q = 1, то ряд получает вид b + b + b + ..., a n-я частичная

сумма —

вид

Sn = b + b + b + ... + b = nb.

Поскольку предел последовательности частичных сумм lim nb бес-

конечен, то ряд расходится.

n→∞

Если же q 6= 1, то n-я частичная сумма

b −bqn

Sn = b + bq + bq2 + ... + bqn−1 =

.

Тогда при |q | < 1 существует предел

1 −q

lim

Sn = lim

b −bqn

=

b

.

n→∞

n→∞ 1 −q

1 −q

b

Значит, при |q | < 1 ряд сходится и имеет сумму S =

. При

1 −q

|q | > 1

конечного предела Sn не существует, т. е. ряд является рас-

ходящимся. Если же q = −1 , то ряд выглядит как