Документ: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами, страницы 531-535

Стратегия

эффективного

экспериментирования

511

Несколько таких многоугольников изображено на фиг. 8.1.4. Используя в качестве примера восьмиугольный план, матрица

Л/ /

а

Фи г . 8.1.4. Простые

а— пятиугольный план

5С1	Х2
1,000	0
0,309	0,951
-0,809	0,588
-0,809	-0,588
0,309	-0,951
0	0

двумерные ротатабельные риментальные уровни). б — шестиугольный план

xi	х2
1,000	0
0,500	0,866
-0,500	0,866
-1,000	0
-0,500	-0,866
0,500	-0,866
0	0

планы	(ж4 и		х2	экспе-
в — восмиугольный^план
-1		XI	-1
			Х2
-11			-11
	1		1
Ѵг			о
-	Vi		о
-	Vi		VI
	о		VI
	О		ѴІ
	О

с для которого дана в примере 8.1.3, получаем для дисперсии Yt

Var {Yi} = Var {b0} +			+ x\2)	0,1250 +
		+ (îi + ?,) 0,15625 + (xHxi2)2			0,250 +
	+	2 [ « + xl) (-0,1250) + (хнхі2Г			0,03125] =
=	Var {b 0 } - 0,1250 ( 4 + x\,) + 0,15625 (x\x +				x*ti) + 0,3125		(xHxi2)2.
Для	точек	плана, указанных		на фиг. 8.1.4, имеем
	х г і + х і 2	х г і + х \ г	<-хііхі2)2	ХІІ + ХІ2 хгі	+ ХІ2	(xiixt2)2
	2	2		2	4		0
	2	2		2	4		0
	2	2		2	4		0
	2	2		2	4		О

и, таким образом, для каждой точки получаем одну и ту же дис персию

Var {Yt} = Var {b0} + 0,375.

Пример неротатабельного плана, в котором каждая независи мая переменная фиксируется на уровнях + 1 , 0 и —1 и исполь зуются все комбинации всех уровней, приведен на фиг. 8.1.5. Для такого плана число экспериментов можно записать в общем

512	Глава 8
виде как 3й , где к — число	переменных. Для плана на фиг. 8.1.5
к = 2.
Так как экспериментатор	заранее не знает, как будет ориенти

рована поверхность отклика относительно переменных х, исполь зование ротатабельных планов представляется весьма логичным1 ).

Приступая к некоторой программе экспериментов при условии, что априори ничего неизвестно о природе поверхности отклика, экспериментатор начнет, вероятно, с модели первого порядка, чтобы посмотреть, насколько хорошо она описывает данные. Если

Ф и г . 8.1.5. План З 3	(неротатабельный)
Уровни факторов
- i	-1
0	-1
1	-1
-1	n
0	о
1	о
-1	1
0	1
1	1

эта модель не согласуется с данными, то следует попытаться подогнать модель второго порядка. Для того чтобы сделать это эффективно, первоначальный план первого порядка должен быть таким, чтобы его можно было расширить до плана второго порядка простым добавлением экспериментальных точек. Простой план первого порядка, который можно дополнить до некоторого плана второго порядка, в частности восьмиугольного плана, показан на фиг. 8.1.4. При использовании таких планов полученные дан ные следует рандомизироватъ, т. е. должны быть рандомизированы различные комбинации экспериментальных переменных.

Теперь обратимся к некоторым примерам, чтобы проиллюстри ровать принципы и методы, изложенные выше.

Пример 8.1.3. Последовательное экспериментирование с целью

получения подходящей модели

Следующие данные были получены по плану первого порядка (фиг. 8.1.1), который в случае необходимости можно дополнить до восьмиугольного плана.

Y

Xi

Х2

Y

XI Х2

24,500	—1	—1	77,870	0	0
60,141	1	- 1	78,933	0	0
54,890	—1	1	70,100	0 -	0
67,712	1	1

*) Построение ротатабельных планов обсуждается в [1—31.

Стратегия эффективного экспериментирования 513

По этим наблюдениям, включающим повторные измерения в цент

ральной

точке,

проводилась

подгонка

линейной

модели

У =

=

ßo + ßi^i

+

$2Х2 + е,

что

привело

к

следующим

результатам

(здесь х0

=

1, а повторным данным был приписан вес, равный 3)і

"1

0

0"

"0,1428

0

"434,1

-

а

0

4

0

,

а-і =

0

0,250

0

,

G =

48,46

_0

0

4_

_0

0

0,250._

_ 37,96_

Y

= 62,020 +

12,116 xt

+

9,490

хг.

