Формирование научных понятий в процессе изучения основ наук - одна из кардинальных проблем, непосредственно связанная с повышением качества обучения, воспитания и развития учащихся. На современном этапе развития народного образования и реализации основных идей «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года» ведутся поиски улучшения и рационализации обеспечения учебно-воспитательного процесса. Особая роль принадлежит фундаментальным понятиям основ наук, поскольку они - главный компонент содержания, основная единица знаний и форма мышления, важнейший объект учебной деятельности и фактор умственного развития учащихся. В «Концепции» предлагается предельно четко изложить понятия и ведущие идеи учебных дисциплин, обеспечить необходимое отражение в них новых достижений науки и практики.
В этих условиях необходим человек новой формации, способный к активному и творческому овладению знаниями, умеющий адекватно реагировать на меняющуюся ситуацию, моделировать и прогнозировать результаты своей деятельности, делать аргументированные выводы.
При изучении предметов естественно-научного цикла, и в первую очередь, при изучении предмета математики, учащимся постоянно приходится осуществлять деятельность по:
1) постановке учебной проблемы и целенаправленному поиску выхода из создавшейся проблемной ситуации;
2) выделению требуемого математического объекта из ряда других по наличию существенных признаков;
3) конструированию математических объектов с заданными свойствами;
4) применению теоретических знаний в различных учебных ситуациях: аналогичных, видоизмененных, нестандартных.
Для того чтобы учащиеся смогли на достаточно высоком уровне осуществить представленные виды деятельности, педагогическая наука и практика обучения делают ставку на общие теоретические системы понятий. Формирование теоретических систем понятий должно происходить в условиях активной и напряженной познавательной деятельности.
При существующей системе обучения решение этой задачи практически не достигается. Об этом свидетельствуют результаты, полученные в ходе нашего многолетнего педагогического эксперимента, в котором принимало участие около 4000 учащихся различных регионов (Великий Новгород, Саратов, Саратовская область, Нальчик, Рязань, Уфа, Алматы и др.).
В целях повышения идейно-теоретического уровня, мировоззренческой и практической направленности предметного обучения неоднократно совершенствовались программы и учебники по математике. Вместе с тем не были преодолены многие недочеты и противоречия в содержании предмета, в изучении математики, в знаниях учащихся, в существующей системе формирования фундаментальных математических понятий, т.е. таких понятий, которые изучаются на протяжении длительного периода времени; имеют широкую теоретическую и оптимизационно-прикладную направленность; способствуют формированию научного мировоззрения учащихся [9, 10].
До настоящего времени продолжает обращать на себя внимание низкое качество усвоения таких понятий, как «уравнение», «неравенство», «тождество», «функция», а также умений оперировать ими [8, 9].
Существующие до настоящего времени методики формирования понятий, и прежде всего, фундаментальных математических понятий, мало учитывают их истинную логико-познавательную природу, закономерности возникновения, развития и интеграции. При этом важно учитывать необходимость ретроспективного пересмотра понятий, с учетом взаимообратной связи, существующей между понятиями.
Важное требование к формированию понятий - не оставлять их в изоляции, а устанавливать между ними новые связи и отношения, вводить в теоретические подсистемы, а затем в теоретические системы. Интеграция строится на глубоком теоретическом обобщении на уровне ведущих идей и научных теорий и широким использованием внутрисистемных, внутрипредметных, межсистемных и межпредметных связей. Интеграция осуществляется с целью теоретического синтеза знаний, поиска общих закономерностей, присущих всем объединяемым понятиям, для усиления переноса знаний и использования их эвристических возможностей в измененных и нестандартных учебных ситуациях.
Формирование общих теоретических систем понятий, обеспечивающих высокий уровень интеллектуального развития личности - основная цель современного учебного познания и обучения. Поэтому именно в последние годы значительно возрос интерес математической науки, наук психолого-педагогического цикла (психологии, психодидактики) к образованию, дальнейшему развитию и интеграции систем понятий.
Выполненные нами теоретико-экспериментальные исследования [1, 2, 3, 4, 5, 6, 11] позволили установить, что система математических понятий - это иерархическая и функциональная целостность гносеологически и генетически связанных понятий, относящихся к конкретной области научных знаний, выраженных в определенной знаковой модели, которая адекватна их содержанию. учебный математический понятие
Формирование систем математических понятий - это сложный и длительный процесс последовательного логического оформления в мышлении учащихся результатов обобщения сущностных знаний и нахождения адекватных им материализованных, вербальных, символико-графических или каких-то других знаковых форм выражения.
Формирование систем понятий начинается с их образования. Системы понятий образуются разными способами:
1) путем обобщения уже сформированных понятий, относящихся к одной области знаний и объясняемых едиными научными теориями (исследование свойств функций: с помощью аппарата уравнений и неравенств и с помощью аппарата дифференциального исчисления);
2) путем методологического анализа фундаментальных математических понятий, установления различных взаимосвязей между ними;
3) смешанным путем.
При образовании системы понятий внимание учащихся направляется на отношение понятий, входящих в состав системы, на выделение их существенных признаков, на установление взаимосвязей и зависимостей между ними.
В экспериментальном обучении мы стремились образовать системы на минимуме математических фактов (понятий, свойств понятий, признаков) путем их всестороннего методологического анализа, позволяющего получить максимум новой информации из имеющихся концентратов знаний, а также как можно полнее использовать их функции в процессе обучения и формирования творческого мышления учащихся.
В основе образования и последующего формирования систем понятий лежат обобщение и систематизация.
Ориентируясь на логику, психологию, психодидактику, методологию математики, нами выделены последовательно нарастающие уровни обобщения понятий:
1. Понятийно-фактологический (знание определений темы, умение выделить существенные признаки понятий и установить их связь).
