Материал: Гласкер, Дж. Анализ кристаллической структуры

Таким образом, наряду с уже описанной кристал­ лической решеткой, существующей в реальном про­ странстве, в кристалле имеется еще одна решетка, связанная с первой, и она очень важна для опы­ тов по дифракции и других вопросов физики твер­ дого тела. Это обратная решетка; ее определение, в терминах векторов кристаллической решетки дано в приложении 2 (стр. 189). Связь между этими двумя важными решетками особенно проста, если все фун­ даментальные трансляции кристаллической решетки перпендикулярны одна к другой: тогда фундаменталь­ ные трансляции обратной решетки параллельны тран-

Рис. 7. Схематическое представление дифракционных картин от одномерных и двумерных массивов. Связь между кристаллической и обратной решетками.

(а — в) Слева приведены негативы дифракционных решеток, справа — соответствующие дифракционные картины (именно та­ кие картины можно получить, если поместить дифракционную

рядами на дифракционной картине. Тот факт, что на рис. 7(в) интенсивность всех точек обратной решетки дифракционной кар­ тины одинакова, не следует считать общим)' в данном случае это произошло потому, что все рассеивающие объекты в кристалли­ ческой решетке (дифракционной решетке) исключительно просты — вместо каждой элементарной ячейки имеются только изотропные дырки; кроме того, дырки здесь много меньше, чем длина волны излучения, использованного в этом гипотетическом эксперименте. Именно поэтому интенсивности дифракционных максимумов не изменяются в различных направлениях и практически не зависят от угла рассеяния (который увеличивается с увеличением рас­

стояния от центра картины).

(г) Указаны отношения а и b к а* и Ь*. Обратная решетка, которая в двумерном примере характеризуется параметрами а* и

Ь*, очень важна в дифракционных экспериментах. Для каждой конкретной дифракционной картины масштабный фактор К за­ висит от длины волны использованного излучения и от геометрии экспериментальной установки (подробности приведены в прило­ жении 2).

Следует обратить внимание: черные точки в левой стороне этого рисунка представляют собой дырки, на которых происходит дифракция; сама же дифракционная картина приведена справа, а черные линии на них или пятна соответствуют значительной интенсивности дифрагированного света*

сляциям кристаллической решетки, а длины этих трансляций обратно пропорциональны длинам соот­ ветствующих трансляций кристаллической решетки. Если же оси неортогональны, то подобные соотно­ шения уже не так просто объяснить на геометриче­ ской основе; двумерный пример приведен на рис. 7. Симметрия этих двух связанных решеток всегда оди­ накова. Как будет показано в дальнейшем, фундамен­ тальная важность обратной решетки в теории ди­ фракции от кристалла следует из того, что если струк­ тура размещена на данной решетке, то ее дифрак­ ционная картина обязательно будет размещена на решетке, обратной первоначальной.

В оптике известно положение, утверждающее, что дифракционная картина от маски с очень небольшими отверстиями в первом приближении эквивалентна картине от «негативной» маски, т. е. от массива ма­ лых точек, занимающих те же положения, что и дырки, так что каждая точка окружена пустым про­ странством. Эта эквивалентность превосходно объяс­ нена Фейнманом [23]. В кристалле атомные электро­ ны, рассеивающие рентгеновские лучи, сами могут считаться источниками вторичных лучей, подобно тому как края щелей в дифракционной решетке мож­ но рассматривать как источники видимого света, т. е.

между атомами в кристалле, где они размещены ре­ гулярно, и щелями в дифракционной решетке, если они тоже расположены регулярно, имеется явная ана­ логия. При дифракции от кристаллов, так же как и от щелей, интенсивности дифракционных максимумов меняются в разных направлениях, а также в зависи­ мости от угла рассеяния [т. е. не так, как это упро­ щенно показано на рис. 7(в)]. Большинство элемен­ тарных ячеек содержит сложный ансамбль атомов, и каждый атом имеет линейные размеры, сопоставимые с длиной волны используемого излучения. На рис. 8 приведена типичная рентгенограмма, полученная пре­ цессионным методом (этот метод воспроизводит не­ искаженную дифракционную картину). На рисунке хорошо видно значительное изменение интенсивности. Однако нетрудно усмотреть и аналогию с рис. 5, 6

ментарной ячейке. «Размноженные» области разме­ щены на решетке, обратной кристаллической решетке в том смысле, как это было отмечено в подписи к рис. 7 (г).

(в)

Рис. 9. Влияние различных размножений решетки на дифракцион­ ную картину.

Данный рисунок отражает связь между дифракционными картинами молекулы и различными регулярными размещениями таких молекул.

(а) Одна молекула.

(б) Две молекулы, расположенные рядом на горизонтальной линии; при сра.неннн (5) с (а) можно заметить аналогию с двух- н однощелевой кар­

тинами рис. 6 (б).

(в) Четыре молекулы, размещенные в вершинах параллелограмма.

