Материал: История комплексных чисел и основные открытия комплексного числа учеными

- определено отношение ассоциативности и понятие простого комплексного числа;

- дал критерии простоты и доказанные аналоги основной теоремы арифметики и малой теоремы Ферма;

- подробно рассмотрены вычеты для комплексного модуля;

- подробно рассмотрены индексы и первичные корни.

Главным достижением построенной теории был биквадратный закон взаимности.

Гаусс также использовал числа, которые он ввел в других своих работах, таких как «об алгебраических уравнениях».

Например, кольцо целых чисел Гаусса было одним из первых примеров алгебраической структуры с необычными свойствами.

По аналогии с множеством вещественных чисел делимость в кольце Гауссовых чисел можно отличить по подмножеству целых чисел.  Множество чисел вида  , где  назовем целыми комплексными числами или гауссовыми числами. Нетрудно проверить, что для этого множества выполняются аксиомы кольца.

Таким образом, это множество комплексных чисел  является кольцом и называется кольцом целых чисел Гаусса. Обозначим его как  , так как оно является расширением кольца  элементом, а именно.

Поскольку кольцо гауссовых чисел является подмножеством комплексных чисел, то для него справедливы некоторые определения и свойства комплексных чисел. Так, например, каждому гауссовому числу   соответствует вектор с началом в точке  и с концом в (рис.1). [1, с.140]

Следовательно, модуль гауссова числа есть. Заметим, что в рассматриваемом множестве, подмодульное выражение всегда есть число неотрицательное целое. Поэтому в некоторых случаях удобнее пользоваться нормой, то есть квадратом модуля.

Таким образом,, где   является множеством натуральных чисел, то есть целых положительных чисел Можно выделить следующие свойства нормы.

Так, например, В прямоугольной системе координат комплексное число  играет роль точки в плоскости с координатами (), и эта точка помечается той же буквой  (рис. 1). [1, с.148]

Рисунок 1 - Прямоугольная система координат интерпретации комплексного числа

Кольцо гауссовых чисел - это коммутативное кольцо без делителей 0, так как оно является подкольцом поля комплексных чисел. Отсюда следует мультипликативная сократимость кольца , то есть:

Простое гауссово число является ненулевым числом, не имеющее других делителей, кроме тривиальных. Число, не являющееся простым, называется составным. При этом делители единицы‚ подобно натуральной единице‚ не считаются ни простыми, ни составными числами.

Перечислим некоторые свойства простых гауссовых комплексных чисел: [2, с.106]

- если  простое гауссово число, то и сопряженное к нему гауссово число  тоже является простым;

- если простое гауссово число является делителем произведения гауссовых чисел, то оно является делителем, по крайней мере, одного из сомножителей;

- норма любого простого гауссова числа, кроме ассоциированных с , всегда нечетна и поэтому имеет вид .

Натуральное простое комплексное число может не быть гауссовым простым числом.Например‚ числа 2 и 5 в  уже не простые, а именно:

Гаусс указал определяющие признаки простого комплексного числа в Гауссово число  является простым тогда и только тогда, когда:

- либо одно из чисел  нулевое, а другое целое простое число;

- либо,  оба не нулевые и норма  простое натуральное число.

Со временем было открыто большое количество структур такого типа‚ а в конце ХІХ века появилась абстрактная алгебра, которая изучает алгебраические свойства отдельно от объектов-носителей этих свойств.

2.3Новые глубинные математические закономерностиГалуа

Эварист Галуа (26.10.1811, Бур-ля-Рен, О-де-Сен – 31.05.1832, Париж) – гениальный французский мыслитель и математик, основатель современной высшей алгебры. [3, с.19]

Э. Галуа входит в десятку величайших математиков всех времен. Он открыл новую эпоху мировой научной мысли, кардинальным образом преобразовал динамику математических наук.

Эварист Галуа первым осознал, что математические вопросы можно решить путем перенесения их в область более абстрактных рассуждений.

Великий французский ученый привнес в математику совершенно новый подход, новую точку зрения, сделав важнейший и необходимый шаг в сторону абстракции.

В трудах Э. Галуа «математика перестает быть наукой о числах и формах – арифметикой, геометрией и набором связанных с ними идей, таких, как алгебра и тригонометрия.

Значение трудов Э. Галуа состоит в том, что в них в полной мере раскрытысовершенно новые глубинные математические закономерности: возникла новаяматематическая парадигма – теория полей, концепция группы, теория Галуа.

Появившаясяна свет целая ветвь математики – исчисление симметрий, называемое теорией групп,проникла в каждый уголок математики, во многие области современного научного познания.

В центре внимания Галуа оказалась основная проблема – разрешимость в радикалах общих алгебраических уравнений. Причем не только в случае уравнений пятой степени. Цель Галуа заключалась в том, чтобы найти критерий, способ разрешимости для всех алгебраических уравнений.

Затем Галуа вводит свое ключевое понятие «группы уравнения» (комплексные числа), а именно: пусть дано уравнение и  суть  его корней. Существует всегда группа перестановок букв  обладающая следующими свойствами: [3, с.28]

- всякая функция от корней, инвариантная относительно подстановок этой группы, рационально известна;

- обратно, всякая рационально определяемая функция от корней инвариантна относительно этих подстановок.

