Материал: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

определяемое, в евклидовом смысле:

m

dsa=Jldß}. (9.2.5)

з = і

Изменение ф в зависимости от s определяется выражением m

3 = 1

3=1

где положительный знак соответствует скорости изменения в на­ правлении наискорейшего подъема, а отрицательный знак — в направлении наискорейшего спуска. _

Если производную ds/dt отождествить теперь со скоростью г;,

ибо

то, чтобы получить выражение для скорости изменения ßj в напра­ влении наискорейшего спуска

которое приводилось ранее, необходимо лишь выбрать скорость ѵ пропорциональной модулю градиента

m

Выражение (9.2.4) можно сравнить с шаговым вариантом' наи­ скорейшего спуска, описанным в разд. 6.2.4, полагая

связь с выражением (6.2.17а) станет очевидной. На следующем примере будет проиллюстрировано использование соотношения (9.2.4).

Пример 9.2.2. Непрерывное линейное оценивание с использованием метода наискорейшего спуска

В качестве простой иллюстрации непрерывного оценивания параметров методом наименьших квадратов с использованием мето­

где Y — случайная зависимая переменная, t' — переменная инте­ грирования, а ^ — натуральное (истинное) время. Для наискорей­ шего спуска положим

где т — масштаб времени на аналоговой или гибридного типа вычислительной машине.

Производные в правой части соотношений (б) можно подсчитать следующим образом:

t

Подставляя выражения (в) в соотношения (б) и обозначая через Ь оценки параметров ß, получаем

t t

На фиг. П.9.2.2 изображена моделирующая схема проведения расчетов. Заметим, что значения оценок параметров не имеют обратной связи с подсчетами в натуральное время (интегрирова­ нием), так.что схемы обработки данных, которые работают в на­ туральном масштабе времени, не связаны с расчетами методом наискорейшего спуска, которые проводятся в масштабное время т.

Модель, использованная в примере 9.2.2, была выбрана линейтіой по параметрам исключительно в иллюстративных целях. Оценивание методом наименьших квадратов с помощью метода наискорейшего спуска, который приводит к соотношению (9.2.4), можно в равной мере применить и к моделям процессов, представ­ ленных в форме обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которых задается в виде непрерывного аналога выраже­ ния (9.1.8); ошибка к решению добавляется так же, как в выраже­ нии (9.1.9). В общем случае

можно вычислить следующим образом. Продифференцируем обе части уравнения (9.1.10) по ß *), предполагая, что параметры ß

*) Используются именно ß, а не а, ибо начальные условия можно ввести

вмодель (9.1.101 в качеств»' дифференциальных уравнений вида

dyjdt = 0.

662 Глава 9

не зависят от t:

Если величины у непрерывны и дифференцируемы, то порядок диф­

Уравнение (9.2.11) представляет собой обыкновенное дифферен­ циальное уравнение

(9.2.12)

для коэффициентов чувствительности u = dy/dß (здесь предпола­ гается, что в соотношении (9.1.6) матрица h равна единичной мат­ рице, h = I ) . Даже если оценки параметров ß изменяются по мере

методом наименьших квадратов с использованием метода наиско­ рейшего спуска требует проведения измерений лишь на входе и вы­ ходе процесса. Оно обладает тем недостатком, что частные про­ изводные в уравнениях (9.2.4) и (9.2.12) являются функционала­ ми, т. е. представляют собой функции тех коэффициентов, которые требуется оценить. Поэтому градиент ф не существует, если коэф­ фициенты не являются постоянными. Следовательно, метод наиско­ рейшего спуска удовлетворителен только при малых к, потому что коэффициенты, используемые для вычисления отклика, долж­ ны входить в более ранние оценки. Осталось неясным, как подсчи­ тать показатели точности оценок как функции времени, что лежит в основе последовательного оценивания, которое будет описано в разд. 9.4, но для момента времени tf, безусловно, можно получить показатели точности оценок параметров по выборкам из наблю­ дений, как описано в разд. 9.2.1.

Пример 9.2,3. Непрерывное оценивание

Для описания работы завода по переработке отходов, состоя­ щего из нескольких агрегатов, была предложена система диффе­ ренциальных уравнений