использованного света к размеру этих дырок, как и отношение длины волны рентгеновских лучей к раз­ мерам атомов. Делая дырки в непрозрачных листах, можно моделировать рентгенограммы кристаллов; разница лишь в масштабе — в одном случае дифрак­ ционная картина определяется расстояниями между дырками, в другом — расстояниями между атомами в кристалле.

Рис. 9 иллюстрирует связь между дифракцион­ ными картинами, полученными от одной «молекулы» [рис. 9(a)] и от различных регулярных размещений таких молекул. Левая часть рисунка показывает раз­ личные размещения молекул, правая — соответствую-

Рис. 10. Оптическая дифракционная картина от штампованной пластинки, отверстия которой похожи на скелет молекулы фталоцианина.

ционной картины кристалла фталоцианина. Качественное сравне­ ние этих значений с интенсивностями соответствующих пятен оп­ тической дифракционной картины [см. (б)] показывает, что использованная модель удивительно хороша. Следует обратить

50 Часть /

щие дифракционные картины. Рис. 9(6) представляет собой дифракционную картину от двух «молекул», расположенных рядом (здесь показана горизонталь­ ная ориентация), и показывает интерференцию, воз­ никающую в результате взаимодействия рассеяния от двух молекул, что вполне аналогично интерференции, причиной которой является наличие двух соседних щелей [см. рис. 6(a)]. Рис. 9 ( b ) — это дифракционная картина, полученная от четырех «молекул», разме­ щенных в вершинах параллелограмма; здесь уже на­ блюдается интерференция в направлении каждой из двух осей моделируемой кристаллической решетки. Рис. 9 (г) представляет собой дифракционную картину от регулярно расположенных и размещенных на одной линии молекул, т. е. картину от одномерного кри­ сталла; здесь дифракционные эффекты усиливаются в направлении, параллельном направлению упорядо­ чения. В других же направлениях интерференция не возникает. Рис. 9(д) —это картина, полученная от двумерного кристалла таких «молекул». Нетрудно за­ метить сходство этой картины с прецессионной рент­ генограммой. Решетка дифракционной картины об­ ратна решетке «кристалла». Рис. 9(e) можно полу­ чить из рис. 9(a), просто поместив над рис. 9(a) маску с дырками, проделанными в положениях, отвечаю­ щих точкам обратной решетки, т. е. если рис. 9(a) «размножить» в точках обратной решетки, то полу­ чится рис. 9(e).

Рис. Ю(б) показывает оптическую дифракцион­ ную картину, полученную от дырок [рис. 10(a)], каж­ дая из которых имеет форму молекулы фталоцианина. Интересно отметить, что распределения интенсив­ ности оптической дифракционной картины и соответ­ ствующей картины, полученной при помощи дифрак­ ции рентгеновских лучей, очень близки.

Дифракция и уравнение Брэгга. Лауэ, который вместе с Фридрихом и Книппингом открыл в 1912 г. дифракцию рентгеновских лучей от кристаллов, ин­ терпретировал полученные дифракционные картины в терминах теории, аналогичной теории дифракции от дифракционных решеток; он только провел обобще­

падения имеется вполне определенное соотношение. Поэтому, если монохроматический (с некоторой точ­ ностью, конечно) пучок рентгеновских лучей исполь­ зуют для некоторого образца монокристалла (и по­ этому имеются лишь вполне определенные типы меж­ плоскостных расстояний), дифракционные максимумы будут наблюдаться только при вполне определенных углах падения пучка рентгеновских лучей, а вовсе не при произвольном угле. Если же вращать кри­ сталл в пучке, то дифракция возникнет при некото­ рых углах вращения, когда угол падения пучка та­ ков, что уравнение (1) удовлетворяется для некото­ рого набора межплоскостных расстояний, имеющих место в кристалле, т. е. X, й и 0 должны быть такими, чтобы уравнение Брэгга удовлетворялось, — вероят­ ность такого события достаточно мала. Однако ре­ альные монокристаллы имеют мозаичное строение (можно считать, что они состоят из небольших кир­ пичиков— элементарных ячеек, —таких, что каждый кирпичик сдвинут по отношению к своему соседу на несколько десятых долей градуса); к тому же рент­ геновские лучи, которые обычно используют, никогда не бывают строго монохроматическими, так что на самом деле отражения можно наблюдать в некотором малом интервале ориентаций; некоторые же отраже­ ния наблюдаются при большинстве ориентаций моно­ кристалла. Если же образец представляет собой кри­ сталлический порошок, то мельчайшие кристаллы порошка ориентированы в самых разных направле­ ниях, и тогда уравнение (1) удовлетворяется для лю­ бого набора кристаллических плоскостей, т. е. в этом случае полная дифракционная картина будет наблю­ даться при произвольной ориентации образца по от­ ношению к источнику рентгеновских лучей. Можно также получить дифракционную картину от жестко установленного монокристалла, если одновременно использовать широкую область длин волн. Именно так и поступали Лауэ, Фридрих и Книппинг, когда проводили свои эксперименты; эта техника известна как метод Лауэ. В настоящее время ее не применяют