Курсовая работа (т): Геометрія Лобачевського

Геометрія Лобачевського

Зміст

Вступ

. Простір швидкостей і геометрія Лобачевського

. Фрідманська модель Всесвіту

. Рівняння синус-Гордона

Висновки

Література

Вступ

Легче остановить Солнце, легче двинуть Землю,

чем уменьшить сумму углов в треугольнике,

свести параллели к схождению, и раздвинуть

перпендикуляры к прямой на расстояние.

В.Ф. Каган

геометрія лобачевський фрідманський гордон

У третьому столітті до нашої ери, в Олександрії з'явився рукопис «Начала» Евкліда, в якому геометрія викладалася в строго систематичному вигляді. В основу побудови Евкліда покладено ряд первинних тверджень (аксіом), які не доводяться. Всі інші твердження (теореми) виводяться з аксіом логічно. Серед всіх аксіом Евкліда виділяється «аксіома про паралельні»: Дві прямі a і b, перетнуті третьою, перетинаються між собою з тієї сторони, де сума внутрішніх односторонніх кутів  і  менше суми двох прямих кутів (мал. 1).

Мал. 1

Припустимо, для простоти, що кут прямий (мал. 2). Через точку В можна провести в правій півплощині різні промені, що перетинають пряму а. При обертанні проти годинникової стрілки ми зустрінемо перший з непересічних променів; він називається паралельним прямій а; кут, який цей промінь утворює з променем ВА, називається кутом паралелізму. Пряма b, що містить такий промінь, теж називається паралельною а.

Мал. 2

Все сказане справедливе незалежно від аксіоми Евкліда, яка стверджує, що кут паралелізму - прямий, так що при  (d - позначення величини прямого кута.) промінь b перетинає пряму а. Якщо ми не приймемо цієї аксіоми, то нам доведеться обмежитися більш загальним і менш певним твердженням, що кут паралелізму  не перевершує d. На цьому припущенні й засновує Лобачевський свої подальші міркування.

Якщо  = d, то аксіома Евкліда виконується, і з неї випливають всі властивості звичайної геометрії - евклідової. Якщо ж , то з цього припущення випливають зовсім інші наслідки, які складають зміст нової геометрії Лобачевського, яку він називає «уявною», а ми тепер називаємо геометрією Лобачевського.

Багато теорем «уявної» геометрії, до яких при цьому приходить Лобачевський, явно суперечать нашим звичним уявленням, і потрібна була велика сила думки, щоб не прийняти ці протиріччя за логічні. Лобачевський володів цією силою і розвинув свою геометрію з великою повнотою, завершивши її побудову своєрідною тригонометрію (яку прийнято тепер називати гіперболічною).

Важливим розділом геометрії Лобачевського є вчення про суму кутів трикутника. Розглянемо трикутник ABC (мал. 3), і будемо обертати пряму BC (b) проти годинникової стрілки навколо точки В. Якщо ми не приймаємо аксіоми Евкліда, то повинні припустити, що пряма b «відхиляється» від прямої а й стане паралельною їй ще перш, ніж сума кутів  стане рівною 2d. З іншого боку, легко показати, що при обертанні прямої b величина кута  при точці С прямує до нуля. Звідси випливає, що при деякому положенні прямої b сума кутів  буде менша 2d. Можна показати також, що нерівність  справедлива для будь-якого трикутника, так що в геометрії Лобачевського сума внутрішніх кутів трикутника менша двох прямих.

Розглядаючи число, , яке називається дефектом трикутника, Лобачевський виводить наступну чудову формулу:

, (1)

де S - площа трикутника, a R - число, однакове для всіх трикутників. Величину R, що має розмірність довжини, називають радіусом кривини простору Лобачевського, а величину  - кривиною цього простору. У просторі Евкліда , і його кривина вважається рівною нулю.

Радіус кривини використовується у всіх формулах гіперболічної тригонометрії. Так, наприклад, має місце формула

, (2)

в якій  - кут паралелізму (мал. 2),

 -«стрілка», - довжина перпендикуляра АВ.

Варто тепер припустити, що , тобто що кривина дорівнює нулю, і ми отримаємо

а це означає, що кут паралелізму - прямий, - твердження, рівносильне аксіомі Евкліда. Ось чому Лобачевський вважав, що евклідова геометрія є «граничним» випадком його «уявної» геометрії. Формули (1) і (2) показують, що відмінності між евклідовою і неевклідовою геометріями тим менші, чим більший радіус кривини простору. З іншого боку, ці відмінності будуть, насамперед, позначатися на фігурах великих розмірів: так, для трикутника ці відмінності збільшуються разом з його площею, а для паралельних прямих - разом з зростанням «стрілки» (Звідси випливає, що в геометрії Лобачевського не існує подібних фігур).

