Курсовая работа (т): Геометрія Лобачевського

Щільність речовини у Всесвіті істотно менша критичної, тому наш простір описується геометрією Лобачевського. Який же висновок про топологічну структуру Всесвіту можна з цього зробити? Чи можна, наприклад, стверджувати, що наш світ незамкнутий або, навпаки, замкнутий, як у моделі Ейнштейна? Це питання дуже складне. Справа в тому, що при одній і тій же кривині рімановий простір може мати досить різноманітну структуру. Насправді, у звичайному трьохвимірному просторі є дві поверхні нульової кривини принципово різного типу - площина і циліндр. Площина нескінченна у всіх напрямках. На циліндрі же можна вказати такий напрямок, рухаючись вздовж якого ми в решті решт повернемося у вихідну точку. У трьохвимірному просторі немає замкнутої поверхні нульової кривини, однак така поверхня з’являється вже в чотирьохвимірному просторі. Це так званий тор Кліффорда, рівняння якого записується у вигляді:

Тор Кліффорда має форму бублика (в чотирьохвимірному просторі), тому його розміри скінченні, хоча він і необмежений. Існують поверхні нульової кривини і більш складнішої структури. Аналогічна структура спостерігається і для простору додатної і від’ємної кривизни. При цьому рівнянням Ейнштейна однаково задовольняють всі можливі топологічні типи таких просторів.

Вперше на можливість складної топологічної структури реального світу звернули увагу В. Кліффорд та Ф. Клейн у зв’язку із зробленою ними спробою пояснити так званий гравітаційний парадокс. Цей парадокс полягає в тому, що при розгляді в рамках ньютонової теорії тяжіння простору, рівномірно заповненої речовини, потенціал гравітаційного поля являється нескінченним. Історично гравітаційний парадокс був вирішений в рамках загальної теорії відносності, а потім стало зрозуміло, що він поширюється і ньютонову теорію, якщо замість безпосередньо не спостережуваного гравітаційного потенціалу розглядати реально спостережувані величини. Кліффорд і Клейн хотіли довести гравітаційний парадокс іншим способом: вони припустили, що реальний (ньютоновий) простір має складну топологічну структуру (наприклад, структуру тора) і в ньому немає нескінченності. Роботи Клейна і Кліффорда заклали основу новому напрямку в математиці, який досліджує можливі топологічні типи просторів сталої кривизни.

На даний час ми маємо повну класифікацію можливих топологічних типів трьохвимірних просторів додатної кривини і незакінчену класифікацію типів просторів нульової кривини. Оскільки є всі підстави вважати, що реальний простір має від’ємну кривину, то найбільшу зацікавленість з точки зору космології являє класифікація топологічних типів просторів від’ємної кривини. Виявляється, що задача про класифікацію цих просторів настільки складна, що не дивлячись на великі зусилля багатьох вчених, до цих пір не вирішена.

Чи можна визначити топологічний тип Всесвіту, з точки зору астрономії? В принципі, можна. Наприклад, якби ми кожну зірку бачили одночасно в двох протилежних напрямках, ми б відразу сказали б, що Всесвіт являє собою сферу. З допомогою аналогічних спостережень можна виявити і інші складніші топологічні структури простору.

Таким чином, загальна теорія відносності і космології ставлять цілий ряд проблем геометрії Лобачевського в центр уваги багатьох вчених.

.3 Рівняння синус-Гордона

Вивчення все можливих хвильових процесів займає одне з центральних місць в фізиці. Наближене описання широкого класу хвильових процесів дається лінійними диференціальними рівняннями гіперболічного типу. Тому і хвилі, які описуються цими рівняннями, називаються лінійними.

Англійський інженер Дж. Рассел зауважив, що при деяких умовах на воді утворюється відокремлена хвиля, здатна розповсюджуватися без зміни форми і втрати енергії. Такі хвилі називають солітонами. Солітони довгий час не привертали особливої уваги вчених. Було, встановлено, що наявність солітонів типова для багатьох нелінійних хвильових процесів. Одночасно виявилося властивість солітонів зберігати свою форму після взаємодії з іншими солітонами, що надає їм схожість з частинками.

