Материал: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Решение его нам хорошо известно. Оно выражает малые колебания системы, период которых:

Заметим, что если к стержню присоединить тело с неизвестным моментом инерции и из опыта определить период тх колебания бифилярного подвеса вместе с телом, то можно определить момент инерции тела 1 .

О т в е т . Малые колебания с периодом т = 2л

Колебания системы с двумя степенями свободы

Малые

колебания

системы

Малые

колебания

системы с двумя степе-

с двумя

степенями

свободы

н я м и

свободы

около положения устойчи-

являются линейным нало-

 

 

 

 

J

жением двух главных коле-

в о г о

равновесия, описываемые изменением

 

баний

 

обобщенных координат, представляют со­

 

главных,

 

бой

линейные

наложения двух так назы­

ваемых

или собственных,

колебаний

системы. В каждом из

главных колебаний между амплитудами имеется постоянное соотно­ шение, зависящее от параметров системы, но не зависящее от началь­ ных данных. Каждому из главных колебаний соответствует своя собственная частота, в общем случае отличная от частоты другого собственного колебания системы, и фаза. Колебание системы с двумя или с большим числом степеней свободы, представляющее линейное наложение гармонических колебаний, обычно является сложным и может оказаться даже не периодическим. Поэтому выражения час­

тота

или период колебаний для

системы, у

которой

число степе­

ней

свободы

больше единицы, имеет смысл только

по

отношению

к отдельным

главным колебаниям

системы. В

системе

с двумя сте­

пенями свободы нетрудно так подобрать начальные данные, чтобы какое-либо одно из двух главных колебаний отсутствовало, тогда

можно наблюдать

оставшееся

главное

колебание

системы.

 

Решим

задачу

на малые

колебания

системы

с двумя

степенями

свободы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Двойной математический

маятник

 

Задача

№ 198.

Две материальные точки Мх

массы ш х и

М2

массы

т2

(рис. 242) связаны невесомой нерастяжимой

нитью длины

12, а точка

Мх связана,

кроме того,

такой же идеальной

нитью

длины

1Х с неподвижной

точкой

0.

Определить собственные частоты малых колебаний системы в вертикальной пло­ скости хОу2.

Решение. По условию, маятник движется в одной вертикальной плоскости; система имеет две степени свободы и движение описывается двумя уравнениями Лагранжа. Система находится в потенциальном поле тяжести и никаких актив­

ных сил, кроме сил тяжести,

на систему не действует, поэтому уравнения Лаг­

ранжа

напишем в

виде

(263).

 

1

См.: М. М.

Г е р

н е т и

В. Ф. Р а т о б ы л ь с к и й. Определение моментов

инерции. Машгиз,

1969.

 

2 Впервые двойной маятник описал Клеро (1735 г.). Полную теорию малых

качаний двойного

маятника разработал Д. Бернулли (1738 г.)

Выберем за обобщенные координаты углы ft

и ф наклона нитей к

верти­

кали и выразим через них декартовы

координаты

точек

 

 

 

 

=

— Zjsinft,

 

yi = h cos ft,

 

 

 

х2

— — її sin ft —Z 2 sin ф,

Уг~1\

cos ft+Z2 cos ф.

 

Продифференцировав

по

времени,

возведя

в

квадрат и складывая,

найдем

квадраты

скоростей

точек:

 

 

 

 

 

„ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ , / ,

 

 

 

v\~k\

+ y\ = l\&;

 

 

 

• 0 \

 

У? =

*S + У% =

Z?fta

+

' 2 ф а + 2 / і / ^ ф cos ( ф - f t ) .

 

 

Теперь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

системы:

 

легко

вычислить

кинетическую

энергию

к

 

Т = Т1 + Т2

=

'^1\Р

+

/и

+ 1\<9* +

 

 

 

^[1\¥

 

А V

 

 

+

2/1/!S<hpcos (ф—f>)].

 

 

 

Определяя потенциальную энергию П, выберем так произвольную постоянную С, чтобы при равновесии системы П равнялось нулю:

П = — niiglx cos ft—m.£ (l1 cos ft+ /2 cos ф) + С.

У

Рис. 242

Пусть

произвольная пос:тоянная

С означает п<потенциальную

энергию

системы

при д = ф = 1 8 0 ° ,

т. е. положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь потенциальная

энергия

системы

при любых значениях

обобщенных

координат

выражается

равенством

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П = m^glx (1 — cos ft) + m^glx (1 — cos ft) -f- т<&Іг (1 — cos ф).

 

При

д = ф = 0 величина П

равна

нулю,

при остальных

значениях

П > О,

т. е. I I является

определенно

положительной

функцией обобщенных

координат.

