Курсовая работа (т): Геометрія Лобачевського

. (2)

Очевидно, що певна відстань не залежить від вибору системи відліку.

Іноді зручно замість чотирьохвимірного простору розглядати трьохвимірний простір швидкостей. Пояснимо це. Виберемо деяку систему відліку. Нехай  - координати вектора швидкості деякого тіла в цій системі відліку. Зобразимо швидкість тіла точкою в трьохвимірному просторі з координатами (). Аналогічно вчинимо з іншими тілами. Простір, в якому показано правило точки зображають швидкість тіл і називається простором швидкостей.

В подальшому для простоти викладу ми обмежимось випадком руху тіл в площині. Тоді простір - час можна вважати трьохвимірний, а простір швидкостей - двохвимірний. Проаналізуємо як влаштований простір швидкостей. Насамперед будь-яке тіло має швидкість, меншу швидкості світла, тому простір швидкостей складається лише з точок що знаходяться всередині кола, радіус якого 1. Сама ж система відліку зображається центром цього кола - її швидкість відносно неї рівна нулю. Тіла, що рухаються відносно один одного в одному й тому ж напрямку зображаються точками, які лежать на одній хорді. Якщо ми перейдемо в другу систему відліку, то при цьому, очевидно, кожна точка всередині кола перейде в певну точку всередині того ж кола, а точки що обмежують його окружність - в точки цієї ж окружності. Дійсно, в новій системі відліку швидкості тіл будуть іншими, однак вони як і раніше будуть менші за швидкість світла; сама ж швидкість світла залишиться такою ж. Тіла, що рухаються відносно один одного в одному й тому ж напрямку при заміні системи відліку залишаться рухомими відносно один одного в одному й тому ж напрямку, тому точки, що лежать на одній хорді, перейдуть в точки, що так само лежать одній хорді.

Таким чином, простір швидкостей - це внутрішність круга радіуса 1. Центр кола відповідає системі відліку. При заміні системи відліку точки кола переходять в точки цього ж кола, причому точки,що лежать на одній хорді, переходять в точки, що лежать на одній хорді. Враховуючи модель Келі - Клейна, робимо висновок: простір швидкостей спеціальної теорії відносності є простором Лобачевського. При цьому переході від однієї системи відліку до другої відповідає деяке переміщення в просторі Лобачевського.

Легко визначити, що відстань s точки з координатами () від центра кола, рівна швидкості тіла відносно системи відліку, пов’язане зі швидкістю V цього тіла відношенням .

Знайдемо формулу для обчислення відносних швидкостей двох тіл, які рухаються в одному напрямку. Для цього розглянемо, наприклад, таку задачу. Ракета вилетіла від Землі зі швидкістю  в напрямку осі Ох. Космонавт, який летить в ракеті вистрілює із рушниці в напрямку руху ракети. Припустимо, що швидкість кулі відносно ракети рівна  і направлена вздовж осі Ох в системі відліку ракети. Потрібно знайти швидкість кулі відносно Землі. Зобразимо швидкість кулі  і швидкість Землі  в системі відліку ракети точками в просторі швидкостей (ал..2).

Мал. 2

При цьому швидкість ракети відповідає центру кола. Швидкість кулі  відносно Землі рівна сумі швидкості ракети  відносно Землі і швидкості кулі  відносно ракети так як довжина відрізка ЗП рівна сумі довжин відрізків ЗР і РП. Отже,

,

звідси слідує:

, (3)

Врахувавши, що в момент вистрілу  Тоді в системах відліку Землі і ракети рівняння руху кулі мають вигляд  і  відповідно. Підставляючи в перше рівняння значення  із формули (3), отримаємо:

.

Згадаємо, що в всіх системах відліку значення інтервалу повинно бути одним і тим же, тобто . Виключаючи з цих рівнянь  і виражаючи  через , отримаємо:

; (4)

.

Отримані формули (4) називаються перетвореннями Лоренца. Якщо вимірювати час в секундах, а не в метрах, то в формулах (3), (4) варто замінити  і  на  і , а ,  і  - на ,  і , де  - швидкість світла. Тоді ці формули матимуть вид:

;

.

У випадку коли швидкість ракети набагато менша ніж швидкість світла, ці формули перетворюються в прості формули ньютонової механіки:

;

;

.

Якщо ж, навпаки, швидкість ракети близька до швидкості світла, то формули (3), (4) дуже відрізняються від ньютонових.

Зроблений нами висновок формул (3), (4) показує, що залучення ідей геометрії Лобачевського до побудови спеціальної теорії відносності виявляється досить плідною. Використання геометрії Лобачевського дозволяє без великого зусилля описувати складні фізичні процеси, наприклад, проводити кінематичні розрахунки ядерних реакцій. При цьому, виявляється, що формула Ейнштейна - Пуанкаре для відносної швидкості частинок

(де,  і  - швидкості частинок,  - кут між напрямками руху цих частинок,  - відносна швидкість частинок) є прямий наслідок теореми косинусів Лобачевського, імпульс і кінетична енергія частинки являється довжиною окружності і площею круга в просторі Лобачевського, а знаменита формула Ейнштейна для дефекту маси  еквівалентна формулі Лобачевського для суми кутів трикутника. У всіх цих формулах роль кута радіуса кривини простору Лобачевського відіграє швидкість тіла. Тому з цієї точки зору різниця між теорією відносності і класичною механікою точно така, як і між геометрією Лобачевського і геометрією Евкліда. Підхід до теорії відносності з точки зору геометрії Лобачевського використовувався і використовується в наукових дослідженнях багатьох вчених.