У процесі розвитку теорії нелінійних хвиль виділилося кілька найпростіших нелінійних диференціальних рівнянь, розв’язання яких моделюють основні властивості таких хвиль. Одним з них є рівняння синус-Гордона:

,   (1)

де  - мішана похідна другого порядку від функції  Рівняння цього типу серед своїх розв’язків має солітони. Воно описує широкий клас найрізноманітніших явищ. До таких явищ відносяться, наприклад, поширення дислокацій в кристалах, поширення імпульсів по мембрані живої клітини, розповсюдження магнітного потоку в надприродних джозефсонівских лініях, коливання в механічних передавальних лініях, взаємодія елементарних частинок.

Рівняння (1) відоме і в геометрії. По суті, воно з’явилося ще в 1878 році в роботі видатного російського математика П.Л. Чебишева «О кройке одежды». У цій роботі Чебишев розглянув задачу про «одягання» поверхні.

Пояснимо це. Уявимо рибальську сітку, вузли якої закріплені так, що за будь-яких згинаннях сітки довжину протилежних «сторін» будь-якого «сіткового чотирикутника» однакові (цю сітку називають чебишевою). Накинемо таку сітку на яку-небудь поверхню і введемо з її допомогою внутрішніх координат  на цій поверхні. В цьому випадку метрична форма поверхні матиме вигляд:

де  - кут між лініями сітки. Як показав Чебишев, гауссова кривина  поверхні пов’язана з кутом  рівнянням

.

У разі сталої від'ємної кривини -1 (площини Лобачевського) це рівняння переходить в рівняння синус-Гордона.

Властивості розв'язків рівняння синус-Гордона вперше досліджував Гільберт для доведення теореми про незануреність площини Лобачевського в тривимірному евклідовому просторі. Доведення цієї теореми складається з двох частин. У першій частині встановлюється, що асимптотичні лінії постійної від'ємної кривини утворюють чебишеву сітку(цей факт був відомий і раніше). Отже, кут між асимптотичними лініями повинен задовольняти умови рівняння (1). Але на гладкій поверхні постійної від'ємної кривини кут між асимптотичними лініями обов'язково задовільняє умову

 (2)

Гільберт (у другій частині доведення) встановив, що для будь-якого розв’язку рівняння (]) умова (2) обов’язково порушується, якщо тільки  змінюються в досить великих межах. Оскільки на площині Лобачевського  повинні змінюватися від , то це і доводить незануреність всієї площини Лобачевського в трьохвимірному евклідовому просторі.

На перший погляд може здатися, що з точки зору геометрії представляють інтерес лише ті розв’язки рівняння синус-Гордона, які задовольняють умову (2) і, отже, задані не на всій поверхні змінних . Виявляється, що це не так. Розглянемо поверхню, яка складається з двох склеєних по ребру псевдосфер Бельтрама, і яку-небудь асимптотичну лінію на ній.

Мал. 3

Лінія торкається ребра так, що залишається гладкою просторовою кривою, тобто, хоча вона і переходить через згин поверхні, сама вона ніякого згину не має. Вчений В. Грибков  встановив, що, хоча на ребрі розглянутої поверхні кут z між асимптотичними лініями перетворюється в нуль (всі асимптотичні лінії дотикаються до ребра), він залишається гладкою функцією змінних x, y:

. (3)

Відмітимо, що функція (3) задана на всій площині змінних x, y.

Розглянутий приклад показує, що негладким поверхням постійної від’ємної кривини можуть відповідати гладкі розв’язки рівняння синус-Гордона по всій площині змінних x, y. Вірне і обернене твердження. Е. Г. Позняк довів, що будь-якому розв’язку рівняння синус-Гордона на всій поверхні змінних x, y відповідає деяка (негладка) поверхня сталої від’ємної кривизни. При цьому лініям  відповідають особливі точки цієї поверхні. Результат Е.Г. Позняка дозволяє дати геометричну інтерпретацію будь-якому конкретному розв’язку рівняння синус-Гордона. Зокрема, поверхня, яка зображена на мал. 3 являє собою реалізацію так званого односолітонного розв’язку (3) рівняння (1).

Зараз відомо декілька методів знаходження розв’язків рівняння синус-Гордона. Застосування цих методів пов’язане з великими труднощами, тому розвиток вказаного геометричного підходу до рівняння синус-Гордона є досить перспективним. Цей підхід цікавий ще тим, що він може бути розповсюджений на цілий ряд інших рівнянь математичної фізики.