Подсчитаем члены

уравнений (263)

Лагранжа:

 

 

 

 

 

дТ

іп1і\Ь + тіІ\§-\-пі2ІіІ2у

 

 

cos (ф —f t );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-тг -тг =

і + >п2) /?# + т 2

/ і / ,

cos (ф — ft) ф -

 

 

 

 

 

at

дії

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— т г / 1 / 2 з і п ( ф — т ) ) ф 2 - | - т 2 / 1 / 2 ф

sin (ф — ft) ft;

 

 

 

 

 

 

 

-|^-=m2 /i/2 f)cpsin

(ф—ft);

 

 

 

 

 

 

 

-ЭП

= (mi-\-m.2) glx sin ft;

 

 

 

 

 

 

 

5ft

 

 

 

 

 

 

 

— m2lt(p -\- mJjj}

 

cos (ф — ft);

 

 

 

-— - Д - =

т а / г ф +

т2/1/<.1г> cos (ф —ft)-T -m2 /1 /.2 ft3 -sin (ф —ft) • • mjjZjZjft sin (ф — ft) ф;

 

 

 

 

=

—т^^Аср

sin (ф — ft)i

 

 

 

сЗф :/7!^г Sin ф.

Подставляя эти величины в уравнения (263), получим следующие точные уравнения движения системы:

' i (m! + m2 ) # - H a m 2 cos (ер — г4') qi — 1»тг

sin (ф —ft) ф г - | - (/"i4-m2 ) g sin ft = 0;

Zt cos (ф — ft) ft-f-/гф-f-/jft'2

sin (ф — ft)-I-g sin ф- .0.

Ограничимся малыми колебаниями системы и заменим косинусы единицей, а синусы малых углов — углами. Пренебрежем членами, содержащими квадраты или произведение скоростей, и для упрощения записи обозначим т2:т1=: її. Уравнения примут вид:

 

 

/ і ( 1 - | - ц ) #

+ ^ИФ +

( 1 + І * ) г & = 0 ;

 

 

 

 

 

gcj

0.

 

Второе

уравнение

позволяет

упростить первое:

 

 

 

/ і # - і л е т + ( і - І - и ) г * = о ;

 

 

 

/1 «-|-/а Ф+«ф = 0-

 

Частные

решения

этой системы уравнений

мы будем искать в

виде'

 

ft === Вг sin (йг + ос);

ф =

В2 sin (Аг 4-a),

 

т. е. в предположении,

что обе обобщенные координаты изменяются

гармонически,

с одинаковыми частотами и фазами, но с разными амплитудами. Подставляя значения углов и их вторых производных в дифференциальные уравнения и

сокращая на sin (kt 4- а),

найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S i [ ^ - ( l + U.)£]4-u£B2 = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В^Р

+

В» ( № — g) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

Эта система двух уравнений, линейных

относительно

Вх

и Вг,

может

иметь

отличные от нуля

решения, если

определитель системы равен

нулю:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lxk2

— (l+n)g

 

ug

=

0,

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

kk2

 

 

 

 

 

l-ik2—g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(h+U) (і +

v) g * 3 + ( і +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V*** -

и) £ 2

= о-

 

 

 

 

 

В

теории

колебаний это уравнение

называют

вековым

уравнением,

 

или урав­

нением

частот,

так

как

оно

позволяет

определить частоты

главных

колебаний

системы. При условиях

нашей

задачи

это решение

 

записано в ответе.

Оба пери­

ода главных колебаний различны между

собой и зависят

от отношения

ц. масс

точек

и

от

длины

/ х

и 12 нитей.' Один

из периодов близок к периоду качаний

математического маятника длины 12,

 

другой — к

 

периоду

маятника

длины

l v

Изменяя

длину одного

из маятников,

 

мы можем

период

соответствующего

глав­

ного колебания

сделать

больше

или меньше

периода второго главного

колебания,

однако мы не смогли бы добиться,

чтобы

оба главных периода качания двойного

маятника были бы в точности одинаковы.

Этот парадокс

был

открыт

Стоксом

и

объясняется

тем,

что

написанное

выше

уравнение частот не имеет одинаковых

корней,

при которых возможны

устойчивые

колебания двойного маятника.

 

 

О т в е т .

 

 

= + | / ^ ( /

l

 

+

/

2 ± / ( / l + /

2 )

_ ^

 

 

 

 

Задача

№

199

(И. М. Б е л е н ь к и й .

Введение

в

аналитическую

меха­

нику,

задача

№ 2). В условии

задачи

№

195 вместо жесткого соединения не­

весомого

стержня

МА

с

диском

сделано

шарнирное

соединение

в

точке

А,

остальные условия не изменены (рис. 243).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

В отличие

от системы, рассмотренной

в задаче № 195, здесь система

имеет

две степени

свободы

и движение ее может быть описано двумя

уравнениями

Лагранжа. За обобщенные координаты примем независимые

величины ф и

хА.

