Реферат: Колебания протосолнца и упорядоченность орбит планет

Колебания протосолнца и упорядоченность орбит планет

А.И. Хлыстов

Введение

Проблема закономерного распределения средних расстояний планет от Солнца является одной из важнейших в современной астрономии, поскольку её решение может радикально изменить наши представления на происхождение Солнечной системы. И. Кеплер, открывший в начале XVII в. 3 закона движения планет по орбитам, был уверен, что существует и 4-й закон, описывающий распределение орбит в пространстве вокруг Солнца. Интерес к этой проблеме возродился после того, как в 1687г. И. Ньютон показал, что все 3 закона Кеплера вытекают из закона Всемирного тяготения. В 1731 г. Христиан Вольф [1] попытался установить связь между размерами планетных орбит с помощью числового ряда, но не довёл свою работу до конца. Иммануил Кант [2] и Иоганн Ламберт [3] также были уверены в существовании закономерности в распределении планет по орбитам и даже говорили о возможности обнаружения планеты между орбитами Марса и Юпитера. В 1766 г. Иоганн Тициус в своём переводе на немецкий язык книги Шарля Бонне «Созерцание природы» [4], впервые поместил в ней в виде замечания свою знаменитую формулу для радиусов планетных орбит. В настоящее время эта формула обычно записывается в следующем виде [5]

r_n = 0.4 + 0.3·2ⁿ , (1) ,

где n = - для Меркурия и n = 0, 1, 2, … для последующих планет, r_n - большие полуоси орбит планет в а.е.

1. Закон Тициуса-Боде и открытие новых планет

На момент опубликования Тициусом формулы (1) астрономам были известны только шесть планет - от Меркурия до Сатурна - и ничего не было известно о поясе астероидов. Эта ситуация отражена в Табл. 1, где в строке (Т-Б) даны вычисленные по формуле (1) расстояния, а (набл) - фактические средние расстояния до планет, взятые нами из [6]. Как видно из таблицы, формула (1) даёт прекрасное согласие с наблюдениями. Однако, только в 1772 г. астрономы впервые обратили на неё внимание. И. Боде включил формулу (1) в текст своей фундаментальной книги «Руководство по изучению звёздного неба» [7] и в последующие годы неоднократно ссылался на эту формулу в других своих астрономических работах.

Таблица 1

В настоящее время выражение (1) обычно называют законом Тициуса-Боде, отдавая дань уважения Иоганну Боде, много сделавшему для пропаганды этого закона в своих астрономических трудах

Отношение к закону Тициуса-Боде кардинально изменилось в 1781 г., когда Вильям Гершель открыл Уран, среднее расстояние которого от Солнца отличалось от расчётов по формуле (1) всего лишь на 2% (см. Табл.2). Можно сказать, что открытие Урана возвело формулу (1) в ранг закона, поскольку она, по существу, оказалась способной предсказывать новые планеты.

Таблица 2

Двадцать лет спустя астрономы ещё более уверовали в справедливость закона Тициуса-Боде, когда в 1801 г. Джузеппе Пиацци открыл малую планету Цереру между орбитами Марса и Юпитера как раз на том расстоянии, которое предсказывал этот закон (см. Табл.2).

«Золотой век» закона Тициуса-Боде оказался недолгим. В 1846 г. был открыт Нептун, истинное расстояние которого от Солнца оказалось на 29% меньше предсказанного этим законом (см. Табл.3). И уже окончательно «похоронило» этот закон открытие в 1930 г. Плутона, истинное среднее расстояние которого от Солнца оказалось почти в 2 раза меньше предсказанного законом Тициуса-Боде (см. Табл.3).

Таблица 3

2. Модификации закона Тициуса-Боде

На протяжении XIX - XX вв. было выполнено большое количество работ, посвященных поискам физических основ и различных математических модификаций закона Тициуса-Боде [9]. Мы коснёмся здесь только тех работ, идеи которых в той или иной степени оказали влияние на разработку предлагаемого нами механизма квантования орбит планет и спутников.

Принципиально важным для понимания физических процессов, приводящих к ф.(1), является впервые высказанное в 1787 г. Вурмом [8] предположение, что эта формула должна выполняться также для систем спутников больших планет. Он показал, что для известных в то время спутников Юпитера и Сатурна выполняется соотношение

r_n = a + b·2ⁿ , (2)

где a и b подбираются отдельно для каждой планеты. Спустя 15 лет Гильберт [10] впервые отказался от геометрической прогрессии со знаменателем 2 и записал закон Тициуса-Боде в виде

r_n = a + b·cⁿ (3)

который он применил для планет и спутников Сатурна.

С точки зрения согласия с наблюдениями, наиболее точными оказались две сходных модификации закона Тициуса-Боде, полученные независимо М. Блэгг [11] и Д. Ричардсоном [12]. Опубликованная в 1913 г. формула

М. Блэгг имеет вид

r_n = A·(1.7275)ⁿ [B + f] , (4)

где A и B - постоянные, а f - эмпирическая периодическая функция с двумя параметрами подгонки, принимающая значения от 0 до + 1. Практически такую же формулу предложил 30 лет спустя Д. Ричардсон

r_n = (1.728)ⁿ с _n , (5)

где с _n - эмпирическая функция периода 2р, содержащая пять параметров подгонки. При надлежащем подборе параметров в ф.(3) и ф.(4) удаётся добиться для планет и их спутников точности не хуже 6% [9].

3. Физические основы закона Тициуса-Боде

Подводя итог работам по модификации закона Тициуса-Боде, можно сделать вывод, что они определённо указывают на существование единого механизма, приводящему к квантованию орбит планет и их спутников. Чтобы подойти к пониманию физических основ этого механизма, рассмотрим, опираясь на данные современной астрофизики, процесс формирования Солнца как звезды.