Эварист Галуа совершил революцию в математике. Он является автором, изобретателем языка, который позволил описывать симметрии в математических структурах и выводить их следствия.

В настоящее время этот язык называется теорией групп. Он имеет весьма широкое распространение в чистой и прикладной математике, а также используется для выражения закономерностей в физическом мире.

Симметрия играет центральную роль в современной физике – в бесконечно малом квантовом мире и бесконечном мире Вселенной. Есть основания утверждать, что симметрия может проложить путь к будущей так называемой «теории всего», то есть математическому объединению двух главных направлений в современной физике – квантовой теории и теории относительности.

С точки зрения Э. Галуа, разрешимость некоторого уравнения перестала быть абсолютной проблемой, требующей готового ответа. Ученый рассматривает ее как связь между определенным алгебраическим объектом – уравнением и его «средой» – полем, или областью рациональности, к которой оно относится. [3, с.38]

Как только изменяется область рациональности уравнения, изменяется и его группа Галуа.

Понятие группы объединило аналитическую и проективную геометрии в комплексные числа. Цели и результаты программы объединили алгебру и геометрию. Так, «теория бинарных форм и проективная геометрия плоскости, которую изучаем, полагая в основу некоторое коническое сечение, эквивалентны между собой», или же «теория бинарных форм и общая проективная метрическая геометрия на плоскости – одно и то же».

Идея относительности группы – это личное изобретение Галуа. Она проникла затем во все математические и физические теории, ведущие свое происхождение от теории групп, которые в основном относятся к комплексным числам.

В современной математизированной теории понятие группы, развитой на основе идей Галуа, служит средством теоретизации различных областей знания в силу того, что в ней в абстрактной форме выражен принцип инвариантности как методологический императив.

Роль Галуа проявляется в процессе построения математических и физических теорий и служит важнейшим условием эффективности и плодотворности математических идей в современном естественнонаучном познании. Так, например, наиболее четко и ярко это проявляется в комплексных числах и неевклидовых геометриях.

Сейчас имя Галуа – одно из самых популярных в математике. Оно содержится в таких фундаментальных понятиях, как группа Галуа, поле Галуа, теория Галуа, соответствие Галуа и другие. [3, с.46]

Идеи Галуа оказали решающее влияние на развитие алгебры в течение столетия и проникли в другие области математики. Классическая теория Галуа обобщалась и развивалась во многих направлениях.

Заключение

Древнегреческие математики считали «настоящими» только натуральные числа. Потихоньку возникало воззрение о бесконечности большинства натуральных чисел.

Древнегреческий философ и математик Пифагор поучал, что «компоненты чисел считаются компонентами всех вещей и весь мир есть гармония и число».

В шестнадцатом веке Кардано обнаружил формулу для решения кубического уравнения.

Отрицательные числа использовались в III веке древнегреческий математик Диофант, который знал правила операций над ними, а в VII веке данные числа уже со всеми подробностями проанализировали индийские ученые, которые ассоциировали эти числа с долгом.

В XVII веке продолжалось обсуждение арифметического характера мнимых чисел и способности предоставить им геометрическое обоснование. 

С помощью формул Эйлера удалось построить число e любой комплексной степени.

Комплексные числа обширно применял отец русской авиации Жуковский (1847 – 1921) при создании теории крыла, автором которой он является.

Долгое время не получалось отыскать таких физических величин, над которыми можно было бы совершать действия, подчиненные тем же правилам, что и действия над комплексными числами - в частности правилу.

Рене Декарт является французским философом, математиком, механиком, физиком и физиологом. В том числе, создателем аналитической геометрии и современной алгебраической символики, автором метода радикального сомнения в философии, механики в физике, предтеча рефлексологии.

Декарт является одним из создателей аналитической геометрии (которую он разработал одновременно с Ферма), что позволило алгебраизировать эту науку при помощи координатного метода. Предложенная им система координат названа в его честь.

Комплексные числа еще не были рассмотрены Декартом на равных условиях с вещественными, но он сформулировал (хотя и не доказал) основную теорему алгебры: общее число вещественных и комплексных корней многочлена равно его степени.

Гауссовы целые числа комплексные числа (Гауссовы числа, целые комплексные числа) являются комплексными числами, в которых материальные и мнимую часть чисел.

Свойства гауссовских комплексных чисел аналогичны свойствам обычных целых чисел, но есть и существенные различия.

Кольцо гауссовых чисел - это коммутативное кольцо без делителей 0, так как оно является подкольцом поля комплексных чисел.

Э. Галуа входит в десятку величайших математиков всех времен. Он открыл новую эпоху мировой научной мысли, кардинальным образом преобразовал динамику математических наук.

Значение трудов Э. Галуа состоит в том, что в них в полной мере раскрыты совершенно новые глубинные математические закономерности

В современной математизированной теории понятие группы, развитой на основе идей Галуа, служит средством теоретизации различных областей знания в силу того, что в ней в абстрактной форме выражен принцип инвариантности как методологический императив.