Материал: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

денного из данного центра О в данную материальную точку (или частицу) М, и количества движения К этой точки (или частицы):

L 0 = rxK.	(182)
Размерность момента количества движения — это	размерность

количества движения, умноженная на размерность длины. Таким образом, в физической системе

а в технической системе единиц момент количества движения имеет размерность первой степени относительно длины, относительно силы и относительно времени:

[ L j ^ L ^ T 1 .

Если точка М (рис. 181) движется в плоскости хОу, то момент количества дви жения точки М относительно начала ко ординат удобно выражать через коорди наты х, у и проекции количества движе ния тх, ту. Величина момента количества движения равна произведению Kh, или, как видно из чертежа,

		L 0 — Kh — mvr sin b = mvr sin [aK—ar).
Рис. 181		Раскроем		синус	суммы:
Рис. 181			• mvr (sin oleosa,. — cosaA -sin a,).
			• mvr (sin oleosa,. — cosaA -sin a,).
Заменив синусы	и косинусы		их значениями
cos a, = •				У .	s i n a , ^ — ,
cos a, = •	cosaA . = —; sina r = —;				s i n a , ^ — ,
	к	v	r	T	к v »
получим окончательно
	L 0	=	m(xoy—yvx).		(183)

Момент количества движе ния материальной точки от носительно оси равен проек ции на эту ось момента ко личества движения данной материальной точки относи тельно какой-либо точки

этой оси

Момент количества движения материаль

ной точки относительно оси. Пусть дана какая-либо ось (рис. 182, а). Возьмем на ней произвольную точку О. Пусть момент количества движения материальной точ ки М относительно точки О выражается

вектором L 0 — OP. Спроецируем вектор Ь0 на данную ось:

ON = OP cos Ф.

Скалярную величину, равную проекции на Данную ось момента количества движения материальной точки относительно какой-либо точки той же оси, называют моментом количества движения мате риальной точки относительно оси.

Чтобы определить момент количества движения точки М относи

тельно оси, надо спроецировать вектор количества движения

К=АВ

(рис. 182, б) на плоскость, перпендикулярную оси, и определить

величину момента этой проекции аЬ относительно точки О пересече ния оси и плоскости. В самом деле, модуль момента количества

Рис. 182а

Рис. 1826

движения относительно точки О выражается удвоенной площадью треугольника ОАВ. Треугольник Oab есть проекция треугольника ОАВ, двугранный угол определяется линейным, а потому

2 пл. Д Oab = 2 пл. Д ОАВ cos ft, откуда в принятом масштабе

2 пл. Д Oab = OP cos ft = ON,

что и

требовалось

доказать.

Для определения момента количества дви-

Момент

количества

движе-

жения

материальной

точки

относительно

ния L z

материальной

точки

координатных

осей

существуют

удобные

относительно оси

связан

формулы,

к выводу

которых

мы

сейчас

с координатами

х,

этой

точки

и с проекциями

ее

приступим.

количества движения

тх, ту

П У С Т Ь

*. У,

г —координаты

материаль-

соотношением

н о й

т о

ч к и

(рИ С _

183),

к. — вектор

количе-

L z = xmy—ymx.

т в а

д В И Ж е Н и я

этой

точки, a mvx,

mvy

mvz

— проекции

количества

движения

на

оси координат. Чтобы определить момент количества движения точки относительно оси Oz, надо скачала спроецировать вектор /Сна плос

кость	хОу. Обозначим эту проекцию	Кху.	Абсцисса х и ордината у
точки	приложения проекции К,у те	же,	что и у	вектора К-	Проек
ции обоих векторов на оси Ох и Оу также одинаковы. Но, как					только
что было показано, величина момента вектора Кху				относительно на-

чала координат выражается через его проекции и координаты точки приложения формулой (183), следовательно, той же формулой выра жается момент количества движения точки относительно оси Oz:

L r — xmv„ ~ymvx.

Путем таких же рассуждений выведем аналогичные формулы для

г	L	x	и L y . Обозначая точками
	производные			от	координат

	по		времени	(проекции ско
	ростей), будем иметь:
	!	=	m(yz--zy),		С X	\
	-•х
		=	m(zx-—xz),			г (184)
	Ly				У
	и =		т(ху-—ух).

30 7\

-у

Рис. 184

Иным путем эти же формулы можно просто получить из вектор ного произведения (182), представив его в виде определителя:

t	і	к	= im (yz — zy)-\- im (гх—xz) - j - k (xy — yx)
L 0 = rxK- х у	г		= im (yz — zy)-\- im (гх—xz) - j - k (xy — yx)
тх	ту	тг

и сравнив

это

равенство

со

следующим:

L 0

— iLx

-f- jLy - j -

kLz.