При

подсчете

кинетической

энергии

скорость точки А мы уже не можем

опре-

делять как rep, а должны писать хд. Выражение потенциальной энергии остается прежним и функция Лагранжа имеет вид

 

их «

.

.

.

3

 

L —

( л:д + / 2 ф 2

— 2 / х л ф cos ф ) + т tn2xA—mxgl

(I — cos ф).

Вычислим

члены

уравнений

 

Лагранжа:

 

d

•jj

dL dtp

dL

—— — тххд— tnxlq> cos ф-|—— /л2 ^л!

dL

фф + /их / sin фф2 ;

—г- = ( ^ i +-7j OT2 J *л — c o s

dL

 

 

dxA

 

 

х / 2 ф — тх1хд cos ф;

1

£

-—- -^4- — т і / 2 ф — тх1хд

cos ф -f- т ^ ф х д sin ф;

d <

Зф

 

 

 

 

 

 

 

=т 1 /фХ / 4 sin ф—rtiigl sin ф.

Напишем

оба уравнения

Лагранжа:

тх

3

 

\ ..

 

і ? sin ф - ф 2 = 0:

+ " 2 "

Т 2

) — m i ' c o s

ф - ф + т

 

 

mxl

(Щ — хд cos ф + g s i n

ф) = 0.

у

Рис. 243

Мы ищем

период

малых

колебаний

системы, поэтому,

допустив

применяемые

в подобных случаях

упрощения,

перепишем

эти уравнения

в таком

виде:

 

 

тх-\—^тг^хд—тхЩ

= 0\

1ц> — хд + £ф = 0.

 

Определяя

хд

из

первого уравнения

и подставляя во второе, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф =

0.

 

 

Множитель, стоящий

перед обобщенной

координатой,

выражает

частоту ко­

лебаний.

 

 

 

 

 

 

маятника

 

 

 

О т в е т .

Период

малых

колебаний

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•т.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: 2 Я

| /

_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

Щ

 

 

 

 

 

Задача №

200.

(Я.

Г.

П а н о в к о

и

И.

И.

Г у б а н о в а .

Устойчивость

и колебания упругих систем. Изд-во «Наука», 1967). Составить дифференциальные уравнения свободных вертикальных колебаний автомобиля, происходящих парал­

лельно

плоскости . его симметрии,

если масса приведенной в колебание

системы

равна

т,

а

момент инерции относительно поперечной оси,, проходящей через

центр

масс,

равен

т л 2 .

 

 

 

Решение.

На

рис. 244

вверху

изображен автомобиль, а внизу его

динами­

ческая

схема.

Деформации

кузова

пренебрежимо малы по сравнению с

осадкой

опор,

поэтому

в динамической схеме мы считаем раму совершенно жесткой. Кроме

того, мы полагаем,

что -горизонтальные колебания системы невозможны.

 

Построим

оси

декартовых

координат

с

началом

в

центре масс

при

равно­

весном положении

системы,

направив

ось ординат по вертикали вниз. Система

обладает двумя

степенями свободы и за

обобщенные

координаты qx

и q2

примем

 

 

 

 

 

ординату

центра

масс

и

угол

наклона

рамы к го­

 

 

 

 

 

ризонтальной

плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кинетическую энергию системы определим по

 

 

 

 

 

формуле

Кёнига:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

^

 

2

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для определения потенциальной энергии заме­

 

 

 

 

 

тим, что

если

рама

 

автомобиля

опустится

на

qx

 

 

 

 

 

и

при

этом

наклонится

на q2, то задняя опора

 

 

 

 

 

сожмется

на

 

qx-\-aq2,

 

а

передняя

на

qx—bq2.

 

 

 

 

 

Учитывая

жесткости

 

рессор

и

пневматиков, обо­

 

 

 

 

 

значим

через

Сі

и

 

с 2

 

приведенные

жесткости

Рис.

244

 

задней

и передней

подвески автомобиля. Тогда

по­

 

тенциальную

энергию

системы

определим

анало­

 

 

 

 

 

гично

тому,

как

это

было

сделано в примере § 49:

 

 

 

 

ct

(q1

+ aq2)2

,

c2(qx

—

bqtf

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

Подставляя

 

найденные

значения

Т

и

П

в

уравнения

Лагранжа, получим

ответ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т , mq!

4- (сх 4- с2)

qx -f- (сха—c2b)

q2

=

О,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

w ^ l

 

—

сф)

qx

4- (cja2

4-

c2b"-)q2

=

0.

 

 

 

 
Источник: https://tut-files.ru/previewfile/125915

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009