Материал: История комплексных чисел и основные открытия комплексного числа учеными

Хотя в XVIII веке многие вопросы решались при помощи комплексных чисел, в том числе прикладных, связанных с картографией, гидродинамикой и другие, но не было построенного логического объяснения теории данных чисел. Вследствие этого французский ученый Лаплас полагал, что результаты, приобретенные при помощи и мнимых чисел,которые являются только наведением, приобретающие характером истинных достоверностей только после доказательства прямыми подтверждениями. [4, с.79]

Ни один человек не сомневался в верности результатов, которые получены при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они играют роль лишь алгебраической формы иероглифов нелепого количества.

После формирования теории комплексных чисел появился вопрос о присутствии «гиперкомплексных» чисел являются числами с несколькими «мнимыми» единицами. Такая система формы обладает видом, где , выстроил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их «кватернионами». [5, с.60]

Правила действий над кватернионами напоминают правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (смещение): например, , а . [1, с.112]

Наибольшее достижение в формирование теории функций комплексного переменного внесли русские, и советские ученые Мусхелишвили занимался ее приложениями к упругости, Келдыш и Лаврентьев занимались аэро- и гидродинамикой, Богомолов и Владимиров занимались проблемами квантовой теории поля.

Комплексные числа обширно применял отец русской авиации Жуковский (1847 – 1921) при создании теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции комплексных переменных используются во многих областях науки и техники. [7, с.85]

В конце XVIII века, в начале XIX века была получена Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Датчанин Вессель, француз Арган и немец Гаусс независимо друг от друга рекомендовали воспроизвести комплексное число в виде точкой  на координатной плоскости. [4, с.88]

Позже оказалось, что еще удобнее представлять число не самой точкой , а вектором , который проходит в данную точку из начала координат. При подобном толковании сложение и вычитание комплексных чисел отвечают этим же операциям над векторами.

Вектор имеется возможность задавать не только его координатами  и , но в свою очередь длиной  и углом , который он создает с положительным направлением оси абсцисс. При этом , , и число  принимает вид , который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число  называют модулем комплексного числа  и обозначают . [5, с.75]

Число  называют аргументом  и обозначают . Отметим, что если , значение  не установлено, а при  оно установлено с точностью до кратного .

Упомянутая ранее формула Эйлера дозволяет записать число  в виде (показательная форма комплексного числа). [1, с.119]

Геометрическое объяснение комплексных чисел разрешило предназначить многочисленные определения, которые связаны с функцией комплексного переменного, увеличило сферу их использования.

Из чего можно заключить, что комплексные числа могут быть полезны во многих вопросах, где они имеют дело с величинами, которые представлены векторами на плоскости, а именно: при исследовании течения жидкости, задач теории упругости.

Долгое время не получалось отыскать таких физических величин, над которыми можно было бы совершать действия, подчиненные тем же правилам, что и действия над комплексными числами - в частности правилу. Отсюда и названия: «мнимая единица», «мнимое число» и другие в настоящее время известен множеством таких физических величин, и комплексные числа обширно используются не только в математике, но и в физике и технике. [7, с.96]

Можно оставить в стороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа, так как в разных сферах науки такой смысл разнообразен.

Правило каждого действия над комплексными числами выводится из установления данного действия. Но установления действий над комплексными числами не выдуманы безосновательно, а введены таким образом, чтобы они согласовывались с правилами действий над вещественными числами. Ведь сложные числа следует рассматривать не в отрыве от реальных, а вместе с ними. [4, с.97]

2 Основные открытия комплексного числаученых

2.1Вклад Декарта в развитие математики как науки

Рене Декарт является французским философом, математиком, механиком, физиком и физиологом. В том числе, создателем аналитической геометрии и современной алгебраической символики, автором метода радикального сомнения в философии, механики в физике, предтеча рефлексологии. [2, с.41]

Декарт является одним из авторов теории уравнений: им сформулировано правило знаков для определения числа положительных и отрицательных корней, поставил вопрос о границах действительных корней и выдвинул проблему приводимости, точнее представления целого числа рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения двух функций этого рода.

Декарт указал, что уравнение 3-й степени разрешимо в квадратных радикалах (а также указал решение с помощью циркуля и линейки, если это уравнение приводимо).

Декарт является одним из создателей аналитической геометрии (которую он разработал одновременно с Ферма), что позволило алгебраизировать эту науку при помощи координатного метода. Предложенная им система координат названа в его честь.

Занятия по математике привели Декарта к открытию новой науки, а именно аналитической геометрии. Сначала он нашел способ записать любую строку, применяя числовое уравнение.

Итак, он как бы комбинировал алгебру и геометрию.

