Материал: Дискретизация и частотное разрешение

Дискретизация и частотное разрешение

Реферат

Дискретизация и частотное разрешение

Содержание

1. Число параметров или степеней свободы сигнала

2. Комплексный ряд Фурье для дискретизированного сигнала

3. Метод дискретизации Шеннона

4. Метод дискретизации и интеграл Фурье

5. Частотное разрешение сигналов. Приложение к анализу рентгеновских спектров поглощения атома в соединении

Литература

1. Число параметров или степеней свободы сигнала

Рассмотрим математические методы анализа дискретизированных сигналов и связь этих методов.

Рассмотрим теперь следующую задачу: пусть функция времениимеет спектр, не содержащий частот выше предельной верхней границы , а сама функция отлична от нуля на промежутке от 0 до. Возникает вопрос - какое число параметров (или число степеней свободы) требуется для определения такой функции?

Докажем, что имеется только независимых параметров для такой функции, и обсудим различные возможные способы выбора этих параметров, а также некоторые общие свойства таких функций.

 (1)

Прежде всего, следует отметить, что функция не является полностью определенной, если мы ограничиваемся заданием её значений только на интервале .

Существуют два различных способа доопределения функции, не вносящих дополнительной информации в функцию:

A.      Периодическая функция, поведение которой на промежутке от 0 до повторяется за пределами этого промежутка бесконечное число раз:

 (2)

B.      Функция одиночного сообщения, поведение которой удовлетворяет условию:

 (3)

Последний случай был рассмотрен Шенноном в методе дискретизации.

Начнем рассмотрение с первого случая и исследуем периодическую функцию с периодом . Разложение такой периодической функции в ряде Фурье имеет вид:

 (4)

где

 (5)

Будем полагать, что максимум частоты  точно соответствует одной из гармоник :

(6)

Ряд Фурье содержит конечное число слагаемых до целого . Для каждой определенной частоты мы имеем две компоненты и следовательно полное число компонент определяется равенством:

 (7)

включая постоянное слагаемое . Если продолжительность  сигнала достаточно велика, то формула (7) практически сводится к (1). При этом коэффициенты  представляют один из возможных вариантов выбора параметров.

Вместо действительного ряда Фурье (4) можно использовать комплексный ряд Фурье, как в уравнениях (1) и (2):

 (8)

где звездочка снова означает комплексно-сопряженное.

Вместо рядов Фурье, можно воспользоваться методом дискретизации периодической функции. Выберем  эквидистантных точек дискретизации в пределах одного периода , например:

 (9)

где

Введем обозначения для дискретных значений  функции f:

 (10)

в соответствии с условием периодичности (2).

дискретизация частотное разрешение сигнал

Исходную функцию  можно восстановить если известны  её дискретных значений в пределах одного периода . Представим в виде:

 (11)

гдеявляется импульсной функцией времени, центрированной на моменте времени  и повторяющейся с периодичностью . Для такой импульсной функции выберем следующее определение:

Используемая импульсная функция является нулевой для всех других точек дискретизации в пределах одного периода . Такую функцию с ограниченным частотным спектром, не превышающим , можнопостроитьвоспользовавшись тождеством Лагранжа:

 (12)

где .

Эта функция равна  при , когда знаменатель равен нулю. Она осциллирует и обращается в нуль в точках

пока не является кратным .

Для импульсной функциивоспользуемся выражением:

 (13)

Сравнивая теперь выражения (11), (13) и (8) мы получаем:

и следовательно

 (14)

т.е. выражение, которое напрямую связывает коэффициенты Фурье с дискретными значениями . Обратное соотношение получается из (8) и имеет вид:

 (15)

2. Комплексный ряд Фурье для дискретизированного сигнала

В комплексных рядах Фурье имеется  комплексных амплитуд , являющихся сопряженными дляВместе это дает независимых вещественных переменных, и имеющиеся  дискретных точек сигнала обеспечивают такое же числостепеней свободы. Легко получить прямую проверку выражений (14) и (15):

 (16)

поскольку при  мы имеем  слагаемых, дающих в сумме 1, тогда как при  получаем  гармоник с частотами, равномерно распределенными от 0 до , дающих в результате 0.

Вместо дискретизации в точках времени  можно брать точки , добавляя константу времени. Такая процедура даст набор новых дискретных значений , которые можно использовать вместо . Уравнения (14) и (15) будут заменены на:

При этом, между  и  существует набор  линейных соотношений.

3. Метод дискретизации Шеннона

Шеннон использовал метод дискретизации применительно к упомянутому выше доопределению B вида (3) функции одиночного сообщения f (t), которая считается нулевой для . Проблема решается в рамках следующего подхода.

Возьмем периодическую функциюf (t) с большим периодом  и будем считать, что принимает свои значения на интервале от 0 до  и обращается в ноль на интервалеот до .

 (17)

Если  и  являются большими, то соответствующие частоты  и  пренебрежимо малы по сравнению с максимальной частотой , и мы получаем