Материал: Гл. 3.4

Глава 3 Математические модели элементов электрических цепей

Любая электрическая цепь состоит из отдельных элементов, в которых при протекании электрического тока происходят достаточно сложные энергетические явления, связанные с преобразованием электрической энергии. Для упрощения описания процессов, происходящих в реальных элементах, их считают идеальными, т.е. предполагают, что каждый элемент обладает лишь одним каким-либо свойством: либо поглощать электрическую энергию - пассивные элементы, либо накапливать ее – реактивные элементы, либо создавать – активные элементы.

3.1. Классификация элементов электрических цепей

1. Элементы электрических цепей

2 . Пассивные

3. Активные

4. Сопротивление

5. Емкость

6. Индуктивность

7. Взаимно-индуктивная цепь

8. Источник тока

9. Источник ЭДС

3.2. Способы описания свойств элементов электрических цепей

Существует три способа описания свойств элементов электрических цепей:

1 . Аналитический способ - в виде электрической характеристики (уравнения) элемента. Это зависимость между физическими величинами, определяющими параметр элемента. Например, для сопротивления I=U/R (рис 3.2).

2. Графический способ - это график аналитического выражения электрической характеристики. Например, для сопротивления это вольтамперная характеристика (ВАХ) приведена на рис.3.3.

3. Параметром элемента, который определяется из электрической характеристики.

, например .

где: воздействие - электрическая величина, которая воздействует на элемент; отклик появляется в результате воздействия. Параметр есть отношение отклика к воздействию. В зависимости от характера входного сигнала различают три параметра элемента: статический, дифференциальный и комплексный (динамический).

Рассмотрим подробнее свойства идеальных элементов электрических цепей.

3.3. Сопротивление

Сопротивление – идеальный элемент, которому свойственно только поглощение электрической энергии с преобразованием ее в тепловую, механическую или другую форму.

Условное обозначение приведено на рис.3.4.

1 . Электрическая характеристика участка обладающего сопротивлением R имеет вид

Для участка цепи обладающего сопротивлением при протекании тока на его выводах возникает напряжение, которое прямопропорцианально току. Эта характеристика называется – вольтамперной.

2. Параметром сопротивления является величина, которая называется сопротивлением и обозначается .

Единица измерения сопротивления – Ом [Ом]. Часто применяют кратные единицы: 10³Ом =1кОм (килоОм), 10⁶ Ом =1МОм (мегаОм), 10⁹ Ом= 1 ГОм (гигаОм). Иногда вместо сопротивления пользуются параметром, который называется проводимость – G=1/R. Единица измерения проводимости – Сименс [См].

3. Закон Ома для мгновенных значений токов и напряжений на участке цепи обладающего сопротивлением:

4. Закон Ома в комплексной форме устанавливает связь между комплексными амплитудами напряжения и тока ( и ) на элементе. Он записывается: в виде уравнения = , где - комплексная величина, она называется комплексным сопротивлением элемента

Найдем соотношения (закон Ома в комплексной форме и комплексное сопротивление) для участка цепи, обладающего сопротивлением.

Считаем, что , отсюда .

Из закона Ома для мгновенных значений следует, что

, отсюда .

Тогда закон Ома в комплексной форме имеет вид

= , ( ).

Отсюда получим выражение для комплексного сопротивления - . Из которого следует:

а) комплексное сопротивление не зависит от частоты;

б) сдвиг по фазе между напряжением и током равен 0 (φ_u=φ_i).

Пусть, например, ток через сопротивление R=2Ом равен i(t)=4cos(2π1000t+ π/3) [А]. Его комплексная амплитуда равна I_m=4e^jπ/3А, а комплексную амплитуду напряжения на сопротивлении расcчитаем по соотношению - U_m= I_m R =4e^jπ/3 2=8e^jπ/3 [B]. При необходимости можно записать и выражение для мгновенного напряжения на сопротивлении – u(t)=8cos(2π1000t+ π/3) [В].

5 Мгновенная мощность:

, т.е. сопротивление поглощает электрическую энергию.

6. Активная мощность: ,

здесь cosφ=0, Ps-полная мощность.

7. Реактивная мощность: , т. к. sinφ=0.

8 . Реальным элементом, приближающимся по своим свойствам к сопротивлению, является резистор. Он представляет собой объем проводника (рис.3.5) с высоким удельным сопротивлением ρ. Его параметром является сопротивление. Оно рассчитывается по формуле:

,

где ρ- удельное сопротивление проводника, т.е. сопротивление проводника с единичными по длине гранями, l – длина проводника, S – площадь поперечного сечения.

3.4. Емкость

Емкость - это идеальный элемент, который способен накапливать и отдавать энергию в виде связанного с напряжением электрического поля.

Условное обозначение приведено на рис.3.6.

1. Электрическая характеристика емкости С=f(u) характеризуется зависимостью накопленного заряда q от приложенного напряжения u, в случае линейной зависимости имеет вид

или с=dq/dt [Ф].

Е диница измерения емкости – Фарада [Ф]. Часто пользуются единицами, которые составляют доли от Фарады: 10^-3Ф =1mФ (миллиФ); 10^-6Ф =1μкФ (микроФ); 10^-9Ф =1нФ (нанаФ); 10^-12Ф =1рФ (пикаФ).

2. Закон Ома для мгновенных значений тока и напряжения.

Разрешим это уравнение относительно u_c(t), считая, что при t=0 ток мгновенно изменяет свое значение:

, отсюда при t=+0 (рис.3.7), получим, что

,

где - напряжение на емкости до скачка тока через емкость; - напряжение на емкости сразу после скачка тока.

Это соотношение называется законом коммутации для емкости, т.е. при скачкообразном изменении тока через емкость напряжение на емкости мгновенно измениться не может, оно изменяется непрерывно.

4. Закон Ома в комплексной форме для емкости.

Считаем, что

, отсюда .

Определим ток, используя закон Ома для мгновенных значений:

, отсюда

=jωCU_me^-jφ,

здесь учтено, что +j .

Из записанного следует, что закон Ома в комплексной форме для емкости:

, или ,

а комплексное сопротивление емкости

.

Из последнего выражения следует:

а) =Х_с- модуль сопротивления емкости зависит от частоты (рис.3.8.). Емкость имеет бесконечно большое сопротивления для постоянного тока (ω=0).

б) Ток опережает напряжение на 90⁰, или напряжение отстает от тока на 90˚, т.е.  = _u - _i= -90⁰. Это следует из соотношения: =е^-j90˚.

Пусть напряжение на емкости равно u(t)=10cos(2π1000t+ π/6)В. Комплексная амплитуда этого напряжения имеет вид U_m=10e^jπ/6 B. При емкости С=1мкФ комплексное сопротивление емкости равно Z_c =(j2π1000)^-1. По закону Ома в комплексной форме для емкости найдем комплексную амплитуду тока через емкость: Im= 2π10^-2 A, а затем и выражение для мгновенного тока i(t)= 2π10^-2 cos(2π1000t+ π/6)В.

5.Мгновенная мощность:

Если , то емкость накапливает электрическую энергию, забирая ее от источника сигнала, напряжение на емкости возрастает, говорят, что емкость заряжается.

Если , то емкость возвращает энергию в цепь, т.е. сама является как бы источником энергии, которую накопила, напряжение при этом на емкости уменьшается, говорят - емкость разряжается. Поэтому и называют емкость реактивным элементом.

6. Активная мощность: , т.к. φ= - 90⁰.

7 . Реактивная мощность: , где Ps-полная мощность.

8. Энергия, запасаемая емкостью, это мощность, поглощенная за время t: