Материал: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

Иначе говоря, если найденную численно производную придет­ ся использовать при оценивании в качестве отклика, то ошибка в стохастической зависимой переменной резко возрастает. Следо­ вательно, можно сделать вывод, что общий совет по возможности избегать численного дифференцирования экспериментальных дан­ ных вполне обоснован. В методе оценивания с помощью «ошибки уравнения», описанном в разд. 9.6, будет предполагаться, что используются наблюдения самих производных, а не производные, вычисленные по наблюдениям величин.

9.2. О Ц Е Н И В А Н И Е М Е Т О Д О М Н А И М Е Н Ь Ш И Х К В А Д Р А Т О В

Поскольку оценивание параметров методом наименьших квад­ ратов не требует априорного знания распределения ненаблюдае­ мых ошибок, дает несмещенные оценки, т. е. %{Y(t)} =у (t)t и приводит к минимальной дисперсии среди всех линейных несме­ щенных оценок, то метод наименьших квадратов широко использу­

где Г — ковариационная матрица (или, возможно, матрица соот­ ветствующих весов), описанная в разд. 5.5, а ф — проинтегриро­ ванное по времени значение квадрата ошибки (интеграл квадрата ошибки). Если наблюдения проводились в дискретные моменты времени tt, i = 1, 2, . . ., п, то, согласно критерию Маркова, следует минимизировать величину

(В выражениях (9.2.1) и (9.2.2) множитель V 2 иногда опускается.) Если, как в гл. 5, матрица Г является диагональной (все недиаго­ нальные элементы равны нулю), то ф соответствует критерию «взве­ шенных наименьших квадратов»; если же Г = ofl, получается критерий «обыкновенных наименьших квадратов».

Чтобы минимизировать ф для дискретных наблюдений, можно формально продифференцировать выражение (9.2.2) по у 0 и а, a затем приравнять получившиеся выражения соответственно нулевому вектору 0 и нулевой матрице 0. Получим следующую сис­ тему нелинейных (по оценкам) уравнений *):

i=l

Подобную систему уравнений можно получить и для непрерывных данных, заменяя суммы по дискретным значениям на интегралы по времени. Уравнения (9.2.3) образуют систему n -\- n х п = = п (п + 1) нелинейных уравнений, которые используются для

ходимо сделать некоторое предположение относительно распреде­ ления ненаблюдаемых ошибок, например постулировать совмест­ ное нормальное распределение. Чтобы получить оценки точности оценок Y, решение модели необходимо приближенно представить в виде линейной функции параметров, разлагая это решение в ряд относительно оценок этих параметров, как описано в разд. 6.4. В тех случаях, когда аналитическое решение для модели неизвест­

а выражение (6.4.5) определяет приближенную совместную дове­ рительную область. Если Г Ф а\1, то элементы матрицы Г нужно оценивать, как описано в разд. 5.5, а оценка ковариационной мат­ рицы для Ь, согласно изложенному в разд. 5.1, равна

важные положения: 1) ненаблюдаемая ошибка добавляется к детер­ минированному отклику специальным образом, 2) в оценках используются одновременно все п откликов и 3) в критерий не вхо­ дит никакая априорная статистическая информация, за исключе­ нием, быть может, той, которая вводится с помощью матрицы Г.

Основная трудность, с которой сталкиваются при оценивании методом наименьших квадратов моделей, основанных на явлениях переноса, такая же, как указывалась в разд. 5.5, 6.2 и 6.3, а именно, как успешно провести оптимизацию ф для нелинейной модели.