Задача № 125. Материальная точка M (рис. 184) массы т движется согласно

уравнениям х—г

cos лі,

y = rsmnt,

г = г sin л*. Определить

момент

количества

движения точки М относительно начала координат О.

Решение.

Определим

по формуле

(184) моменты количества

движения точки М

относительно

осей

координат:

L x

= т (г

si n atгл cos

пі

— г si п пі

• гл

cos

лі)

= 0;

L v

— m (— r sin л і - г л

sinn* — r cos

лі-гл

cos

л*) =

— т г - л \

L z

= m (r

cos

лі-гл

cos

я* +

л sin яг^/тт sin я*) = -(-

mr-л.

Моменты

количества движения материальной точки относительно

координат

ных осей являются

проекциями на эти оси момента количества движения той же

точки относительно

начала координат,

поэтому

L„ = V"Ll-гЦ-г

1*г = тггя Y~2.

Направляющие косинусы вектора момента количества движения точки М имеют следующие значения:

COS OLi	=0; c o s P £ = ^ = -	ї ї	cos	V 2
				Y I =
		2

О т в е т . Момент количества движения точки М постоянен по величине и на правлению, равен по модулю тг'1п У~2 и направлен перпендикулярно к оси Ох, под углом 135° к оси Оу и под углом 45° к оси Oz.

Главный момент количеств движения материальной си стемы относительно центра равен геометрической сумме моментов количеств движе ния всех точек системы от носительно того же центра:

^гл. 0 = 2 L 0

Главный момент количеств движения си

стемы. Если дана система материальных точек и некоторый центр О, то, определив моменты количеств движения каждой ма териальной точки относительно этого цент ра, получим пучок векторов, пересекаю щихся в центре О. Вектор, равный геоме трической сумме всех этих векторов, изо бражает главный момент количеств движе

ния системы материальных точек относительно данного центра:

		L	- У LkO-			(185)
			k-1
Эту	же величину	называют также		кинетическим моментом си
стемы материальных		точек	относительно данного		центра.	Главный
момент	количества движения		системы	относительно	центра	является

динамической характеристикой механического движения, учитываю щей положение материальной системы по отношению к данному центру.

Момент

количества

движения

материаль

Главный

момент

количеств

ной частицы

относительно оси — величина

движения

материальной

си

скалярная. Поэтому для определения глав

стемы относительно

оси

ра

ного момента

количеств движения системы

вен

алгебраической

сумме

материальных

точек относительно оси надо

моментов

количеств

движе

взять

алгебраическую сумму

моментов

ния

всех

точек

системы

от

носительно

этой

оси

количеств движения всех точек системы

^гл -V —

^^х

относительно

этой

оси:

kx-

А=1

Главный момент количеств движения системы относительно ОСИ равен проекции на эту ось главного момента количеств движения той же системы относительно какой-либо из точек оси:

А'л. о

cosaL.

Эту же величину называют также кинетическим моментом системы материальных точек относительно оси.

Для определения главного момента системы относительно коор динатных . осей определим по (184) моменты количеств движения

всех частиц системы и затем просуммируем эти выражения;

к— п

^гл. * = 2 Щ (ykzk — zkyh),

У 2

^ г л . у =	2	m k i z k x k	xkzk)>
	k=l

§ 44. ТЕОРЕМЫ О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Производная по времени or момента количества движе ния материальной точки относительно какой-либо оси равна моменту действующей на точку силы относительно

dLx

той же оси: dt

Теорема моментов (для материальной

точки). Пусть какая-либо точка массы т движется под действием силы. Напишем выражение момента количества движения этой точки относительно оси Ох:

L x = m(yz — zy).

(184)

Дифференцируя по времени левую и пра вую части этого равенства, получим

dLx	, •	•yz — zy—гу) = ymz — zmy;
~[f^rn(yz-		•yz — zy—гу) = ymz — zmy;

но согласно (126')

my — Y и mz — Z,

где Y и Z—проекции силы, действующей на данную точку. Следовательно.,

В правой части мы получили момент силы относительно оси Ох, как это было показано (23) еще в статике (см. § 9).

Согласно этой теореме, называемой теоремой моментов, произ водная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какой-либо оси равна моменту силы, действую щей на эту точку, относительно той же оси. Теорема доказана для оси Ох, но совершенно аналогично можно доказать ее и для всякой другой оси:

dLx	dL„	. .	dLt	(187)
	dt	У	IT

Равенства (187) справедливы для любой оси, следовательно, их можно записать и в векторной форме:

—*-	.
§> = М 0 .	(187')

Словами это равенство читают так: производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/125915

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009