В Голландии в 1618 году Декарт встретился с выдающимся физиком и философом природы Исааком Бекманом, оказавшим значительное влияние на его развитие как ученого. [2, с.56]

В 1637 году Декарт опубликовал основную философско-математическую работу под названием «рассуждение о методе» (полное название: «рассуждение о методе, позволяющем направить свой ум и найти истину в науках»).

В данной книге представлена аналитическая геометрия, а в приложениях представлены многочисленные результаты по алгебре, геометрии, оптике (а также правильная формулировка закона преломления света) и т.п.

Особенное вниманиенеобходимовыделить переработанной им математическую символику Виета, с этого момента близкую к современной. Коэффициенты он обозначал , а неизвестные - .

Натуральный показатель принял современный вид (дробный и отрицательный, установленный Ньютоном). Появилась черта над радикалами. Уравнения даны в каноническом виде (в правой части представлен ноль).

Символическая алгебра Декарта называлась «общей математикой» и она должна объяснить «все, что связано с порядком и мерой».

Создание аналитической геометрии позволило перевести исследование геометрических свойств кривых и тел на алгебраический язык, точнее анализировать уравнение кривой в некоторой системе координат. Создание аналитической геометрии обладает и недостатком, так как необходимо точно определить истинные геометрические свойства, не зависящие от системы координат (инварианты). [2, с.72]

Тем не менее, достоинства нового метода были весьма высоки, и Декарт продемонстрировал их в той же книге, открыв множество положений, неизвестных древним и современным математикам.

В приложении «Геометрия» были даны методы решения алгебраических уравнений (в том числе геометрические и механические), классификация алгебраических кривых.

Новый способ задания кривой является помощью уравнения, который был решающим шагом к понятию функции. Декарт формулирует точное «правило знаков» для установления числа положительных корней уравнения, хотя ему не докажешь.

Декарт изучал алгебраические функции (многочлены), в том числе множество «механических» функций (спирали, циклоиды). Для трансцендентных функций, по мнению Декарта, общего метода исследования не существует.

Комплексные числа еще не были рассмотрены Декартом на равных условиях с вещественными, но он сформулировал (хотя и не доказал) основную теорему алгебры: общее число вещественных и комплексных корней многочлена равно его степени. [2, с.84]

Отрицательные корни Декарт по традиции называют ложной, но в сочетании их с положительными термином действительные числа, отделяя от мнимых (комплексных). Этот термин вошел в математику. Однако Декарт показал некоторую несогласованность: коэффициенты . он был признан положительным, и случай неизвестного знака был специально отмечен многоточием слева.

Все неотрицательные вещественные числа, в том числе иррациональные, рассматриваются Декартом как равные, они определяются как отношение длины отрезка к длине отсчета. Позже Ньютон и Эйлер приняли аналогичное определение числа.

Декарт еще не отделяет алгебру от геометрии, хотя и меняет их приоритеты, он понимает решение уравнения как построение отрезка с длиной, равной корню уравнения. От этого анахронизма вскоре отказались его ученики, прежде всего они, являются англичанами, для которых геометрические конструкции являются чисто вспомогательной техникой.

Книга «метод» сразу сделала Декарта признанным авторитетом в математике и оптике. Примечательно, что она была издана на французском языке, а не на латыни.

Приложение «Геометрия», однако, сразу же было переведено на латинский язык и неоднократно публиковалось отдельно, вырастая из комментариев и становясь справочником европейских ученых. Труды математиков второй половины XVII века отражают сильнейшее влияние Декарта.

В работе «Геометрия» (1637), которая открыла взаимопроникновение алгебры и геометрии, Декарт впервые ввел понятия переменной и функции. В Декартовой системе координат получили реальное истолкование отрицательные числа. [2, с.89]

2.2Гауссовы целые комплексные числа

В 1820-х годах Карл Фридрих Гаусс исследовал биквадратичный закон взаимности и результатом стала монография «Теория биквадратичных вычетов» (1828-1832). Именно в этой работе целые числа доказали свою полезность для решения задач теории чисел, хотя формулировка этих задач не связана с комплексными числами.

Гауссовы целые числа комплексные числа (Гауссовы числа, целые комплексные числа) являются комплексными числами, в которых материальные и мнимую часть чисел.

Множество гауссовых целых комплексных чисел принято обозначать, отражая тем самым тот факт, что оно получается из множества целых комплексных чисел  добавлением в него мнимой единицы  и комбинаций ее с целыми числами.

Гаусс писал, что «естественный источник общей теории следует искать в расширении области арифметики».

В книге Гаусса было показано, что новые числа по своим свойствам во многом напоминают обычные целые числа. Он описал четыре делителя одного, а именно: [2, с.95]