Ідеї Лобачевського не зустріли розуміння серед його сучасників. Тільки великий німецький математик Гаусс оцінив з гідністю, але він писав про це своїм друзям в приватних листах, які були опубліковані після смерті Лобачевського. У Росії твори Лобачевського зустрічали тільки грубі негативні відгуки і навіть образливі глузування. Лише один математик, товариш Лобачевського по кафедрі, казанський професор П. І. Котельников зважився в публічній промові вимовити пророчі слова: «Праця Лобачевського рано чи пізно знайде своїх поціновувачів».

Таким чином, виявилося, що в евклідовому просторі можна побудувати модель площини Лобачевського; цей факт і розсіяв сумніви в несуперечності неевклідової геометрії і швидко привів її до загального визнання.

Інтерес, викликаний знайомством з ідеями Лобачевського, мав важливі наслідки. З 70-х років минулого століття почали інтенсивно розроблятися проблеми підстав геометрії. До початку нашого століття були побудовані цілком строгі виклади цієї науки (Д. Гільберт, В.Ф. Каган), і почалася робота з обгрунтування арифметики, теорії множин, теорії ймовірностей і логіки, яка продовжується і в даний час. В останні десятиліття ця робота стала досить актуальною, отримавши додатки до теорії математичних машин.

1. Простір швидкостей і геометрія Лобачевського

Основний постулат механіки Ньютона - принцип відносності Галілея - свідчить: всі закони механіки у всіх інерціальних системах відліку однакові (система відліку називається інерціальною, якщо в ній будь-яке тіло має властивість зберігати стан спокою або прямолінійного рівномірного руху при відсутності діючих на нього сил). Іншими словами: всі інерціальні системи відліку рівноправні: не існує такого механічного експерименту, за допомогою якого можна було б встановити, що деяка система відліку лежить в стані спокою, а решта рухаються. Виникає питання: чи не можна знайти таку абсолютно нерухому систему відліку, використовуючи які-небудь інші фізичні ефекти? Наприкінці ХIX століття багатьом фізикам здавалося, що таку систему відліку можна знайти, проводячи дослідження зі світлом. До цього часу було експериментально встановлено, що швидкість світла не залежить від швидкості руху його джерела. Світло - хвильовий рух, а всі відомі види хвильового руху володіють вказаною властивістю. Але саме ця властивість дозволяє визначити швидкість системи відліку відносно цього середовища, в якому поширюються хвилі. Наприклад, вимірюючи швидкість звуку в різних, напрямках, можна встановити, рухаємось ми відносно повітря чи ні, так як швидкість звуку в напрямку нашого руху відносно повітря повинна бути меншою ніж в протилежному напрямку. Світло, як припускали фізики того часу, також повинно розповсюджуватись в деякому нерухомому середовищі, яке називали ефіром. Тому, вимірюючи швидкість світла в різних напрямках ми можемо знайти швидкість, з якою Земля рухається відносно нерухомого ефіру. Такий експеримент був проведений в 1887 році американськими фізиками А. Майкельсоном і Е. Морлі, однак результат виявився неочікуваним: не дивлячись на те, що Земля рухається навколо Сонця зі швидкістю 30 км/с, швидкість світла у всіх напрямках одна і та ж.

З 1887 року проводились найрізноманітніші експерименти по знаходженню швидкості світла, але результат однаковий: швидкість світла в порожнечі завжди одна і та ж, незалежно від того, в якій інерціальній системі відліку її вимірюють. Цей результат ніяк не може бути пояснений з точки зору класичної механіки. Дійсно, ми знаємо, що світло від Сонця розповсюджується зі швидкістю 300 000 км/с. Уявимо собі ракету, яка віддаляється від Сонця зі швидкістю 15 000 км/с. Космонавт, який летить в ракеті, вимірює швидкість світла, що розповсюджується від Сонця. Якою буде швидкість? З точки зору класичної механіки, ця швидкість має бути рівна 15 000 км/с. В дійсності вона як і раніше рівна 300 000 км/с. Який висновок можна з цього зробити? Висновок очевидний: закони класичної механіки вірні лише наближено при малих швидкостях відносно руху. При великих швидкостях, близьких до швидкості світла, вони порушуються. Які ж закони механіки при великих швидкостях? Щоб відповісти на це питання, необхідно проаналізувати всі вихідні положення механіки. Почнемо з принципу відносності Галілея. Очевидно, факт стабільності швидкості світла ні в якому разі не йому суперечить, більше того, швидкість світла є однією з постійних, яка входять в закони електродинаміки. Тому можна сказати, що не тільки закони механіки, але й закони електродинаміки однакові у всіх інерціальних системах відліку.