Висновок

Відкриття нової геометрії відомими вченими виявила великий вплив на розвиток всієї науки. Найбільш яскраво це виразилося у подальшому поглибленні наших уявлень про поняття простору. Можна цілком чітко сказати, що основні напрямки сучасної фізики пов’язані з розвитком цього поняття. Однак роль геометрії Лобачевського цим не вичерпується. Останнім часом вона все ширше і ширше застосовується в найрізноманітніших розділах природознавства - у фізиці, хімії, біології і, звичайно ж, у самій математиці. Роль геометрії Лобачевського в наші дні визначається, насамперед, тим, що вона є простою (з точки зору вивчення) моделлю ріманових просторів від’ємної кривизни, на якій реалізуються всі основні властивості таких просторів. Завдяки цьому інтерес до неї не тільки не слабшає, але і помітно зростає. Розглянуті мною простір швидкостей, фрідманівська модель Всесвіту і рівняння синус-Гордона дозволяють уявити собі загальну ситуацію, в якій геометрія Лобачевського входить в контакт з сучасною фізикою.

Геометрія Лобачевського стала прикладом для побудови інших неевклідових геометрій: сферичної геометрії, еліптичної геометрії або геометрії Рімана, недезаргової геометрії. Ці геометрії складають далеко не повний список всього многовиду існуючих геометрій. Неевклідові геометрії відіграли велику роль при побудові А. Ейнштейном теорії відносності, в якій необхідно було прийняти факт викривлення оточуючого нас простору.

Лобачевський встановив, що його геометрія має пряме відношення до зоряної геометрії, тобто до геометрії космічного простору. На нашій планеті в рамках звичайних земних масштабів люди використовують геометрію Евкліда як найбільш просту, що вірно відображає реальну дійсність. Справа зовсім змінюється, коли ми переходимо від земних масштабів до надто великих масштабів макросвіту або надто малих масштабів мікросвіту. Вважати, що і тут діє геометрія Евкліда, було б невірно. Досягнення фізики говорять про те, що фізичні простори надто великих масштабів ведуть себе як неевклідові.

Значний крок в розвитку неевклідової геометрії був зроблений Г. Ріманом. Він вніс в число аксіом наступну пропозицію: кожна пряма, яка лежить в одній площині з даною прямою, перетинає цю пряму. Це означає, що в геометрії Рімана взагалі немає паралельних прямих, сума кутів довільного трикутника на відміну від геометрії Евкліда і геометрії Лобачевського більше 2d. З’ясувалося, що геометрія Рімана несуперечлива. При цьому простір Лобачевського став одним з часткових випадків ріманових просторів.

Наука наблизилась до відповіді на поставлене запитання про геометрію Всесвіту після відкриття на початку ХХ століття Ейнштейном спеціальної і загальної теорії відносності. Існувала думка, що загальна теорія відносності представляє собою перший приклад суто фізичної теорії, яка з’явилася в результаті математичного стрибка в невідоме.

Із загальної теорії відносності випливає, що простір викривлений. Це пояснюється тим, що поблизу тіл, які мають велику масу (наприклад, поблизу Сонця, зірок), закони ньютонівської механіки змінюються, геометрія простору стає неевклідовою. Добре відомо, що однією з поширених моделей прямої є промінь світла. Однак світло, яке проходить повз Сонце або яких-небудь зірок, під впливом сили тяжіння згинає свою траєкторію.

Геометрія Лобачевського знаходить в наш час важливе застосування в теорії функцій комплексної змінної, яка є математичною основою сучасної гідродинаміки, аеродинаміки і теорії пружності. Значення геометрії Лобачевського ще більше зросло завдяки роботам американського математика Тьорстона, який встановив її зв’язок з топологією тривимірних многовидів. У зв’язку з цим можна сказати, що романтичний період в історії геометрії Лобачевського закінчився, коли основна увага вчених та дослідників була звернута на її осмислення з точки зору основ геометрії взагалі.

Література

1.       Кадомцев С.Б. Геометрия Лобачевского и физика - М.: Знание, 1984 - 64 с.

.        Смородинский Я.А., Сурков Е.Л. Геометрия Лобачевского и теорія относительности - М.: Знание, 1971 - 48 с.

.        Науково-популярний журнал «Квант» - М.: Наука, 1976 - №2, 64 с.