.2 Фрідманівська модель Всесвіту

Серед всіх фізичних полів особливе місце займає гравітаційне поле. Дійсно, заряджені тіла взаємодіють з електричним полем, незаряджені - не взаємодіють. Залізна кулька притягується магнітом, дерев’яна чи пластмасова кулька магнітом не притягується. Єдине поле, дії якого піддаються всім тілам - гравітаційне. Кинемо два тіла - м’яч і гирю - з однаковою швидкістю в одному і тому ж напрямку, і ми побачимо, що вони рухаються абсолютно однаково. Ейнштейн, розмірковуючи над цим явищем прийшов до відкриття загальної теорії відносності.

Розглянемо два тіла - м’яч і гирю в чотирьохвимірному просторі - часу. Те, що два тіла кидають з однієї ж точки в одному і тому ж напрямку, означає, що в чотирьохвимірному просторі - вектори часу, що дотикаються до світових ліній в початковій точці співпадають. Те, що вони рухаються однаково, означає, що їх світові лінії співпадають. Таким чином, якщо в даній точці простору - часу, задати деякий напрямок - вектор початкової швидкості, то з цієї точки в заданому напрямку виходитиме одна лінія - світова лінія тіла, кинутого з заданою початковою швидкістю. При відсутності гравітаційного поля всі тіла рухаються по прямим лініям. При наявності гравітаційного поля світові лінії перестають бути прямими, але вони однакові для тіл будь-якої природи, гравітаційне поле «скривлює» простір - час, і лінії, по яким рухаються тіла, хоча і залишаються геодезичними, перестають бути прямими. Таким чином, згідно Ейнштейну, ніякого гравітаційного поля не існує, а відхилення тіл від прямолінійних траекторій пояснюється лише наявністю кривизни у нашого простору - часу. Нехай чоловік тримає в руці відро з водою. Він, звичайно, відчуває масу відра. Але як може, здатися на перший погляд, відро покоїться, і, отже, безглуздо говорити, чи рухається воно по геодезичній або по якій-небудь іншій лінії. В дійсності це міркування невірне. Справді, відро покоїться лише у просторі (у системі відліку Землі), в просторі часу ж воно рухається, так як безперервно вимірюється час. Чоловік не дає відру рухатися по геодезичній лінії, тому він і відчуває протидію відра. Варто чоловіку відпустити відро, як воно відразу ж почне рухатися по геодезичній лінії в просторі - часу, тобто даному випадку впаде на землю.

Виникає й інше питання. Якщо наш простір - час має кривину, створювану тілами з великою масою, то й світло має рухатися не по прямих лініях - лінії поширення світла мають скривлюватись поблизу великих мас. Чи спостерігається такий ефект? Так. Багато експериментів, проведених астрономами, вказують на те що в окружності великих мас викривлення траєкторій світла дійсно має місце, причому кількісно воно знаходиться в повній відповідності з рівняннями загальної теорії відносності.

Загальна теорія відносності зіграла велику роль в формуванні сучасної космології, породивши велику кількість різноманітних моделей Всесвіту. Перша з цих моделей була запропонована Ейнштейном. Він міркував приблизно так. Кожне тіло великої маси створює біля себе кривину простору. Припустимо, що щільність матерії у просторі велика. Тоді ця матерія може викривити простір настільки, що воно замкнеться, перетворившись на щось типу тривимірної сфери. Такий простір, звичайно ж, не буде мати жодних границь, проте він буде кінцевим. Пізніше модель Ейнштейна була піддана серйозній критиці, і він змушений був від неї відмовитися. Проте вказаний Ейнштейном напрям в космології став активно розвиватися. Підсумком цього розвитку з’явилась модель Всесвіту, створена в 1922 році радянським вченим А.А. Фрідманом.

Основною гіпотезою, що лежить в основі фрідманівської моделі Всесвіту, є припущення про те, що Всесвіт ізотропний і однорідний (тобто влаштована однаково у всіх точках і у всіх напрямках) в дуже великому масштабі. У ті роки, коли Фрідман створював свою модель, ще не було достовірних експериментальних даних, що підтверджують гіпотезу однорідності та ізотропії. Перші дані були отримані в 1929 році американським астроном Е. Хабблом, що вивчав розподіл галактик. Проте уявити собі реальну виключно високу степінь ізотропії простору вдалося лише після того, як у 60-х роках американськими астрономами А. Пензіасом і Р. Вілсоном було відкрите і досліджене так зване реліктове теплове випромінювання. Ступінь ізотропії цього випромінювання надзвичайно високий (його температура по різним напрямкам вимірюється не більше ніж на 0,01%). Таким чином, основне положення, на яке опирався Фрідман, в даний час можна вважати експериментально обґрунтованим.

Фрідманом був проведений детальний аналіз рівнянь Ейнштейна з врахуванням виконання вказаної умови. Виявилось, що у кожний даний момент часу кривина простору в цьому випадку постійна. При цьому, якщо щільність речовини у Всесвіті менша деякої постійної величини, то кривина від’ємна, якщо рівна - то нульова, якщо більше - то додатна. У всіх трьох випадках Всесвіт повинен безперервно розширюватися з плином часу. Цей висновок Фрідмана було також експериментально підтверджено в 1929 році Хабблом, який дійсно виявив розширення Всесвіту. Таким чином, фрідманівська модель, отримана чисто теоретичним шляхом, блискуче підтвердилася експериментом.

Відмітимо, що Всесвіт однорідний і ізотропний лише наближено, тому і кривина реального простору не постійна. Однак, спираючись на експериментальний матеріал, природно вважати, що кривина у визначеному понятті близька до постійної, і, отже, фрідманівська модель досить добре описує реальний простір в рамках загальної теорії відносності.