2. Понятийно-родовидовой, связанный с включением частных уже сформированных понятий в более общие (умение применять понятия в различных учебных ситуациях: аналогичных, измененных, нестандартных).
3. Понятийно-теоретический, связанный с образованием теоретических систем (подсистем) понятий в рамках определенной научной теории.
4. Идейно-теоретический, связанный с обобщением частных теоретических систем понятий в более общие на основе ведущей идеи и нескольких генетически связанных теорий (теория уравнений и неравенств; теория функций и др.).
5. Уровень моделирования и абстрагирования - это высший уровень на основе внутри- и межпредметной интеграции понятий и их методологического осмысления.
При определении теоретических систем понятий мы исходили из основной проблемы, стоящей перед средней общеобразовательной школой: формирование высокоразвитой личности, способной к активному, творческому овладению знаниями, умеющей анализировать, моделировать и прогнозировать результаты своей деятельности.
Теоретический анализ содержания школьного математического образования (в основном, это касается курсов алгебры и алгебры и начал анализа) позволил выделить, а затем и сформировать у учащихся следующие системы понятий:
1. Уравнения и неравенства.
2. Уравнения, тождества, неравенства.
3. Функции и их исследование с помощью аппарата уравнений и неравенств.
4. Уравнения, неравенства, функции.
5. Функции, производная, интеграл.
Формирование теоретических обобщений, а следовательно, и формирование теоретических систем понятий при обучении математике можно проводить на разных основах: гносеологической, генетической, операционной.
Обратимся к рассмотрению системы понятий «Уравнения, тождества, неравенства», формирование которой осуществляется с 5 по 11-й классы включительно.
1. Общая характеристика системы.
Научно-теоретическими основаниями системы понятий служат теория уравнений, неравенств, тождественных преобразований, теория функций. Ведущей идеей преемственного формирования и генерализацией знаний является раскрытие сущности понятий: «уравнение (неравенство)», «тождество», «функция» на основе концептуального и системно-деятельностного подходов. Основанием для развертывания всей совокупности знаний этой системы служит генетически исходное отношение, существующее между понятиями «уравнение», «неравенство», «тождество», - это понятие аналитического выражения.
Структуру теоретического ядра данной системы понятий составляют: 1) методы решения уравнений и неравенств; 2) приемы выполнения тождественных преобразований различных выражений; 3) методы доказательства тождеств; 4) методы и приемы доказательства неравенств (алгебраических и тригонометрических); 5) исследование педагогически адаптированных процессов реальной действительности, математическими моделями которых являются уравнения и неравенства, а также их системы. Сфера данной системы понятий представлена теми свойствами функций, которые составляют математическую основу процесса решения уравнений и неравенств; доказательства тождеств и неравенств. Такими свойствами являются: область определения, область значений, свойство монотонности. Периферию системы понятий представляют: решение различных видов уравнений, неравенств и доказательство тождеств и неравенств (алгебраических и трансцендентных), которые изучаются с 5 по 11-й классы включительно.
Уровневая структура рассматриваемой системы понятий, представляет диалектическое единство всеобщего, особенного и единичного.
В зависимости от выбранных методических подходов, раскрытие содержания рассматриваемой системы понятий может идти от теоретического ядра к периферии и наоборот.
2. Теоретические блоки (подсистемы) системы понятий «Уравнения, тождества, неравенства».
Первый теоретический блок представляют: 1) тождественные преобразования выражений (алгебраических и трансцендентных); 2) методы и приемы решения различных видов уравнений и неравенств (иррациональных, показательных, логарифмических, с модулем и др.).
Второй теоретический блок - доказательство тождеств и неравенств (алгебраических и трансцендентных).
Второй теоретический блок практически не рассматривается в школьных учебниках математики. Но именно математические факты данного блока находят широкое применение: а) при исследовании свойств функций; б) при решении оптимизационно-прикладных задач.
При формировании теоретических знаний второго блока (подсистемы) нами был использован генетический (содержательный) уровень, включающий четыре этапа [8].
Первый этап - раскрытие внутренней структуры методов доказательства тождеств и неравенств. Представим методы доказательства неравенств:
1. По определению неравенства на аналитическом языке.
2. Синтетический метод (использование опорных неравенств).
3. Использование свойств транзитивности неравенств.
4. Переход от неравенства к равенству.
5. Возведение обеих частей неравенства в натуральную степень.
6. Метод полной индукции.
7. Метод математической индукции.
8. Метод от противного.
9. Геометрический метод.
10. Использование элементов дифференциального и интегрального исчислений.
Второй этап - этап теоретического обобщения. На данном этапе раскрываются содержательные и процессуальные, внутрипредметные и внутрисистемные связи одного понятия с целым рядом других понятий. Учащиеся с небольшой помощью учителя (или при полной самостоятельности) выполняют следующие типы математических задач.
Задание 1. Дано: .
Доказать: .
Задание 2. Дано: .
Доказать: .
Задание 3. Дано: А, В, С - углы треугольника. Доказать неравенство: .
Второй этап можно считать завершенным, если учащиеся смогут: 1) с подробным обоснованием выделять всю последовательность выполняемых операций; 2) осуществлять аргументированные переходы от выполнения одних операций к другим; 3) объяснять, какой математический факт заложен в основу выполнения той или иной операции.
Третий этап - этап восхождения от абстрактного к конкретному.
Учащиеся при полной самостоятельности с подробным обоснованием выполняют типы математических задач.
Задание 1. Доказать неравенство. б, в, г - величины углов треугольника.
Доказать: .
Задание 2. Дано: .
Доказать: .