Материал: Числовые ряды (96

b, 0, b, 0, b, ... ,

которая не имеет предела и является расходящейся. Значит, и ряд

при q = −1

будет расходиться.

Итак, ряд,

составленный из членов бесконечной геометриче-

ской прогрессии

∑ bqn−1,

∞

n=1

при | q | < 1 сходится,

при

| q | ≥ 1

расходится.

Критерий Коши сходимости числового ряда

Для того чтобы ряд

∑ an сходился, необходимо и достаточно,

∞

чтобы для любого ε > 0 существовал номер N = N (ε) такой, что для

n=1

всех натуральных n ≥ N и p выполнялось неравенство

|

|

−

|

k

n

+

1

|

=

n+p

Sn+p

Sn

=

∑ ak

= an+1 + an+2 + ... + an+p < ε.

-

Докажем с помощью

критерия

Коши расходимость так называ

емого гармонического ряда

∞

1

1

1

1

∑

= 1 +

+

+ ... +

+ ...

n=1 n

2

3

n

Доказательство. Пусть p = n,

тогда n + p = 2n. Поскольку ча-

стичная сумма с номером

2n

равна

S2n = 1 +

2

+

3

+ ... +

2n и n-я

1

1

1

частичная сумма равна Sn

= 1 +

2

+

3

+ ... + n , то их разность

1

1

1

S2n −Sn =

1

+

1

+ ... +

1

.

n + 1

n + 2

2n

2n , получим

Заменив каждое слагаемое меньшей величиной

1

S2n −Sn >

1

1

1

1

n

1

+

+ ... +

=

=

.

2n

2n

2n

2n

2

6

Утверждение 1. Отбрасывание, добавление или изменение ко-

нечного числа членов не влияет на сходимость ряда (но влияет на

его сумму).

Утверждение 2. Умножение каждого члена ряда на const k 6= 0

не влияет на сходимость ряда. В случае сходимости сумма нового

ряда равна kS, где S —

сумма исходного ряда.

Утверждение 3.

Если почленно сложить или вычесть соответ-

ствующие члены сходящихся рядов, то получится сходящийся ряд.

Утверждение 4.

Если почленно сложить или вычесть соответ-

ствующие члены сходящегося и расходящегося рядов, то получен-

ный ряд расходится.

Необходимый признак сходимости ряда

Теорема 1. Если ряд ∑ an сходится, то модуль общего чле-

∞

на |an| стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е.

n=1

n ∞ |

n| =

Следовательно последнее условие есть необходимое

условие сходимости ряда.

,

lim a

0.

→

Заметим,

что это условие не является достаточным, т. е. из

стремления к нулю общего члена ряда нельзя сделать вывод, что

ряд сходится. Например, для гармонического ряда ∑ 1 необхо-

∞

димое условие выполнено: lim

n=1

n

1

= 0, но ряд, как было показано

выше,

расходится. Практически необходимый признак сходимости

n→∞ n

удобно использовать как достаточный признак расходимости, т. е.

если n→∞

|

a

n| 6=

0,

то ряд расходится

.

lim

Решение. Вычислим предел

lim

lim

n2

+ n + 1

1

0.

2

+ 10n2

=

10 6=

n

∞ |an| = n

∞

Следовательно, ряд расходится.

∞

→

→

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд ∑ cos

√n + 1 .

5

Решение. Вычислим предел

n=1

n→∞

|

n| = n→∞

5

=

=

6=

√n + 1

lim

a

lim cos

cos 0

1

0.

Следовательно, ряд расходится.

∞

2 .

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд ∑ sin

Решение. Вычислим предел

πn

n=1

,

|

n| = n→∞

,

2

.

n→∞

.

lim

a

lim

sin

πn

Предела не существует следовательно

ряд расходится

Теорема 2. Признак сравнения. Пусть ∑ an и ∑ bn — два зна-

∞

∞

сходится и ряд ∑ an; если ряд

∑ an расходится, то расходится и

∞

∞

ряд

∑ bn.

n=1

n=1

∞

Этот признак позволяет сделать вывод о сходимости ряда путем

n=1

сравнения его с другим, «эталонным» рядом, сходимость которого

известна.

Кратко его можно записать следующим образом:

0 ≤ an ≤ bn,

∞

∞

∑ an сходится

∑ bn сходится;

n=1

n=1

∞

∞

∑ an расходится

∑ bn расходится.

n=1

n=1

Ряд Дирихле

«Эталонные» ряды

(обобщенный гармонический)

∞

1

∑

n=1 np

сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1.

Ряд из членов геометрической прогрессии

∞

∑ bqn−1

сходится при |q|

n=1

< 1 и расходится при |q| ≥ 1.

∞

.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

∑ 2

1

n=1 n

+ 5

Решение. Выбираем для сравнения ряд Дирихле ∑ 12 , который

∞

сходится, так как p = 2.

n=1 n

Поскольку

1

<

1

, то исходный ряд сходится.

n

2

2

+ 5

n

9

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд ∑

n 2

.

∞

6n

Решение. Выбираем для сравнения ряд, состоящий из членов

n=2

7

(n

−

1)

ко

бесконечно убывающей геометрической прогрессии n=2

7

∞

6

n

торый сходится.

= 7

∑

, -

<

7n

n

то исходный ряд сходится.

Поскольку 7n (n2 −1)

,

6n

6n

6

При подборе

эталонного ряда полезно помнить некоторые нера-

венства:

|sin x| ≤ 1,

|cos x| ≤ 1,

logc x < xb < ax при x ≥ x0, b > 0, a > 1.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд ∑ ln n .

∞

7

Решение. Выполняется неравенство

ln n

n=3

Поскольку ряд

> n .

7

7

∞

∑

7

расходится (умножение на const 6= 0 не влияет на сходимость),

n

n=4

то исходный ряд расходится по признаку сравнения.

∞

0,2 ln n

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд ∑

√5

.

7

Решение. Имеем

n=3

n

0,2 ln n

0,2n1/5

0,2

√5

<

=

.

n7/5

n6/5

n7

Степень для n в числителе подобрана так, чтобы разность пока-

зателей степени в знаменателе и числителе была больше единицы.

∞ 0,2

6

Поскольку ряд ∑

сходится как ряд Дирихле при p =

> 1 , то

n6/5

5

n=3

∞

исходный ряд сходится по признаку сравнения.

Теорема 3. Предельный признак сравнения. Пусть

∑ an и

∞

n=1

два знакоположительных ряда. Если существует конечный

∑ bn —