В настоящее время общепринято считать [13], что образование звёзд происходит внутри гигантских молекулярных облаков, расположенных преимущественно в спиральных ветвях нашей Галактики. Вначале, в результате гравитационной неустойчивости в холодном плотном молекулярном облаке формируется более плотное и быстро сжимающееся ядро, окруженное протяженной разреженной оболочкой. При сжатии ядро разогревается за счёт выделения гравитационной энергии. Когда температура протозвезды достигает значения порядка 3000 - 4000 К, её вещество становится ионизованным, коэффициент непрозрачности резко возрастает и лучистый перенос энергии к поверхности сменяется конвективным. Звезда вступает в так называемую стадию Хаяши.

Согласно А. Эддингтону [14], если коэффициент непрозрачности в некотором слое звезды резко возрастает, могут возникнуть радиальные пульсации значительной амплитуды, которые при наличии развитой конвекции постепенно затухают. Из сказанного выше следует, что при вступлении протосолнца в стадию Хаяши в нём могут возникнуть именно такие затухающие радиальные колебания. Для последующих обсуждений важно также отметить, что на этой стадии эволюции протосолнца оно оказывается окружённым непрозрачной газопылевой средой (протопланетный диск) [13].

Согласно [15], в простейшем случае линейной системы с одной степенью свободы амплитуды колебаний убывают по геометрической прогрессии и все последовательные значения амплитуды Х располагаются

на экспоненте (Рис.1)

Х(t) = X₀e^-бt, (6)

где б - показатель затухания, t - время. Если T - период колебаний, то

X₁ = X₀e^-бT, X₂ = X₀e^-2бT , …, X_n = X₀e^-nбT . (7)

Предположим, что на каждом колебании n происходит выброс вещества из протосолнца в виде тонкой оболочки с массой m и начальной скоростью v_n, превышающей 2-ю космическую скорость. Очевидно, кинетическая энергия оболочки пропорциональна полной энергии колебаний, то есть

mv_n²/ 2 = k X _n²/ 2 = kX₀²e^-2nбT / 2 , (8)

где k - постоянный множитель.

Рассмотрим простейший случай, когда со стороны межпланетной среды на движущуюся оболочку действует постоянная сила сопротивления Fs, пропорциональная начальной скорости оболочки:

F_s= k₁v_n . (9)

Используя (9), находим выражение для работы силы трения:

A _s = k₁v_n = k₁v_n (r- r₀) , (10)

где r₀ - радиус протосолнца, r - конечное положение остановившейся оболочки.

Будем предполагать, что вся кинетическая энергия сброшенной оболочки перешла в работу сил трения, то есть,

mv_n²/ 2 = A _s (11)

Приравнивая (8) и (10), находим

r_n = r₀ + b (e^-бT )ⁿ, (12)

где b = X₀, n = 0, 1, 2, … Заметим, что ф.(12) аналогична ф.(3), полученной Гильбертом [10].

Как следует из (8), значению n = 0 соответствует максимальная начальная скорость оболочки, поэтому она останавится на максимальном расстоянии от протосолнца. Будем вслед за [9] рассматривать 9 планет и пояс астероидов (см. Табл.3). Тогда в наших обозначениях значению n = 0 будет соответствовать Плутон, а n = 9 - Меркурий.

Хотя такая «обратная» нумерация находится в полном соответствии с физикой процесса, она не совсем удобна с точки зрения сравнения наших результатов с работами других авторов, где используется «прямая» нумерация [9]. Учитывая это, будем использовать в наших расчётах «прямую» нумерацию планет, в которой Меркурию приписывается n = 1, поясу астероидов n = 5, а Плутону n = 10 (см. Табл.4). В соответствии с этим формула (12) принимает вид

r_n = r₀ + b (e^-бT ) ^{(10 - n)} (13)

Расчёты по ф.(13) показали, что наилучшее согласие с наблюдениями (исключая Меркурий, Нептун и Плутон) достигается для r₀ = 0.4, b = 76.8 и бT = ln 2 = 0.693 (Табл.4, строка А1).

Таблица 4

Сравнивая расчёты по формуле (13), полученной нами из физических соображений и расчёты по эмпирической формуле (1) Тициуса-Боде, приходим к выводу, что они дают тождественные результаты для всех планет (и пояса астероидов), за исключением Меркурия. Однако если устранить произвол в выборе n для этой планеты в законе Тициуса-Боде, взяв согласно Вурму [8] n = -1, то формула (1) даст для Меркурия также r = 0.55 в полном согласии с нашими расчётами по формуле (13).

Используем теперь более реалистичное выражение для силы сопротивления со стороны межпланетной среды. Как уже было указано выше, пульсационная неустойчивость протосолнца наступает при температуре порядка 3000 - 4000 К. Но как следует из [13], при температуре оболочки ниже 6·10⁵ K её движение можно рассматривать в приближении модели «снегоочистителя», то есть необходимо учитывать тормозящее воздействие «сгребаемой» массы окружающего вещества M(r) = 4р/3сr³, где с - плотность. В этом случае, для силы сопротивления F_s вместо (9) получаем

F_s = k₁v_n [1+ k₂M(r)]. (14)

Интегрируя (14) по r, находим следующее выражение для работы силы трения:

A _s = k₁v_n (r- r₀) + вv_n (r ⁴- r₀⁴) , (15)

где k₁ и в - постоянные множители.

Исходя из закона сохранения энергии, приравняем (15) и (8) и после несложных преобразований получим