Результаты дисперсионного анализа приведены в табл. П.8.1.3а. Число степеней свободы для суммы квадратов отклонений от эмпирической линии регрессии равно числу различных наборов

						Таблица		П.8.1.3а
Источник рассеяния				Сумма	Число степе	Средний	Отношение
Источник рассеяния				квадратов	ней свободы	квадрат		дисперсий
Влияние	исключения Ь2			360,3	1	360,3	Значимо
Влияние	исключения Ъі			587,2	1	587,2		»
Влияние	исключения &0			26 926,1	1	26 926,1		»
Отклонения		от	эмпири	1103,2	2	551,6		»
ческой	линии		регрес
сии		в	точке	46,5	2	23,3
Отклонения		в	точке	46,5	2	23,3		»
повторения		опытов
Общий					7

xt	минус число коэффициентов, 5—3 = 2, а число степеней	свобо
ды для суммы квадратов отклонений, связанной с повторяющими
ся	опытами в центре, равно числу повторных измерений	минус

число наложенных ограничений, 3—1 = 2. Ограничение связано с необходимостью вычисления У в центральной точке. Дисперсион ный анализ показывает, что модель первого порядка не обеспечи

вает достаточно хорошую	подгонку.
Для дополнения до восьмиугольного		плана были получены до
полнительные экспериментальные данные:
Г	xi	Х2
79,162	1,414	0
53,095	—1,414	о
71,328	0	1,414
38,609	0	-1,414
80,131	0	0

514 Глава 8

Обработка этих данных дала следующие результаты:
"12,000		0	0	8,000	8,000	0	'
	0	8,000	0	0	0	0
а :	0	0	8,000	0	0	0
а :	8,000	0	0	12,000	4,000	0
	8,000	0	0	12,000	4,000	0
	8,000	0	0	4,000	12,00	0
.	0	0	0	0	0	4,000,

	0,2500	0	0	-0,1250	-0,1250	0
	0	0,1250	0	0	0	0
с =	0	0	0,1250	0	0	0
с =	-0,1250	0	0	0,15625	0,03125	0
	-0,1250	0	0	0,15625	0,03125	0
	— 0,1250	0	0	0,03125	0,15625	0
	0	0	0	0	0	0,2500

Y = 76,75 +			10,66 xi		+ 10,53ж2	- 7,50^ -	13,08э£ —5,70xtxg.
Результаты дисперсионного анализа представлены в табл.
П.8.1.36.
							Таблица		П.8.1.36
Источник рассеяния					Сумма	Число степе	Средний	Отношение
Источник рассеяния					квадратов	ней свободы	квадрат		дисперсий
Влияние исключения				Ъі2	130,17	1	130,17	Незначимо
Влияние исключения				Ь22	1094,86	1	1094,86	Значимо
Влияние исключения				Ьц	359,94	1	359,94		»
Влияние	исключения			Ь2	886,88	1	886,88		»
Влияние	исключения Ъ\				910,11	1	910,11		»
Влияние	исключения			60	23 567,5	1	23 567,5		»
Отклонения		от	эмпири		178,14	3	59,38	Незначимо
ческой Л И Н И И регрес
сии					61,67	3	20,56
Отклонения в точке пов					61,67	3	20,56
торения	опытов
Общий						12
Замечание:		FQ,95	(1, 3) = 10,12.

Число степеней свободы для суммы квадратов отклонений от оценки линии регрессии равно числу наборов xt, 9, минус число jTOCTOHHHbix, 6, т. е. равно 3, а число степеней свободы для суммы

Стратегия эффективного	экспериментирования	515
квадратов отклонений, связанной	с повторяющимися	опытами

в центре, равно числу повторных измерений, 4, минус число огра ничений, 1, т. е. равно 3. Дисперсионный анализ показывает, что модель второго порядка хорошо согласуется с экспериментальны ми данными и что член взаимодействия в модели можно опустить.

Так как подходящая модель найдена, ее можно использовать для оптимизации и дальнейшего анализа.

Пример 8.1.4. Проблема недостаточного числа повторений опытов [4]

Рассмотрим следующую матрицу, основанную на факторном плане типа 22 с повторением опытов в центральной точке:

Y	XI	Х2	Y	XI	Х2
80,8	— 1	—1	71,9	1	1
85,1	1	—1	82,9	0	0
82,9	- 1	1	81,1	0	0

Оценка уравнения регрессии, основанная на использовании моде ли первого порядка, имеет вид

Y = 80,8 — 1,7а:! — 2,8ж2 .

Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. П.8.1.4а. Ни один из средних квадратов, исключая 39155,7, не является значимо отличным от 1,6. Этот парадокс возник в силу того, что

					Таблица		П.8.1.4а
Источник рассеяния			Сумма	Число степе	Средний	Отношение
Источник рассеяния			квадратов	ней свободы	квадрат		дисперсий
Влияние	исключения Ь0		39 155,7	1	39 155,7	24 400
Влияние	исключения Ъі		11,2	1	11,2		7,0
В л и я н и е исключения Ъг			30,8	1	30,8		19,2
Отклонения от		эмпири	63,0	2	31,5		19,7
ческой	линии	регрес
сии			1,6	1	1,6
Отклонения в точке пов			1,6	1	1,6
торения	опытов
Общий			39 262,3	6
Замечания: F0,Q5		(2, 1) =	200; F 0 , 9 5 (1, 1) = 161.

с дисперсией ошибки связана лишь одна степень свободы. Беглый просмотр таблиц для і^-статистики показывает, что несколько повторных опытов в точке (0, 0) могли бы существенно увеличить

Материал: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

Смотрите также: