Курсовая работа (т): Исследование инвестиционной и кредитной политики на монопольном рынке

Из рисунков видно, что, взяв кредит 1 типа, монополист, вернув его в срок, остается во множестве с положительной прибылью и приходит к равновесию. Во втором случае, фирма, после возврата кредита, разоряется.

Рис. 9

Рис. 10

Пользуясь выше сделанными замечаниями можно описать алгоритм принятия решения о выборе кредита:

1.      Для заданных значений констант  построить множество , во всех точках которого прибыль неотрицательна.

.        Если после возврата кредита точка , описывающая состояние фирмы, выходит за пределы множества , внести данный кредит в список нерекомендуемых. В противном случае причислить этот кредит к списку рекомендуемых кредитов.

В качестве оптимального кредита можно принять кредит из списка рекомендуемых, при котором траектория  приходит в точку устойчивого равновесия за наименьшее время.

3.2    Оптимальная стратегия инвестирования

Одним из важных вопросов, с которым сталкиваются руководители компаний, является вопрос о выборе нормы инвестиций.

Изменяя величину , можно повлиять на положение фирмы на рынке, что видно из системы уравнений , описывающих динамику цены и объема выпуска товара:

                                          (3.1)

Кроме того, от значения нормы инвестиций, зависит и величина отчислений в фонд потребления :

,

где  - это норма инвестиций, а  - это прибыль монополии.

Из всего выше сказанного следует, что мы можем рассматривать норму инвестиций  как управляющий параметр, влияющий на динамику объема выпуска и цену товара, а так же - на величину отчислений в фонд потребления.

Будем считать, что целью монополии является максимизация отчислений в фонд потребления за фиксированный промежуток времени . Поиск оптимальной нормы инвестиций , при которой достигается минимальное возможное значение , таким образом, представляет собой актуальную задачу. Сформулируем задачу поиска оптимальной нормы инвестиций .

                                   (3.3)

                                 (3.6)

                                    (3.7)

это граничные значения интервала допустимых норм инвестиций:

Задача (3.3)- представляет собой задачу оптимального управления. Отметим, что заданная задача имеет особенность, а именно: правая часть уравнения (3.4) разрывная.

Рассмотрим самый общий случай, т.е. рассмотрим систему в виде

                                  (3.10)

где  уравнение гладкой поверхности разрыва. Пусть минимизируемый функционал имеет следующий вид

                                             (3.11)

Здесь  - вектор фазовых координат, u(t)- управление

(в данном случае скалярная функция), на которое наложены ограничения:

                                      (3.12)

Рассматриваемая задача является задачей с фиксированным временем, т.е.

Все дальнейшие наши рассуждения будут связаны с желанием представить вариацию минимизируемого функционала J из (2) в виде

                                             (3.12)

Пусть траектория x(t) пересекает поверхность разрыва в момент t*:

Пусть u(t) - какое-либо допустимое управление. Наряду с этим управлением рассмотрим управление  где

                            (3.13)

                          (3.14)

Пусть возмущенная траектория  пересекает  в момент  (пока для определенности будем считать ).

Отметим, что выражение для вариации минимизируемого функционала имеет следующий вид

                                     (3.15)

Введем теперь так называемую сопряженную систему

                            (3.16)

                            (3.17)

с условиями трансверсальности

Рассмотрим выражение  и продифференцируем его по времени. Тогда будем иметь:

                                (3.18)

в силу условий (6), а также в силу того, что

С другой стороны рассмотрим выражение

Нам необходимо осуществить удаление «лишнего» слагаемого

Это приведет к разрыву функции  в точке  с определенными соотношениями на разрыве. Обозначим через  возмущенную траекторию. Тогда с точностью до

Вычитая, получим связь между  и

                     (3.19)

Здесь обозначено:

Следует еще использовать связь между и

и так как  то

Теперь соотношение между  и  примет вид

                    (3.20)

где .

Обращение в нуль (с точностью до ) выражения

будет обеспечено для любых , если  и  удовлетворяют условиям скачка:

                                         (3.21)

Таким образом, мы установили, что в решении сопряженной системы при  будет наблюдаться скачок.

Наша задача представляет собой задачу оптимального управления. В принципе ее можно решать с использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина. Но в данном случае управление  входит как в правые части дифференциальных уравнений, так и в подынтегральную функцию критерия линейно. Поэтому использование принципа максимума может дать нам только релейные режимы, а соответствующий итерационный процесс будет расходиться. Очевидно, в данной задаче существуют так называемые особые режимы, для вычисления которых необходимо привлекать методы, использующие вторую вариацию, что значительно усложнит процедуру счета.

Наиболее приемлемым методом в данной ситуации очевидно является градиентный метод, так как

во-первых, для его реализации требуется решить лишь прямую и сопряженную системы

во-вторых, в рассматриваемой задаче управление является нормой инвестиций, которая считается константой в течение месяца

Поэтому мы можем считать, что искомое управление принадлежит классу кусочно-постоянных функций, т.е.

где  - продолжительность i-го месяца.

Это означает, что наш критерий является функцией m - переменных , где m - количество месяцев в рассматриваемом интервале времени

Для нахождения градиента необходимо использовать сопряженную систему, решение которой, как было показано ранее, испытывает скачок

                           (3.22)

в момент времени t, при котором функция  обращается в нуль. При этом не возникает никаких дополнительных трудностей при численном интегрировании этой системы.

То есть в нашем случае задачу поиска оптимальной нормы инвестиций  будем решать в следующем виде:

                               (3.23)

                  (3.24)

Искомые выражения для градиента  примут следующий вид:

                                       (3.25)

где G - решение системы (3.23), а  - решение сопряженной системы (3.24) с условием скачка (3.22).

Опишем алгоритм нахождения оптимальной нормы инвестиций:

Алгоритм: Нахождение оптимальной нормы инвестиций

Вход:

1.      Начальные значения

.        Начальное приближение нормы инвестиций на всем интервале наблюдения

.        Начальные значения констант

Выход:

Оптимальное значение нормы инвестиций на всем интервале наблюдения

: С помощью модифицированного метода Эйлера вычисляем ,  и  на всем интервале наблюдения

для заданных начальных значений , а также текущего приближения нормы инвестиций .

: С помощью модифицированного метода Эйлера вычисляем  и  на всем интервале наблюдения, начиная с конечной точки интервала

для всех значений , найденных в п.1, а также текущего приближения нормы инвестиций .

Если функция  меняет свой знак при вычислении , то делаем замену:

,