Материал: Числовые ряды (96

При невыполнении условия знакочередования используют при-

знак Дирихле,

который является обобщением признака Лейбница.

Теорема 9.

Признак Дирихле. Если последовательность an мо-

нотонно стремится∞ к нулю при n → ∞, а последовательность∞

частич-

ных сумм ряда

∑ bnограничена, то ряд

∑ anbn

сходится.

Если в качестве bn взять (−1)n или

(−1)n+1

, то получаем при-

n=1

n=1

знак Лейбница.

Если с помощью признака Лейбница легко доказывается сходи-

мость ряда n=1

−

n

то с помощью признака Дирихле можно

∞

n 1

∑ ( 1)

,

∑ sin αn для любого α и ∑ cos αn для

доказать сходимость рядов

∞

∞

любого α 6= 2πk .

n=1

n

n=1 n

Пример 35. Используя сходимость указанных рядов, исследо-

вать на абсолютную сходимость ряд

∑ sin n .

∞

Решение. Имеем

n=1

n

sin n

sin2 n

1

cos 2n

1

cos 2n

|an| =

n

≥

n

=

−

2n

=

2n

−

2n

= bn −cn.

∞

∞

сходится по признаку Ди-

Ряд ∑ bn расходится,

а ряд ∑ cn

рихле поэтому ряд n=1

−

расходится Следовательно ряд из

n=1

∞

n=1

,

∑

(bn

cn)

.

,

исход-

модулей расходится по признаку сравнения.

Таким образом,

ный ряд сходится условно.

1)

сходится абсолютно;

2)

расходится;

3)

сходится условно;

4)

сходится абсолютно;

5)

расходится;

6)

сходится условно;

7)

сходится абсолютно;

8)

расходится;

9)

сходится условно;

10)

сходится абсолютно;

11)

расходится;

12)

сходится условно;

13)

сходится абсолютно;

14)

сходится условно;

15)

расходится;

16)

сходится условно;

17)

сходится абсолютно;

18)

сходится абсолютно;

19)

сходится условно;

20)

сходится абсолютно.