Можемо вважати експериментально доведеним наступний закон природи: всі закони фізики однакові у всіх інерціальних системах відліку. Цей фундаментальний закон, вперше сформульований Ейнштейном, складає основу спеціальної теорії відносності. Наступним основним положення класичної механіки є твердження про те, що проміжок часу між двома подіями, виміряний в різних системах відліку, однаковий. Яким повинен бути істинний закон, правильний як при малих, так і при великих швидкостях? Розглянемо дві інерціальні системи відліку, що рухаються відносно одна одної з деякою постійною швидкістю. Кожна система відліку містить прямокутну систему координат і свій відлік часу. Факт сталості швидкості світла дозволяє ввести зручну одиницю виміру часу в обох системах - той проміжок часу, за який світло проходить відстань в один метр. При такому вибору одиниці виміру часу швидкість світла рівна 1, а швидкість буд-якого тіла - невизначене число, менше одиниці. Будемо вважати, що осі координат в обох системах паралельні, а швидкість другої системи відносно першої направлена вздовж осі Ох. Припустимо, що дві дії фіксуються в першій і другій системах відліку. Нехай, наприклад, в першій системі відліку різниці координат цих дій - , а в другій - ; проміжок часу між діями в першій системі відліку - , в другій - . Як пов’язані між собою ці величини? Виходячи з принципу відносності, ми відразу можемо сказати, що , , тобто довжини в напрямку, перпендикулярному відносній швидкості систем, однакові. Уявимо, що ми стоїмо на пероні поряд зі стовпом висотою 3 м, повз нас проходить поїзд, дах якого находить на одному рівні зі стовпом. З цього ми робимо висновок, що висота вагона в нашій системі відліку рівна 3м. Пасажир з вікна поїзда теж бачить, що дах вагона знаходить на рівні кінця стовпа, тому в його системі відліку висота вагона теж рівна 3м. Маємо, , . Лишилось встановити зв'язок між . Нехай у вагоні поїзда, що рухається, встановлена лампа, а прямо над нею, на висоті 1м, - дзеркало (мал.1).

Мал. 1

Розглянемо два варіанти. Подія 1 полягає в тому, що лампа загоряється і відразу гасне. Промінь світла доходить до дзеркала, відбивається від нього і повертається до лампи. Подія 2 полягає в томі, що фотоелемент, який знаходиться біля лампи, фіксує повернення відображеного променя світла. Найдемо інтервал часу між цими варіантами в системі відліку, що зв’язана з вагоном, і в системі відліку зв’язаній з Землею. В системі відліку вагона події 1 і 2 відбулися в одній і тій же точці, тому . Між подіями 1 і 2 світло встигло пройти відстань 2м, тому  (в метрах світлового часу). В системі відліку Землі події 1 і 2 відбулися в різних точках. Позначимо різницю координат цих точок через . Між подіями 1 і 2 світло пройшло відстань, тому м (швидкість світла однакова у всіх системах відліку). Отже, інтервал часу між двома подіями, виміряний в різних системах відліку виявляється різним. Відмітимо, якщо швидкість вагона мала, тобто мале , то  ≈ 2м = , тому різниця в інтервалах часу проявляється лише при великих швидкостях.

Із мал.1 можемо зробити висновок: . Цей вираз, який називається інтервалом між подіями, рівний подвоєній висоті зображеного на малюнку трикутника. Для інтервалу між подіями маємо вираз

. (1)

Таким чином, просторовий і часовий проміжки між двома подіями в різних системах відліку різні, величина ж інтервалу (1) між ними однакова у всіх системах відліку.

Перейдемо від однієї системи відліку до другої. В чотирьохвимірному просторі - цьому часу буде відповідати перехід від одної системи координат  до другої. При цьому для будь-якої пари подій - точок простору - часу - величина інтервалу (1) не зміниться. Тому величину інтервалу (1) приймемо за відстань між подіями. Жодне тіло не може рухатись зі швидкістю, більшою за швидкість світла, тому відстань між двома подіями «в житті» одного і того ж тіла виражається дійсним числом. Дві події «в житті» двох різних тіл вважаються одночасними, якщо інтервал між ними рівний нулю. Якщо ж відстань між двома подіями, знайденими за формулою (1), виражається уявним числом, то ці події не можуть вплинути одна на одну. Для таких подій зручно ввести відстань за допомогою формули: